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山東省棗莊市棗莊五中2025屆高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若不等式對任意的恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知全集,則集合的子集個數(shù)為()A. B. C. D.3.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究,第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn),使得值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.4.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.5.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.06.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知命題:使成立.則為()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立8.某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試,先將600個零件進行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.5789.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關(guān)系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關(guān)系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.810.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.11.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值是()A. B. C. D.412.公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.12二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項和為,,則滿足的正整數(shù)的值為______.14.若,,則___________.15.(5分)已知函數(shù),則不等式的解集為____________.16.我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:問亭方幾何?”大致意思是:有一個四棱錐下底邊長為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺狀方亭,且四棱臺的上底邊長為六尺,則該正四棱臺的高為________尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點”.(1)設(shè)函數(shù)().①當(dāng)時,求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個不相等的“F點”,,且,求a的取值范圍.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.(1)求證:平面;(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù),直線是曲線在處的切線.(1)求證:無論實數(shù)取何值,直線恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo);(2)若直線經(jīng)過點,試判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明.20.(12分)已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.(為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若的圖象在點處的切線經(jīng)過點,求的值;(2)若不等式恒成立,求正整數(shù)的最小值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范圍;(Ⅱ)若a<0,對?x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+22.(10分)如圖(1)五邊形中,,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點為線段的中點,且平面.(1)求證:平面平面;(2)若直線與所成角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先求出函數(shù)在處的切線方程,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】當(dāng)時,,所以函數(shù)在處的切線方程為:,令,它與橫軸的交點坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示:利用數(shù)形結(jié)合思想可知:不等式對任意的恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是.故選:A【點睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.2、C【解析】
先求B.再求,求得則子集個數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個數(shù)為故選C【點睛】此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數(shù),熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題3、B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時,滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.4、D【解析】
先用復(fù)數(shù)的除法運算將復(fù)數(shù)化簡,然后用模長公式求模長.【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點,得到每爬1步回到起點,周期為1.計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點,即可計算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過1段后又回到起點,可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點;同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點,所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.6、C【解析】
由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,可得有解,令,則,對分類討論,得出時,取得極大值,也即為最大值,進而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,即有解,令,則,則當(dāng)時,;當(dāng)時,,故時,取得極大值,也即為最大值,當(dāng)趨近于時,趨近于,所以滿足條件.故選:C.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,考查抽象概括、運算求解等數(shù)學(xué)能力,屬于難題.7、A【解析】試題分析:原命題為特稱命題,故其否定為全稱命題,即.考點:全稱命題.8、D【解析】
因為要對600個零件進行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復(fù)出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因為535重復(fù)出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應(yīng)用,正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】
利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
利用特殊點的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題,代入特殊點,采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,屬于中檔題.11、D【解析】
模擬程序運行,觀察變量值的變化,得出的變化以4為周期出現(xiàn),由此可得結(jié)論.【詳解】;如此循環(huán)下去,當(dāng)時,,此時不滿足,循環(huán)結(jié)束,輸出的值是4.故選:D.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu).解題時模擬程序運行,觀察變量值的變化,確定程序功能,可得結(jié)論.12、C【解析】
