數(shù)值分析 試卷III及答案

第2頁(yè)共2頁(yè)(10分)已知反映某實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為，經(jīng)測(cè)量所得,測(cè)量?jī)x器的誤差限為0.002，試求出的誤差限和相對(duì)誤差限；2、判定近似函數(shù)值有幾位有效數(shù)字.解：………6分…………8分因?yàn)榈恼`差限，所以有1位有效數(shù)字.…………10分二、（18分）設(shè)節(jié)點(diǎn)用Langrange插值和牛頓插值求三個(gè)節(jié)點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式；當(dāng)增加一個(gè)條件：時(shí)，求對(duì)應(yīng)的三次Hermite插值多項(xiàng)式解：1、…………6分0-1-2******10-3-1***21032…………12分設(shè)…………18分三、(10分)求函數(shù)在給定區(qū)間上對(duì)于權(quán)函數(shù)，的最佳平方逼近多項(xiàng)式.解：，，，.解法方程得，因此所求多項(xiàng)式.…………10分四、（10分）方程，討論如下幾種迭代求根公式在區(qū)間上的斂散性：1、改寫方程為，相應(yīng)的迭代格式為；2、改寫方程為，相應(yīng)的迭代格式為.解：1、令，則，由于，因此迭代發(fā)散.2、令，則，由于，當(dāng)時(shí)，，因此迭代收斂?！?0分五、（10分）已知(1)推導(dǎo)以這三點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)在上的插值型求積公式（即求系數(shù)）；(2)該求積公式所具有的代數(shù)精度是多少？解：(1)所求插值型的求積公式形如：故。或：由三點(diǎn)插值型求積公式的代數(shù)精度至少為2，將代入上述公式，可得所以…6分（2）所求的求積公式是插值型，故至少具有2次代數(shù)精度，再將代入上述公式，可得………8分故代數(shù)精度是3次.……………10分六、（10分）取,用改進(jìn)的Euler方法求初值問(wèn)題在處的近似值.（計(jì)算過(guò)程保留5位小數(shù).）解：改進(jìn)的Euler公式為得到；………7分得xy0.51.12511.390625………10分七、（10分）利用矩陣的LU分解法解方程組.解：6分令得，得.10分八、（11分）利用龍貝格公式計(jì)算定積分(計(jì)算到即可)：將計(jì)算結(jié)果填入下表(*號(hào)處不填).（小數(shù)點(diǎn)后保留5位小數(shù)）0*********1******2***3解，, ,,, ,,, ,,.016*********116.9442817.25904******217.2277417.3222317.32644***317.3060017.3320917.3327517.33285………10分九、（12分）分別寫出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—賽德?tīng)柕蠼夥匠探M：的迭代公式.并判斷用高斯—賽德?tīng)柕ㄇ蠼庠摲匠探M的收斂性。解:Jacibo迭代公式為:Gauss-Seidel迭代公式為:………8分(2)解:設(shè)矩陣可分解為三個(gè)矩陣的和,即,其中,所以,Gauss