圓的方程（9題型分類）-2025年高考數(shù)學專項復習（原卷版）

專題40圓的方程9題型分類

彩題如工總

題型1:求圓的方程

彩先正寶庫

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點的距離等于定運的點的集合叫做圓

圓心C(a,b)

標準(x—a)2+(y—Z?)2=r2(廠>。)

半徑為r

方程圓心c（一號-f）

x2+y2+Dx+Ey+F^0

一般

(￡>2+￡2-4f>0)半徑r=^\/D2+E2—4F

2.點與圓的位置關(guān)系

平面上的一點M（xo，yo）與圓C：（x—。y+?-6）2=，之間存在著下列關(guān)系：

2

m\MC\>r^M在圓處，即（猶-a）+（y0-bf>r^M在圓外；

（2）|MC|=rOM在圓上，即（xo—a）?+（jo—bp=r20M在圓上；

（3）|MC|<rOM在圓內(nèi),即（我一aA+So—b）2c戶0M在圓內(nèi).

【常用結(jié)論】

1.以A（xi，yi）,8（尤2，y2）為直徑端點的圓的方程為（x—尤1）（無一X2）+（y—yi）（y—〉2）=0.

2.圓心在過切點且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

彩偏題祕籍

(―)

1.求圓的方程的常用方法

⑴直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.

⑵待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設圓的標準方程，求出a,b,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進而求出。，E,尸的值.

2.方程//石y+歹=o表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0,故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題

時，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為半徑/=；’0+八一4尸

3.點與圓的位置關(guān)系判斷

⑴點尸(%,%)與圓(x-4+⑶-4=戶的位置關(guān)系:

①(x-a)2+(y-fe)2>/o點P在圓外；

②(x-a)?+(y—b)2=/o點尸在圓上；

③(x-0)2+(y-4</。點尸在圓內(nèi).

(2)點尸(x(),%)與圓X?+9+Dx+￡y+F=0的位置關(guān)系：

①北+此+Dx。+E%+尸>0o點尸在圓夕卜；

②焉+y；+r?Xo+E%+F=Oo點P在圓上；

③君+北+。.％+￡%+尸<。0點P在圓內(nèi).

4.(1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱

(2)圓關(guān)于點對稱：

①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程

②兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點

(3)圓關(guān)于直線對稱：

①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程

②兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線

題型1:求圓的方程

1-1.(2024高一上?江蘇連云港?期末)求過兩點4(0,4),3(4,6),且圓心在直線x-2y-2=0上的圓的標準

方程是()

A.(尤+4了+(y+l)z=25B.(%+4)2+(y-l)2=25

C.(%-4)2+(y+l)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

1-2.(2024高三下?陜西西安?階段練習)過點尸(4,2)作圓V+y2=4的兩條切線，切點分別為A,B,貝U△上鉆

的外接圓方程是()

A.(X-2)2+(J；-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(A:+2)2+(J+1)2=5D.(尤+盯+(y+2)2=20

1-3.(2024?福建福州?模擬預測)已知A(-&,0),B(60),C(0,3),則VABC外接圓的方程為()

A.(x-l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4C.%2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

題型2:用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

2-1.(2024高二上?甘肅金昌?期中)若方程V+y2+依+2>2=0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.a<-2B.a>2

C.av-2或。>2D.a<-2^a>2

2-2.(2024高三?全國?課后作業(yè))關(guān)于x、y的方程AX2+B孫+Cy2+Dx+Ey+p=o表示一個圓的充要條件

是().

A.B=0,且A=CwO

B.B=l,且。2+--4AF>0

C.8=0,且4=CV0,D2+E2-4AF>0

D.B=0,>A=C^0,D2+￡2-4AF>0

2-3.(2024高三下?河南?階段練習)是"方程2/+2/+2以+6丫+5°=0表示圓”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型3:點與圓的位置關(guān)系判斷

3-1.（2024?遼寧?二模）己知圓O:尤?+；/=/,直線/：3x+4y=/,若/與圓。相交，則（）.

