浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案

題號(hào)1234567891011

答案CABBCDBDABABCACD

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的)

1,下列直線中，傾斜角最大的是()

A.y(3x+y+1=0B.>/3x-y+1=0

C.x+y+l=0D.x-y+l=0

【答案】C

【解析】

【分析】求出各選項(xiàng)中的直線傾斜角，再比較大小即得.

【詳解】直線底+y+l=0的斜率為-傾斜角為120°;直線后一丁+1=0的斜率

為石，傾斜角為60°，

直線x+y+l=0的斜率為-1,傾斜角為135°：直線*一歹+1=0的斜率為1，傾斜角為45°，

顯然直線x+y+l=0的傾斜角最大.

故選：C

2.已知點(diǎn)/(3,2,-1),3(4,1,-2),。(一5,4,3),且四邊形力BC。是平行四邊形，則點(diǎn)D的

坐標(biāo)為()

A.(-6,5,4)B.(3,-2,7)

C.(-1,2,6)D.(-6,1,-3)

【答案】A

第1頁共23頁

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(X//).結(jié)合平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)和空間向

量的相等向量的計(jì)算即可求解.

【詳解】設(shè)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(X,y,z),

由題意得刀=(4,1,—2)-(3,2,—1)=(1,—L-1)

DC=(-5,4,3)-(x,/z)=(-5-x,4-乂3-z),

因?yàn)樗倪呅?88是平行四邊形，所以荏=皮,

-5-^=1x=-6

所以＜4-y=-l,解得〈歹=5,

3-z=-0z=4

故選：A

3.如圖，平行六面體NBC。-48clz)|中，E為BC的中點(diǎn)，施布=石，

2

-3工一D-—1

C.aH—b+c

222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.

【詳解】在平行六面體NBC。—44GA中，E為BC的中點(diǎn)，

所以Z)[E=DM+AlA+AB+BE=-AD-AA}+AB+^AD=a-^b-c.

故選：B

4.如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面,

第2頁共23頁

可以看成是雙曲線。!-白叱叱。）的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面

若該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,最大直徑為60cm,雙曲線的離心率為卡，則該

花瓶的高為（）

A90cmB.100cmC.110cmD.

120cm

【答案】B

【解析】

【分析】由a）,c關(guān)系以及離心率、。=20可得雙曲線方程，進(jìn)一步代入x=30即可求解.

【詳解】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,有a=20,

又由雙曲線的離心率為痣，有c=20#,b=206，

22

可得雙曲線的方程為------J=1,代入X=30,可得歹=±50,故該花瓶的高為100cm.

4002000

故選：B

5.若直線2x+（2a-5）y+2=0與直線加+2y-l=0互相垂直，則/+/的最小值為（）

A.73B.3C.5D.6

【答案】C

【分析】由兩直線垂直得。力關(guān)系后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解，

【解析】因?yàn)橹本€2x+（2a-5）y+2=0與直線bx+2y-l=0互相垂直，

所以乃+2（2"5）=0,化簡得b=5-2a,

所以/2-2*+25=5（a-2）2+5,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取J"，所以，+從

的最小值為5,

第3頁共23頁

故選：c

22

Yv

6.已知雙曲線/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，片，點(diǎn)A在V軸上，點(diǎn)B在

ab

______,__

。上，耳1至,即=§不§,則。的離心率為（）

A.手>B.y/3+y/2C.2D.73+1

【答案】D

【解析】

【分析】\AB\=x,根據(jù)條件表示出以用傷|颶怛盟,則可表示出a,c,進(jìn)而可

得離心率.

【詳解】如圖，令|4B|=x,由即=百瓦瓦得卜耳|=|四|=2x,

又?.?ABA.BF2,則忸工|=后,|班|=3X,\BF{\-\BF2\=（3-外=2a,

即4=三叵x，又由|耳=2c=、BF；+BF；=2Gx,得6=氐，

7.已知雙曲線q=i（。>0,b>0）的離心率為行，圓&一。）2+歹2=9與c

ab

的一條漸近線相交，且弦長不小于2,則。的取值范圍是（）

A.（0,1]B,（p,Vw]C.（0,3D-°i

【答案】B

第4頁共23頁

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得漸近線方程為歹=±2x,結(jié)合弦長可得p—T

219s2

運(yùn)算求解即可.

