2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專(zhuān)題檢測(cè)4.4解三角形

.4解三角形一、選擇題1.(2024屆河北神州智達(dá)省級(jí)聯(lián)測(cè),3)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c,∠B=135°,b=15,c=3,則a=()A.2B.6C.3D.26答案B由余弦定理得b2=a2+c2+2ac,即15=a2+6a+3,解得a=6(舍負(fù)).故選B.2.(2024江西九江重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研,4)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=60°,a=26,b=4,則B=()A.45°或135°B.135°C.45°D.以上都不對(duì)答案C依題意,得26sin60°=4sinB,所以sinB=4×3226=22,又因?yàn)?°<B<180°,所以B=45°或135°,又因?yàn)?.(2024屆北京一零一中學(xué)統(tǒng)練一,3)△ABC中,若c=2acosB,則△ABC的形態(tài)為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.銳角三角形答案B由題意得sinC=2sinAcosB,所以sin(A+B)=2sinAcosB,所以sinAcosB-sinBcosA=0,即sin(A-B)=0,因?yàn)锳,B,C是三角形內(nèi)角,所以A=B.所以△ABC為等腰三角形.4.(2024屆豫南九校聯(lián)考(二),7)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若asinB+3bcosA=0,則tanA=()A.3B.13C.-13答案D由asinB+3bcosA=0,結(jié)合正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0,即sinB(sinA+3cosA)=0,因?yàn)?<B<π,所以sinB≠0,所以sinA+3cosA=0,所以tanA=-3.故選D.5.(2024屆四川南充調(diào)研,5)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的狀況是()A.有一解B.有兩解C.無(wú)解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定答案C在△ABC中,b=40,c=20,C=60°.由正弦定理得bsinB=csinC,∴sinB=bsinCc=40×3220=3>1,與sinB≤1相沖突,∴∠6.(2024屆河北邢臺(tái)“五岳聯(lián)盟”10月聯(lián)考,4)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(a+b)(sinA-sinB)=csinC+b(1+cosA)·sinC,則cosA=()A.-13B.-23C.13答案A由題意及正弦定理可得(a+b)(a-b)=c2+bc(1+cosA),整理得a2=b2+c2+bc(1+cosA),因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA,所以-2cosA=1+cosA,解得cosA=-137.(2024屆陜西名校聯(lián)盟10月聯(lián)考,9)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,A=π3,b+c=2a,△ABC的面積為23,則△ABC的周長(zhǎng)為(A.6B.8C.62D.63答案C因?yàn)锳=π3,S△ABC=23,所以12bcsinπ3=23由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-8,又知b+c=2a,∴a2=(b+c)2-2bc-8=4a2-24,解得a=22,所以b+c=42.故三角形的周長(zhǎng)l=a+b+c=62.故選C.8.(2024屆江蘇徐州期中,9)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿(mǎn)意cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,且sinA+sinC=1,則△ABC的形態(tài)為()A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.頂角為120°的非等腰三角形D.頂角為120°的等腰三角形答案D因?yàn)閏os2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,所以sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC,由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac,所以a2+c2-b22ac=-12,由sinA+sinC=1得sinA+sin(60°-A)=1,得sinA+sin60°cosA-cos60°sinA=1,即12sinA+32cosA=1,所以sin(A+60°)=1,因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角,所以A=30°,則C=30°,所以△ABC是頂角為120°的等腰三角形.故選9.(2024屆百師聯(lián)盟9月一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(一),10)如圖,設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC,∠B,∠ACB所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b2=ac,∠B=π3,D是△ABC外一點(diǎn),AD=3,CD=2,則四邊形ABCD面積的最大值是(A.1332+6B.C.1336+4D.答案B因?yàn)閏os∠B=a2+c2-b22ac=12,b2=ac,所以a2+c2-ac=ac,則(a-c)2=0,a=c,又∠B=π3,所以△ABC是等邊三角形.在△ADC中,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD,由于AD=3,CD=2,所以b2=13-12cosD,所以S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=12b2sinπ3+12·6sinD=34b210.(2024屆廣東深圳福田外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)調(diào)研,7)在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中記載了聞名的海倫公式,利用三角形的三邊長(zhǎng)求三角形的面積.若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則其面積S=p(p-a)(p-b)(p-c)A.1721B.17C.56D.5答案D∵a+b=7,c=5,∴p=a+b+c2=6,∴S2=6×(6-5)×(6-b)(6-a)=6[ba-6(b+a)+36]=6(ba-6)≤6×b+a22-6=150二、填空題11.(2024屆昆明質(zhì)檢(一),15)已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若bsin2A-asinB=0,2b=c,則sinAsinC答案3解析由bsin2A-asinB=2bsinAcosA-asinB=0及正弦定理,得cosA=12,即b2+c2-a22bc=12,又2b=c,則a2=3412.(2024屆黑龍江六校聯(lián)考,15)在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,3c=4b,a=13,A=60°,則△ABC的面積為.