A.點尸（3,4）在/上B.點尸（3,4）在圓。上

C.點P（3,4）在圓。內(nèi)D.點尸（3,4）在圓。外

3-2.（2024高二上?全國?課后作業(yè)）若點（a+l,a-l）在圓x2+y2-2ay-4=。的內(nèi)部,則a的取值范圍是（）.

A.a>lB.0<a<lC.-l<a<—D.a<l

5

3-3.（2024高二上,全國?課后作業(yè)）點P（5,祖）與圓Y+y=24的位置關(guān)系是（）

A.點在圓上B.點在圓內(nèi)C.點在圓外D.不確定

3-4.（2024?甘肅定西,模擬預測）若點（2,1）在圓x2+y2_x+y+a=o的外部，則。的取值范圍是（）

題型4：與圓有關(guān)的對稱問題

4-1.（2024?西藏日喀則?一模）已知圓+丁2-4x+2ay+3=0關(guān)于直線x+2y-6=0對稱，圓C交》于A、

B兩點，貝卜

4-2.（2024高三上?江西南昌?階段練習）已知圓（x+lF+（y-2）2=9上存在兩點關(guān)于直線

ax-by+2^0（a>0,b>0）對稱，貝i]a2+4h2的最小值是.

4-3.（2024高二上?上海浦東新?階段練習）已知圓C與圓。：/+/一4尤-2,+3=0關(guān)于直線4x+2y-5=0

對稱，則圓C的方程為.

彩健題祕籍

（二）

求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法

（1）直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

（2）定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

（3）相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式.

題型5:與圓有關(guān)的軌跡問題

5-1.（2024高三?全國?專題練習）已知圓G:Y+J-4x=0,平面上一動點P滿足：PM2+PN2=6且"（T。），

N（LO）.求動點P的軌跡方程；

5-2.（2024?福建）動點尸（x,y）到兩定點4（-3,0）和磯3,0）的距離的比等于2,求動點P的軌跡方程，并說

明這軌跡是什么圖形.

5-3.（2024高三?全國?專題練習）已知P（4,0）是圓尤2+3；2=36內(nèi)的一點,4,8是圓上兩動點，且滿足

ZAPB=90°，求矩形APBQ頂點Q的軌跡方程.

54（2024高二下?廣東深圳?期中）點尸（1,0）,點。是圓/+>2=4上的一個動點，則線段PQ的中點/的軌

跡方程是（）

A.+/=1B.入［一］=4

彩僻題秘籍（二）

與圓有關(guān)的最值問題的求解方法

（1）借助幾何性質(zhì)求最值：形如t—ajc+by,（x—a）2+（y—6）2形式的最值問題.

（2）建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判

別式法、基本不等式法等求最值.

⑶求解形如1PM+|PN|（其中M,N均為動點）且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定"，

把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之

和，一般要通過對稱性解決.

題型6：利用幾何性質(zhì)求最值

6-1.（2024?河北?一模）直線/：融+分-4=。與圓O：尤?+>2=4相切，貝!|（。-3）?+（>-4）?的最大值為（）

A.16B.25C.49D.81

6-2.（2024?吉林白山?一模）己知圓C:/+y2-4x-6y+12=0與直線，：x+y-l=0,P,。分別是圓C和直

線/上的點且直線尸。與圓c恰有1個公共點，則|尸0的最小值是（）

A.幣B.20C.V7-1D.2立-1

6-3.（2024?重慶）設尸是圓（x—3）2+（y+l）2=4上的動點，。是直線x=一3上的動點，則|PQ|的最小值為

（）

A.6B.4C.3D.2

題型7：利用函數(shù)求最值

7-1.（2024高三?全國?對口高考）在平面直角坐標系xOy中，以點A（2,0）,曲線丁=，1一才上的動點2,第

一象限內(nèi)的點C,構(gòu)成等腰直角三角形A3C,且NA=90。，則線段OC長的最大值是.