【詳解】設(shè)雙曲線。的半焦距為c>0,

且雙曲線。的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線。的漸近線為y=±2x,

因?yàn)閳A（x-a）2+必=9的圓心為（a,0）,半徑r=3,

可知圓（x—a）2+j?=9關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨取漸近線為少=2x,即2x-y=0,

則圓心（。,0）到漸近線的距離d=^<3,可得0<口<￥，

又因?yàn)閳A。一。）2+歹2=9與雙曲線c的一條漸近線相交弦長為2j產(chǎn)一/=2,9-警，

由題意可得，2斤l—TT2解得，

所以。的取值范圍是

故選：B

8.已知曲線氏x\x\+y\y\=1,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.曲線￡與直線V=-x無公共點(diǎn)B.曲線￡關(guān)于直線x對(duì)稱

c.曲線￡與圓（、+、5）2+（，+播）2=9有三個(gè)公共點(diǎn)D.曲線￡上的點(diǎn)到直線y=-x

的最大距離是0【答案】D

【解析】

【分析】分類討論求出曲線的方程，畫出圖象，結(jié)合圖象逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】因?yàn)榍€E的方程為中|+丁3=1,

當(dāng)XNO,時(shí)，曲線E的方程為V+y2=],

當(dāng)x>0,歹<0時(shí)，曲線E的方程為*2一/=1,

第5頁共23頁

是焦點(diǎn)在X上的等軸雙曲線右支的一部分.

當(dāng)x＜0,歹＞0時(shí)，曲線E的方程為/一犬=1,

是焦點(diǎn)在V上的等軸雙曲線上支的一部分.

作出曲線E的圖象如圖：

由圖象可知曲線E關(guān)于直線歹=*對(duì)稱，曲線E與直線P=-X無公共點(diǎn)，故A,B正確;

作夕=一》的平行線與曲線E切于點(diǎn)4日，￥），

曲線E上的點(diǎn)到直線＞V=-X的最大距離是圓的半徑。4為1,故D錯(cuò)誤：

圓（*+收）2+（y+"If=9的圓心為：（一也,一&），

曲線E上的點(diǎn)Z?，弓到圓心的最大距離為小孝+拒+〔乎+收=3.

圓過點(diǎn)A,如圖：

曲線E與圓（X+7份）2+（歹+￡）2=9有三個(gè)公共點(diǎn)，故C正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0

第6頁共23頁

分.

9.已知向量R=?,2f,2）,&=（2，-2,一￡,一1）,則下列結(jié)論正確的是（）

一一4

A.若耳_L馬，貝h=—1B.若R〃&，貝ijf=1

C?同的最大值2D.［口成鈍角，則>7

【答案】AB

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】A.若不，&,則不?&=/（21-2）-2『一2=0,得1=一1,故A正確:

B.若則q=笳2，即&2/,2）=4（2/—2,—/,—1）,得

7=X（2X-2）

<2z=-At,解得：A=-2,t=~,故B正確；

2=-A

C.同=〃+4,+4=折+422,當(dāng)》=0時(shí)，聞的最小值2,故C錯(cuò)誤；

D.7.7nmii,、i由B可知，AD錯(cuò)。

e*2=-2"2<0,則/>-1,￡>-1且/。上

5

故選：AB

10.如圖所示，在棱長為2的正方體/BCD-44GA中，P是線段G4上的動(dòng)點(diǎn)，則下

列說法正確的是（）

A.平面BB】P工平面4BCDB.BP的最小值為2近

C.若尸是GR的中點(diǎn)，則到平面8局P的距離為與5

D.若直線用尸與8〃所成角的余弦值為半，則RP=g

【答案】ABC

【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理即可判斷A；結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征判斷當(dāng)點(diǎn)P與G重合

時(shí)，BP取最小值，即可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間角的向

第7頁共23頁

量求法可判斷C；將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，根據(jù)空間距離的向量求法求得點(diǎn)A到平面

3用尸的距離，即可判斷D.