由開始,按照框圖,依次求出s,進行判斷?!驹斀狻?,故選C.【點睛】框圖問題,依據(jù)框圖結(jié)構(gòu),依次準(zhǔn)確求出數(shù)值,進行判斷,是解題關(guān)鍵。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、6【解析】
已知,利用,求出通項,然后即可求解【詳解】∵,∴當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴,故數(shù)列是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查通項求解問題,屬于基礎(chǔ)題14、【解析】
因為,所以,又,所以,則,所以.15、【解析】
易知函數(shù)的定義域為,且,則是上的偶函數(shù).由于在上單調(diào)遞增,而在上也單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,故知在上單調(diào)遞增.令,知,則不等式可化為,即,可得,又,是偶函數(shù),可得,由在上單調(diào)遞增,可得,則,解得,故不等式的解集為.16、213892【解析】
根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高,再計算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺ABCD-A'B'C'D',且上底邊長為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺的體積是,故答案為:21;3892.【點睛】本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題,也考查了棱臺的體積計算問題,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①極小值為1,無極大值.②實數(shù)k的值為1.(2)【解析】
(1)①將代入可得,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個“F點”(),即是的零點,那么由導(dǎo)數(shù)可知,且,可得,根據(jù)可得,設(shè),由的單調(diào)性可得,即得.(2)方法一:先求的導(dǎo)數(shù),存在兩個不相等的“F點”,,可以由和韋達定理表示出,的關(guān)系,再由,可得的關(guān)系式,根據(jù)已知解即得.方法二:由函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和,可知,是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根,由得,分兩種情況:是函數(shù)一個“F點”,不是函數(shù)一個“F點”,進行討論即得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時,(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數(shù)在處取得極小值,極小值為1,無極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個“F點”().(),是函數(shù)的零點.,由,得,,由,得,即.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)增,注意到,所以方程存在唯一實根1,所以,得,根據(jù)①知,時,是函數(shù)的極小值點,所以1是函數(shù)的“F點”.綜上,得實數(shù)k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和,,是關(guān)于x的方程()的兩個相異實數(shù)根.又,,,即,從而,,即..,,解得.所以,實數(shù)a的取值范圍為.(2)(解法2)因為(a,b,,)所以().又因為函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和,所以,是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根.由得,.(2.1)當(dāng)是函數(shù)一個“F點”時,且.所以,即.又,所以,所以.又,所以.(2.2)當(dāng)不是函數(shù)一個“F點”時,則,是關(guān)于x的方程的兩個相異實數(shù)根.又,所以得所以,得.所以,得.綜合(2.1)(2.2),實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等,是一道關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合性題目,考查學(xué)生的分析和數(shù)學(xué)運算能力,有一定難度.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由底面為菱形,得,再由底面,可得,結(jié)合線面垂直的判定可得平面;(2)以點為坐標(biāo)原點,以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:底面為菱形,,底面,平面,又,平面,平面;(2)解:,,為等邊三角形,.底面,是直線與平面所成的角為,在中,由,解得.如圖,以點為坐標(biāo)原點,以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.,,,.設(shè)平面與平面的一個法向量分別為,.由,取,得;由,取,得..平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.19、(1)見解析,(2)函數(shù)存在唯一零點.【解析】
(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率,利用點斜式即可求出切線方程,根據(jù)方程即可求出定點.(2)由(1)求出函數(shù),令方程可轉(zhuǎn)化為記,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù),由零點存在性定理即可求出零點個數(shù).【詳解】所以直線方程為即,恒過點將代入直線方程,得考慮方程即,等價于記,則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增,又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點,即函數(shù)存在唯一零點.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點存在性定理,屬于難題.20、(1)e;(2)2.【解析】
(1)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì),得出,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出曲線在點處的切線為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,即可得出的值;(2)設(shè),求導(dǎo),求出的單調(diào)性,從而得出最大值為,結(jié)合恒成立的性質(zhì),得出正整數(shù)的最小值.【詳解】(1)根據(jù)題意,與的圖象關(guān)于直線對稱,所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù),則,,設(shè)點,,又,當(dāng)時,,曲線在點處的切線為,即,代入點,得,即,構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,,且,當(dāng)時,單調(diào)遞增,而,故存在唯一的實數(shù)根.(2)由于不等式恒成立,可設(shè),所以,令,得.所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,因此函數(shù)在是增函數(shù),在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令,因為,,又因為在是減函數(shù).所以當(dāng)時,.所以正整數(shù)的最小值為2.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題,涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等,考查函數(shù)思想和計算能力.21、(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】
(Ⅰ)由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1,利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,分別求出【詳解】(Ⅰ)由題意知,f(1)=|1-2a|-|1-a|>1,若a≤12,則不等式化為1-2a-1+a>1,解得若12<a<1,則不等式化為2a-1-(1-a)>1,解得若a≥1,則不等式化為2a-1+1-a>1,解得a>1,綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)由題意知,要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立,只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時,|x-2
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