7-2.（2024?浙江?模擬預測）己知圓。：/+：/=4和點4（4,4）,由圓外一點尸向圓。引切線，切點分別為

M、N,^\AP[=\PM\=\PN\,則|。耳的最小值是（）

A70R7A/2「90n972

4242

彩他題祕籍

（四）

求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們

的直線系方程（圓系方程）.

（1）直線系方程：若直線4：Ax+與y+G=o與直線/2：4》+32>+^=。相交于點尸，則過點尸的直線系方

^§達/：4（4%++G）+4（4尤+與、+G）=o（4?+后。0）

2

簡t己為：44+^z2=o（^+gwo）

當//。時，簡記為：4+弘=。（不含，2）

（2）圓系方程：若圓G：+y2+Qx+gy+與=。與圓。2：+）2+02%+馬,+工=。相交于A,8兩點，則

2222

過A,B兩點的圓系方程為：X+y+Dxx+Exy+2（x+y+D2x+E2y+F2）=0（Z-1）

簡記為：C1+AC2=0a^-l）,不含C2

當4=-1時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）/：（2-3）x+（E=E2）y+G-乙=0

注意：與圓C共根軸/的圓系G:C+2/=。

題型8：圓系方程

8-1.（2024高二上?安徽銅陵?期中）經(jīng)過直線彳-2>=0與圓Y+y2-4x+2y-4=0的交點，且過點（1,0）的

圓的方程為.

8-2.（2024高三下?江蘇鹽城?階段練習）曲線3/->2=3與y=/一2》一8的四個交點所在圓的方程是.

8-3.（2024高二?遼寧?學業(yè)考試）過圓尤2+y-2y-4=0與f+y2-4x+2y=0的交點，且圓心在直線

/:2x+4y-]=0上的圓的方程是.

彩偏題秘籍（五）

圓過定點問題，想辦法求出含有參數(shù)6的圓的方程，然后按參數(shù)b整理后得/S）=。，只要讓此關(guān)于6的多

項式中各項系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0,就可解得定點.

題型9:圓過定點問題

9-1.（2024高二下?上海徐匯?期中）對任意實數(shù)加，圓/+/-3如-6沖+9加-2=0恒過定點，則定點坐標

為一

9-2.（2024高三?浙江溫州?階段練習）已知動圓圓心在拋物線/=4x上，且動圓恒與直線x=-L相切，則此

動圓必過定點—

9-3.（2024高三下?上海閔行?期中）若拋物線y=Y+ax+b與坐標軸分別交于三個不同的點A、B、C,則

7ABe的外接圓恒過的定點坐標為

煉習與梭升

一、單選題

1.（2024高三下廣西?階段練習）若直線x+2y+l=0是圓（x-4+y2=i的一條對稱軸，貝|]。=（）

11

A.—B.—C.1D.—1

22

2.(2024高二?全國?課后作業(yè))若方程W+r+z入x+24y+2/V—4+1=0表小圓，則入的取值范圍是()

A.(1,+°°)B.—,1

C.(1,+g)團(-8,1)D.R

3.(2024高二上?海南?？?期中)已知方程/+產(chǎn)+J晟+2y+2=0表示圓，則實數(shù)相的取值范圍為()

A.(1,+8)B.(2,+00)C.(3,+00)D.(4,+00)

4.(2024?浙江?模擬預測)圓C：(*-1)2+(、-2)2=2關(guān)于直線萬一〉=。對稱的圓的方程是()

A.(1)2+(>+2)2=2B.(x+l)2+(y+2)2=2

C.(x-2)2+(y-l)2=2D.(x+2)2+(y+l)2=2

5.(2024高二上?青海西寧?期末)已知圓心為(-2,3)的圓與直線x-y+l=0相切，則該圓的標準方程是()

A.(x+2)2+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=18

6.(2024?廣東佛山?模擬預測)己知圓C：(尤-iy+y2=4,過點A(0,l)的兩條直線乙，4互相垂直，圓心C

到直線4，4的距離分別為4，d2>則44的最大值為()

A.—B.1C.J2D.4

2

7.(2024?北京)若直線2x+y-l=。是圓(無一。)2+/=1的一條對稱軸，貝lja=()

11?