【詳解】在正方體44GA中，因?yàn)?月_L平面力BCD,8&u平面B&P,

所以平面8與P_L平面力BC。，故A正確;

連接BG，由AG1平面BBC。，BC|U平面得。1G，BG，

故在RtZYDCR中，當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，8P取最小值2及，故B正確；

如圖，以。4、DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-乎，

則3(2,2,0),4(2,2,2),A(0,0,2),設(shè)尸(0,肛2),0<w<2,

則肝=(—2,加—2,0),西=(—2,-2,2),

假設(shè)存在點(diǎn)P,使直線片尸與3A所成角的余弦值為巫，

BRBD]_\8-2m\

則卜os〈81P,8A〉卜

網(wǎng)西,4+(“—2)2.265

解得加=-2(舍去)，或加=1,此時(shí)點(diǎn)尸是GA中點(diǎn)，DP=l,故D錯(cuò)誤：

由44i,8片且44a平面8片尸，BB】u平面BBF,知及"平面BqP,

則44到平面BBF的距離，即為A到平面84尸的距離：

尸是GA的中點(diǎn)，故尸(0,1,2),AS=(0,2,0),V=(-2-1,0),函=(0,0,2),

一/、{m-B,P=0123+歹=0

設(shè)平面8耳尸的法向量為加=(xj,z),則_L,即'],

比?即=0[2z=0

第8頁共23頁

取x=l,則y=-2,z=0,故而=(1,-2,0),

.司44#

所以點(diǎn)A到平面BBF的距離為J—=二=至2,

|同亞5

即到平面84P的距離為"5,c正確.

5

故選：ABC

11.11.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美

觀念，中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.已知在平面

直角坐標(biāo)系xOy中，到兩定點(diǎn)耳B(a,0)距離之積為常數(shù)〃的點(diǎn)的軌跡C是雙

紐線.若“(3,0)是曲線C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C上有且僅有1個(gè)點(diǎn)尸滿足|尸耳=忱工|

B.B.曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

C.若直線蚱去與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為

D.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3

答案ACD

22222

【詳解】【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：||?|PF21=yl(x+a)+y-yl(x-a')+y=a,

化簡得到：［？+/)

將”(3,0)代入可得2a2=9，

所以曲線0：卜2+丁2)2=912-。).

把(一蒼一刃代入［2+J?)2=9卜2一歹2)得+/2)2=912_/),

對(duì)于選項(xiàng)A：點(diǎn)尸滿足|P團(tuán)=|尸鳥］,則尸在質(zhì)垂直平分線上，則Xp=0,

設(shè)尸(0,Vp),則("2'

第9頁共23頁

Tp=0,故只有原點(diǎn)滿足，一個(gè)點(diǎn)。

令尸0解得x=0,或、=±3,即曲線經(jīng)過(0,0),(3,0),(-3,0),

結(jié)合圖象，-3WxW3,

令、=±1,得令、=±2,得i<y2=zlZ^^<2,

因此結(jié)合圖象曲線。只能經(jīng)過3個(gè)整點(diǎn)，(0,0),(2,0),(-2,0),故B錯(cuò)誤；

+埒=9(W_/)可得+/=w9,

所以曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離〃=G7743,即都不超過3,

故D正確；

直線^=去與曲線■2+、2)2=962-;;2)一定有公共點(diǎn)(0,0),

若直線V=b與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以,32+")=9(W-V),整理得/(1+公)2=9/(1-〃)無解，

y=kx

即1-公40,解得壯(-8,-1］。［1，-)，故C正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.點(diǎn)M(1,0)到直線y=kx+2的距離最大值是.