答案33解析由cosA=b2+c2-a22bc及已知得12=b2+c2-132bc,得b13.(2024屆山東煙臺(tái)萊州一中開(kāi)學(xué)考,14)在△ABC中,已知C=120°,sinB=2sinA,且△ABC的面積為23,則AB的長(zhǎng)為.

答案27解析設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.由sinB=2sinA及正弦定理可得b=2a,∴S△ABC=12absinC=12a×2a×32=23,∴a=2,b=4,由余弦定理可得c2=4+16-2×2×4×-三、解答題14.(2024屆北京牛欄山一中10月月考,17)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a=1,b=2.(1)若c=2,求△ABC的面積S;(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,使△ABC存在且唯一確定,并求sinA的值.條件①:B=2A;條件②:A+B=π3條件③:C=2B.解析(1)cosB=a2+c2-b2因?yàn)锽∈(0,π),所以sinB=1-cos所以△ABC的面積S=12acsinB=12×1×2×144(2)選擇條件①.由asinA=bsinB和B=2A,得1sinA=2sin2A=22sinAcosA,因?yàn)锳∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=1,因?yàn)檫x擇條件②.由asinA=bsinB得1sinA=2sinπ3-A=232cosA-12所以sinA=2114因?yàn)閎sinA=217<a<b,所以△ABC有兩解又A+B=π3,所以B為銳角,所以△ABC唯一.sinA=21選擇條件③.由bsinB=csinC和C=2B,得2sinB=csin2B=c2sinBcos由b2=a2+c2-2accosB,得4=1+16cos2B-2×1×4cos2B,解得cosB=±64因?yàn)镃=2B,所以B為銳角,故cosB=64,sinB=10所以sinC=2sinBcosB=154,cosC=2cos2B-1=-1所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=104×-14+64×15.(2024屆合肥8月聯(lián)考,18)已知△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且bsin(1)若a=2,求△ABC外接圓的面積;(2)若(b+a)(b-a)+c2+6=0,求△ABC的面積.解析(1)由正弦定理及已知得sinBsinC+sinCsinB則asinA=4=2R,即R=2(R為△ABC故△ABC外接圓的面積S=πR2=4π.(2)(b+a)(b-a)+c2+6=b2+c2-a2+6=0,故b2+c2-a2=-6,則cosA<0.由(1)知sinA=12,所以cosA=-3因?yàn)閏osA=b2+c2-a22bc,所以-32=-62bc,得bc=23,所以S16.(2024屆北京一零一中學(xué)統(tǒng)練一,18)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若3a=b(sinC+3cosC).(1)求角B的大小;(2)若A=π3,D為△ABC外一點(diǎn),DB=2,CD=1,求四邊形ABDC面積的最大值解析(1)∵3a=b(sinC+3cosC),∴3sinA=sinB(sinC+3cosC),在△ABC中,sinA=sin(B+C),則3sin(B+C)=sinBsinC+3sinBcosC,即3cosBsinC=sinBsinC,∵C∈(0,π),∴sinC≠0,∴3cosB=sinB,即tanB=3,∵B∈(0,π),∴B=π3(2)由題意可知,點(diǎn)A和點(diǎn)D在直線BC的兩側(cè).在△BCD中,BD=2,CD=1,∴BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD,∵B=π3,A=π3,∴△ABC∴S△ABC=12BC2×sinπ3=53又S△BDC=12·BD·DC·∴S四邊形ABDC=534+sinD-3cosD=53∴當(dāng)D-π3=π2,即D=5π6時(shí),四邊形ABDC的面積取得最大值,17.(2024屆豫東豫北十校聯(lián)考(二),20)在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,3cosC+sinC=3b且a=1.(1)求△ABC的外接圓的半徑;(2)求2b-c的取值范圍.解析(1)由3cosC+sinC=3b且a=1可得a(3cosC+sinC)=3b,依據(jù)正弦定理可得3sinB=3sinAcosC+sinCsinA.∵A+B+C=π,∴sinB=sin(A