A.—B.—C.1D.—1

22

8.(2024高二?全國?課后作業(yè))若圓C：f+y?一2(加一1卜+2(7%-1),+2加_6m+4=0過坐標原點，則實

數(shù)加的值為()

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

9.(2024?湖南郴州?模擬預測)已知A,8是。C：(x-Z)?+(^-4)?=25上的兩個動點，尸是線段的中

點，若|AB|=6,則點P的軌跡方程為()

A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(%-2)2+(j7-4)2=11

C.(x-2)2+—4)2=16D.(x-4)2+(y-2)2=11

10.(2024高三下?重慶?階段練習)德國數(shù)學家米勒曾提出過如下的"最大視角定理"(也稱"米勒定理")：若

點A,8是NMON的31邊上的兩個定點，C是ON邊上的一個動點，當且僅當VABC的外接圓與邊ON相切

于點C時，NACB最大.在平面直角坐標系中，已知點。(2,0),E(4,0),點尸是y軸負半軸的一個動點，

當NDFE最大時，ADE戶的外接圓的方程是().

A.(x-3y+(y+2&『=9B.(x-3)2+(^-2A/2)2=9

C.(尤+2@2+(y_3『=8D.(X-2V2)2+(J-3)2=8

11.(2024高二?全國?課后作業(yè))已知直線(3+2㈤x+(34-2)y+5-4=0恒過定點尸，則與圓C：

(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圓心且過點尸的圓的標準方程為()

A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(無一2)?+(y+3)2=9

12.(2024高二上?甘肅慶陽?期末)已知圓C:/+y2=25與直線/:3x-4y+m=0(機>0)相切，則圓C關(guān)于

直線/對稱的圓的方程為()

A.(%+3)2+(y-4)2=16B.(%+3)2+(y-4)2=25

C.(x+6)2+(y-8)2=16D.(x+6)2+(y-8)2=25

13.(2024高一上?廣東廣州?期末)已知圓的圓心為(-2,1),其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標軸上，則這

個圓的方程是()

A.x2+y2+4x-2y=0B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x~+y~+4尤-2y-5=0D.x~+-4.x+2,y—0

14.(2024?全國)在平面內(nèi)，A,B是兩個定點，C是動點，若配.冊=1,則點C的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

15.(2024?北京)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為().

A.4B.5C.6D.7

16.(2024高二上,江蘇鹽城?期中)若直線/：x+m(y-4)=0與曲線x=“T手有兩個交點，則實數(shù)機的取

值范圍是()

A.0<m<B,0<m<C.0<m<A/3D.0<m<>/3

33

17.(2024高二上?廣東清遠?期末)若過點P(2,4)且斜率為左的直線/與曲線y=有且只有一個交點，

則實數(shù)左的值不可能是()

18.（2024高一下?四川自貢?期中）點尸在單位圓回。上（O為坐標原點），點4（-1,-1）1（0,-1）,

AP=piAO+^AB,則〃+彳的最大值為（）

,3廣

A.—B.-J3C.2D.3

2

19.（2024高三?全國?專題練習）己知點網(wǎng)1,一2）在圓C：丘+4y+F+i=。的外部，則上的取值范

圍是（）

A.—2<左<1B.lvk<2C.k<-2D.—2V左

PB

20.（2024高三下?河南開封?階段練習）已知點A（0,Y）,點B（2,0）,P為圓。：尤2+丫2=4上一動點，則》

的最大值是（）

A.垣B.巫C.述D.空

3432

21.（2024高三上?福建龍巖?期中）"方程》2+/一4工+6、+。=0表示的圖形是圓"是"/一144<0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22.（2024?福建泉州,模擬預測）已知圓UY+V+mx-2y=0關(guān)于直線/:（<7+l）x-ay-l=0（aH-l）對稱,