【答案】V5

【解析】

【分析】根據(jù)直線夕=6+2過定點(diǎn)2(0,2),得至“初胃=有，進(jìn)而得到答案.

【詳解】由題意得，直線夕=丘+2過定點(diǎn)4(0,2),則|初4|=若，

如圖所示，當(dāng)直線丁=丘+2與直線M4垂直時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)”(1,0)到直線y=kx+2的距離最大值，且最大值為V5.

故答案為：V5.

第10頁共23頁

o\MX

13.如圖，在三棱錐尸一48。中，已知尸/_!,平面ZBC,ZXBC=120°,

PA=AB=BC=6,則向量定在向量部上的投影向量為(用向量前來表

【答案】-BC

2

【解析】

【分析】寫出正表達(dá)式，求出沙?前，萬?前，前?前，即可得出向量定在向量前

上的投影向量.

【詳解】由題意，

在三棱錐P—Z8C中，已知P4_L平面4BC,

~PC=~PA+^B+BC,

；BCu面ABC,

：.PALBC,PA-BC=Q,

在中，ZABC=120°,PA=AB=BC=6,

/.BC-5C=|5C|2=36,

AB-5C=|IB|-|BC|COS(1800-Z^BC)=6X6COS(180°-120°)=18,

向量正在向量元上的投影向量為：

第11頁共23頁

至遠(yuǎn)^PA+AB+BC\BCPA-BC+AB-BC+BC-BC—

W=R=R

故答案為：^BC.

2

14.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖晅提出了計(jì)算體積的祖暄原理：“幕勢既同，則積不容異”，

其意思可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所

截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，陰影部分是

二一片=1

由雙曲線42與它的漸近線以及直線歹=±4也所圍成的圖形，將此圖形繞歹軸旋

轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為.

【答案】32在r

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得旋轉(zhuǎn)體垂直于軸的截面是圓環(huán)，求出圓環(huán)面積，利用祖晅原理

求出旋轉(zhuǎn)體體積作答.

二一2=1廠_

【詳解】雙曲線42的漸近線為x±，2歹=°,設(shè)直線血')

交雙曲線及其漸近線分別于C,D及A,B

由得

由｛工■>=4'得。(皿川刀卜歷瓦小

線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的一個(gè)截面，它是一個(gè)圓環(huán)，其內(nèi)徑

\AB\=2y/2\t\,外徑|C0|=2“+2",

第12頁共23頁

此圓環(huán)面積為p4+2r2)27T-(V2卜『兀=4兀，

因此此旋轉(zhuǎn)體垂直于軸的任意一截面面積都為4兀，旋轉(zhuǎn)體的高為&五，

而底面圓半徑為2,高為&式的圓柱垂直于軸的任意一截面面積都為4兀，

由祖迪原理知，此旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面圓半徑為2,高為&0的圓柱的體積為32衣廣

故答案為：32岳

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用祖晅原理求幾何體的體積，找到一個(gè)等高的可求體積的幾何體，

并將它們放置于兩個(gè)平行平面間，再探求出被平行于兩個(gè)平行平面的任意一平面所截，截面

面積相等是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.己知直線(：x+y+2=0,4：、+歹=0,直線/過點(diǎn)(10,-4)且與4垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)設(shè)/分別與4交于點(diǎn)力，B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求過三點(diǎn)4B,。的圓的方程.

【答案】(1)］一y—14=0；

(2)x2+y2-6x+8y=0(或(x-3/+(y+4/=25)；

【解析】

【分析】(1)利用直線垂直可求得斜率為4=1,由點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果：

(2)分別求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程代入計(jì)算即可求得圓的方程.

【小問1詳解】

由題意可得4：x+y+2=0的斜率為一1,

可得直線/的斜率為k=l,由點(diǎn)斜式方程可得+4=x-10,

第13頁共23頁

即直線/：x—y—14=0；4分

【小問2詳解】

x—”—]4—0

聯(lián)立直線/和4方程b+1+25，解得4（6,—8）....................6分

x-y—=0/、

聯(lián)立直線/和人方程,"=0'解得網(wǎng)7，一7）；8分

如下圖所示:

設(shè)過三點(diǎn)Z,B,。的圓的方程為工2+1/+以+砂+尸=0,

(36+64+6?！?E+b=0[D=-6

將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得〈49+49+7O-7E+R=0,解得〈E=8,

F=0F=0

可得圓的方程為/+/一6*+8y=0(或(x-3y+(y+4)2=25)......13分

16.如圖，在三棱柱/BC-44G中，四邊形44￡C是邊長為4的菱形，AB=BC=如,

點(diǎn)〃為棱力C上動(dòng)點(diǎn)（不與4,。重合），平面為8。與棱4G交于點(diǎn)發(fā)

(1)求證38J/QE；

第14頁共23頁

⑵已知84="f,—=-,^AXAC=60°求直線AB與平面B.BDE所成角的正弦值.

AC4

16.(1)詳見解析

嗚

【詳解】(1)?:BB\〃CC\,

且叫<z平面ACCM,CG<=平面ACCtAt,

?^.84〃平面/CG4，

又1.?BB'U平面B[BD,且平面B,BDD平面ACCtAt=DE,

/.BBJ/DE；...................................................................5分

(2)連結(jié)4C，取/c中點(diǎn)。，連結(jié)4。，BO,

在菱形ZCG4中，N//c=60°,.??△力/。是等邊三角形，

又?.?。為47中點(diǎn)，.??4O_L/C,

4。=2A/3>

同理8。=3,又...必=歷

A,O2+BO2=BA^

4。1OB,

又???BO1AC,4。1AC^...................................................7分

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，。2,。仁。4為、軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

.?.0(0,0,0),4(0,-2,0),4(0,0,26),5(3,0,0),75(0,1,0),

.?.麗=(-3,1,0),無=羽=(0,2,2@,

r

設(shè)平面B.BDE的一個(gè)法向量為〃=(x//),

第15頁共23頁

叫萬.法=0,所以自+2岳=0'令zj，貝!jy=3,x=l,................12分

故萬=03-6),又?.?萬=(3,2,0),

設(shè)力B與平面4次花所成角為。，

???sm”麻〈9砂卜邳-田

9

所以直線AB與平面B.BDE所成角的正弦值為看.................................15分

1Ikz"

AA____________ECi

22較為孚，實(shí)軸長為6,A為雙曲線C的左頂點(diǎn),

17.已知雙曲線。：，一馬=1(4>0,6>0)的離心］

ab

設(shè)直線/過定點(diǎn)B(-2,0)，且與雙曲線C交于E,尸兩F氣.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)證明:直線AE與AF的斜率之積為定值.

17⑴.因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為6,所以。=3,

2百c_2也

因?yàn)殡p曲線的離心率為亍，所以)一亍.解得c=2?,

X2

由/+62=。2,得6=6,貝IJC的方程為§一

3..........................5分

第16頁共23頁

⑵設(shè)EQ”必）/（孫力）,因?yàn)橹本€/過定點(diǎn)6（-2,0）,顯然直線/不垂直于歹軸，則

設(shè)直線/:工=叼-2（加，±我，

，消去X得面—3）9-4叩-5=0,

/、25

22M

A=16W+20（W-3）>0/B>3

出JIM）

4m-5

貝（J加一3,m-3j...........8分

因?yàn)榱殡p曲線C的左頂點(diǎn)，所以“（一3，°）,

kAE=———kAF=———

直線ZE的斜率再+3,直線NR的斜率工2+3,

所以

必必=________

（玉+3）（X2+3）（加必-2+3）（叼2-2+3）/必力+加（必+%）+1

加2—3-5_5

-54m1^3~3

m-z---Fm,-z----F1

m2-3加2-3

即直線AE與AF的斜率之積為定值15分

第17頁共23頁

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中“PAD是等邊三角形，平面_L平面ABCD,

NBCD=ZABC=90。,AB=2CD=2BC=4應(yīng),〃是棱PC上的點(diǎn)，且

TM=XPC9OWXI?