/與C交于A,B兩點，設坐標原點為0,貝/。旬+|0同的最大值等于（）

A.2B.4C.8D.16

23.（2024高三上?河南焦作?開學考試）已知圓經(jīng)過點A（4,4）,3（-2,4）,C（4,-4）,則該圓的半徑為（）

A.4B.5C.8D.10

24.（2024?北京平谷?一模）點〃、N在圓C:尤2+9+2履+2%-4=0上，且M、N兩點關(guān)于直線x-y+l=0

對稱，則圓C的半徑（）

A.最大值為也B.最小值為也C.最小值為還D.最大值為里

2222

25.（2024高二?全國?課后作業(yè)）若a￡（0,2?），使曲線/cosa+y2sina+xcosi+ysina+l=0是圓，貝心）

57171兀f71

A.cc=-B.CL——C.oc——ct——D.cc=—

44442

26.（2024高三上?上海奉賢?階段練習）已知：圓C的方程為，（羽y）=。，點尸（七,%）不在圓C上，也不在圓

C的圓心上，方程C，：/(x,y)-/(x°,%)=0,則下面判斷正確的是()

A.方程。表示的曲線不存在

B.方程。表示與C同心且半徑不同的圓

C.方程。表示與C相交的圓

D.當點P在圓C外時，方程。表示與C相離的圓

27.(2024高二?全國,專題練習)圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓無2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交

點的圓的方程為()

A.N+y2_x+7y_32=0B.N+y2-x+7y-16=0

C.x2+y2-4x+4y+9=0D.x2+j2-4.r+4y-8=0

28.(2024高三上?山東東營?階段練習)過拋物線/=4尤的焦點廠的直線交拋物線于A、2兩點，分別過A、

8兩點作準線的垂線，垂足分別為A，用兩點，以線段4瓦為直徑的圓C過點(-2,3),則圓C的方程為()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(x+l)2+(y+2)2=26

29.(2024?貴州貴陽?模擬預測)過4(0,1)、3(0,3)兩點，且與直線y=》-1相切的圓的方程可以是()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y-2)2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2D.(x+2)+(y-2)=5

30.(2024?全國)已知實數(shù)羽丁滿足V+y2—4x—2,一4=0,則無—y的最大值是()

A.1+孚B.4C.1+3忘D.7

31.(2024高三?全國?專題練習)廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚

太極圖"如圖是放在平面直角坐標系中的"太極圖"整個圖形是一個圓形區(qū)域f+y2V4.其中黑色陰影區(qū)域

l,x>0

在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓.已知符號函數(shù)sgn(x)=0,x=0,貝i］當尤?+丁(4時，下列不等式能表

—1,x<0

示圖中陰影部分的是()

A.x(x2+(y-sgn(x))2-1)<0B.y((x-sgn(y))2+y2-1)<0

C.+(y-sgn(%))2-1)>0D.y((%-sgn(y))2+y2-1)>0

32.（2024?安徽?三模）已知是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點（2,0）對稱，當無目0,2］時,

?。?/-（1）2,若方程/⑺-可尸2）=0的所有根的和為6,則實數(shù)上的取值范圍是（）

33.（2024高二下?四川南充?階段練習）曲線萬=。，要使直線y=m（meR）與曲線

「有四個不同的交點，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.（-3-V3）U（-A/3,V3）U（A3）B.卜3,-⑹U,3）

C.（3,3）D.（-后為）

34.（2024?安徽亳州?模擬預測）若兩條直線乙：y=x+m,/2.y=x+w與圓/+/—2x-2y+f=。的四個

交點能構(gòu)成矩形，則根+〃=（）

A.0B.1C.2D.3

35.（2024高二上?浙江嘉興?期末）直線2x+y-2=0與曲線（x+y-l）正衣N=。的交點個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

36.（2024高二下?山西晉城?開學考試）直線、=尤+6與曲線y=l-曰二N有兩個不同的交點，則實數(shù)6的

取值范圍是（）

A.(1-272,1+272)B.(1-272,-1]

c.[-1,1+25/^)D.[3,1+272)

37.（2024高二上?遼寧營口?階段練習）已知曲線y=+4x_3與直線人-y+/-1=0有兩個不同的交點,

則實數(shù)上的取值范圍是（）

「12]（八3）[13）「12）

[23J（4；[24）L43；

38.（河南省鄭州市第四高級中學2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學試題）若直線/：履->-2=0與曲線

C:Jl-（y-=x-l有兩個交點,則實數(shù)上的取值范圍是（）

A.白]B.[川C.卜2,：卜02]D,

二、填空題

39.（2024高三?全國?對口高考）經(jīng)過三點A（2,3）,3（-2,-1）,C（4,1）的圓的方程為.