(1)求證：BD1平面RW；

(2)設(shè)二面角”一80-。的大小為6,若cos6=巫，求4的值.

13

【答案】(1)證明見解析

13

(2)2=—或4=—

35

【解析】

【分析】(1)由余弦定理計(jì)算后由勾股定理逆定理證明4。取40的中點(diǎn)。，連

結(jié)P0,由面面垂直得線面垂直，從而得線線垂直P。8。，然后可得證題設(shè)線面垂直；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角，從而求出；I值.

【小問1詳解】

因?yàn)镹BCD=90°,CD=BC=2>l2?

所以BO=4,ZCBD=45°,

在△4BD中，ZABD=45°,AB=46,由余弦定理得，

AD=ylAB2+BD2-2AB-BDcos^ABD=4，

所以402+802=/§2,

即NADB=90。，AD1BD,

取4。的中點(diǎn)0,連結(jié)產(chǎn)。，因?yàn)锳P/D是等邊三角形，所以尸0_L4),

又因?yàn)槠矫鍼AD1平面ABCD,

平面PADc平面ABCD-AD,POu平面PAD,

第18頁共23頁

所以P。人平面N8CZ),

又因?yàn)锽Du平面ABCD,

所以POJ.B。

又因?yàn)槭?4。=。，PO,Z￡>u平面PNO,

所以8。工平面P/。...................................................5分

【小問2詳解】

取Z3的中點(diǎn)M連結(jié)QN,則。N〃8O,所以4￡>J_0N,

以。為原點(diǎn)，麗，而，麗的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則4(0,-2,0),。(0,2,0),5(4,2,0),C(2,4,0),P(0,0,2孫

AP=(0,2,273).

~DM=DP+7M=DP+APC=(0,-2,2>/3)+2(2,4,-26)=(2九44-2,2夙-2))

............................................................................................................................8分

又麗=(4,0,0),設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

則[兩?〃=0,即f2Ax+(44-2)y+273(1-2)z=0,

DB?n=0,[4x=0,

當(dāng)4=,時(shí)，平面MB。_L平面Z8C。，不合題意；

2

當(dāng)；I。1時(shí)，令z=24—l,

2

第19頁共23頁

由于平面MB。與平面力BCD所成角的余弦值為姮，

13

|22-1|_V13

|cos玩，同=

故有J[6(1)T+(2"1)213

13

解得；1=:或；1==

35?...........................................................................................17分

19.已知橢圓「:鳥+4=1（a>6>0）,點(diǎn)/為橢圓短軸的上端點(diǎn)，P為橢圓上異于Z

abl

點(diǎn)的任一點(diǎn)，若尸點(diǎn)到Z點(diǎn)距離的最大值僅在尸點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到，則稱此橢圓

為“圓橢圓"，已知b=l

（1）若a=@，判斷橢圓「是否為"圓橢圓”；

2

（2）若橢圓「是“圓橢圓”，求a的取值范圍；

（3）若橢圓「是“圓橢圓”，且。取最大值，。為尸關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，Q也異于Z點(diǎn)，

直線ZP、分別與x軸交于M、N兩點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？證

明你的結(jié)論

（1）是；（2）（3）是，證明見解析.

【分析】（1）直接判斷即可，

（2）由（1）的方法判斷，可得y=-l時(shí)，函數(shù)值達(dá)到最大，分別討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),

是否滿足條件得出a的取值范圍；

（3）設(shè)參數(shù)方程滿足以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，使數(shù)量積為零得出定點(diǎn)（0,±72）.

【解析】（1）由題意得橢圓方程：-y+/=l,所以4（0,1）,

設(shè)尸（x,y）則|以|2=/+（y-1）2=3（1一y2）+（?一i）2

4

12.9

=--y