40.（2024?全國）過四點（0,。）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點的一個圓的方程為.

41.（2024高三下?江西南昌?階段練習）圓心在直線y=2x上，與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為

714的圓的方程為.

42.（2024?全國）設點M在直線2x+y-l=0上，點（3,0）和（0,1）均在上，則。"的方程為.

43.（2024高一下■江西九江?期中）經(jīng)過兩圓f+y2+6x-4=0和尤2+y2+6y-28=0的交點，且圓心在直線

彳-了-4=0上的圓的方程為

44.（2024高一?全國?單元測試）過兩圓/+丁2-苫-丫-2=0與_￥2+9+4犬-4丫-8=0的交點和點（3,1）的圓

的方程是.

45.（2024高二下,上海?開學考試）對任意實數(shù)”?，圓Y+/-2??:-4〃少+6%-2=0恒過定點，則其坐標

為.

46.（2024高三上?北京?階段練習）若圓尤②+V+以+Ey+尸=0關(guān)于直線乙：x-y+4=。和直線/?：x+3y=。

都對稱，則。+E的值為.

47.（2024高二下?四川成者B?開學考試）圓/+/+2工一4>+1=0關(guān)于直線分+、+1=。對稱，貝

48.（2024高二上?安徽蕪湖?期中）已知關(guān)于工,>的二元二次方程/+）；2-23+3卜+2（1-4/b+16〃+9=0,

當f為時，方程表示的圓的半徑最大.

49.（2024?河南?模擬預測）已知圓C經(jīng)過拋物線丁=/-4工-8與x軸的交點，且過點（0,2）,則圓C的方程

為.

50.（2024高二?全國?課后作業(yè)）/是拋物線y=》上一點，N是圓C：（尤+lF+（y—4）2=1關(guān)于直線x—y+1

=0的對稱圓C'上的一點，則的最小值是.

51.（2024高三上?湖北武漢?階段練習）圓心在直線x+y-l=0上且與直線2無-y-1=0相切于點（1,1）的圓

的方程是.

52.（2024?廣東揭陽?模擬預測）寫出一個經(jīng)過原點，截、軸所得弦長是截x軸所得弦長2倍的圓的標準方

程.

53.（2024高二上?浙江紹興?期中）已知圓C過直線2x+y+4=0和圓尤2+,2+2》-4＞+1=0的交點，且原點

在圓C上.則圓C的方程為.

54.（2024?天津?一模）已知一個圓經(jīng)過直線/：2x+y+4=0與圓C:/+;/+2x-4y=0的兩個交點，并且有

最小面積，則此圓的方程為.

55.（2024?重慶）動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必過點.

56.（2024高三上■上海徐匯?期末）已知二次函數(shù)/（x）=x2+2x+b（xeR）的圖像與坐標軸有三個不同的交點，

經(jīng)過這三個交點的圓記為C,則圓C經(jīng)過定點的坐標為（其坐標與6無關(guān)）

57.（2024高三?全國?階段練習）已知直線'=6+1與曲線/+/+法一丁=1交于兩點，且這兩點關(guān)于直線

x+y=0對稱，ab=.

58.（2024高二,全國,課后作業(yè)）已知圓C1的標準方程是（x-4）~+（y-4）2=25,圓C2:x~+-4x+沖+3=0

關(guān)于直線無+gy+l=0對稱，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系為.

59.（2024高二上廣東廣州?期中）已知圓（x+iy+（y-3）2=9上存在兩點關(guān)于直線依-處+1=0（。＞。力＞0）

對稱，則上1+；3的最小值是____________