內(nèi)蒙古赤峰市元寶山區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考理試題含解析

Page17高二數(shù)學(xué)月考理科時(shí)間120分鐘總分150分第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)函數(shù)，則在處的切線斜率為（）A.0 B.2 C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】先求解出，然后計(jì)算出的值即為在處的切線斜率.【詳解】因?yàn)樵趫D象上且，所以，所以在處的切線斜率為，故選：B.2.如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，則等于（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出切線方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，由切線方程得，從而可得結(jié)論．【詳解】由圖象可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線是l，與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，則可知l：，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問(wèn)題，解題方法如下：（1）依據(jù)圖中所給的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得切線方程；（2）利用切線方程，依據(jù)橫坐標(biāo)，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值；（3）依據(jù)切線方程得到斜率，求得的值；（4）作和得結(jié)果.3.等于A.1 B.e-1 C.e D.e+1【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合微積分基本定理求解定積分的值即可.【詳解】由微積分基本定理可得：.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查微積分基本定理計(jì)算定積分的方法，屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.是函數(shù)的微小值點(diǎn)C.D.【答案】D【解析】【分析】由圖得出函數(shù)的單調(diào)性推斷ABD，依據(jù)推斷C.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由圖可知，，故C錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故D正確；故選：D5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，利用，及定義域解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.6.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)單調(diào)性判定最值.【詳解】解：由題意可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：B.【點(diǎn)睛】求函數(shù)區(qū)間上的最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)，不要遺忘函數(shù)的定義域；（2）求方程的根；（3）檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，確定函數(shù)的極值.（4）求函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，將區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與極值比較，取最大的為最大值，最小的為最小值.7.已知函數(shù)，若在R上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)是遞增函數(shù)可得在R上恒成立，再分別參數(shù)，由取值范圍即得結(jié)果.【詳解】在R上為增函數(shù)，故在R上恒成立，即恒成立，而，故.故選：D.8.若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將代入得到切點(diǎn)為，求導(dǎo)得到，從而得到，解方程組得到，再利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】將代入得到，所以切點(diǎn)為.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，增函數(shù).所以函數(shù)的增區(qū)間為.故選：C9.已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，只要在上有唯一零點(diǎn)即可得．【詳解】由，①當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.故選：B．10.函數(shù)的定義域?yàn)镽，，對(duì)隨意，都有成立，則不等式的解集為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷出函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，則，又對(duì)隨意，都有成立，所以，所以在上單調(diào)遞減，則不等式，可得，所以，所以，所以不等式的解集為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查了基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.函數(shù)在內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可導(dǎo)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極值充要條件即可作答.【詳解】由得，，因函數(shù)在內(nèi)有極值，則時(shí)，有解，即在時(shí)，函數(shù)與直線y=a有公共點(diǎn)，而，即在上單調(diào)遞減，，則，明顯在零點(diǎn)左右兩側(cè)異號(hào)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同．12.已知恰有一個(gè)極值點(diǎn)為1，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化條件得在上無(wú)解，令，求導(dǎo)后確定函數(shù)的值域即可得解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)函數(shù)求導(dǎo)得，恰有一個(gè)極值點(diǎn)為1，在上無(wú)解，即在上無(wú)解，令，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題一是要理解恰有一個(gè)極值點(diǎn)，即在極值點(diǎn)的兩邊的單調(diào)性不同，二是導(dǎo)函數(shù)的另一個(gè)因式等于0時(shí)無(wú)解，三是要通過(guò)分別參數(shù)求出結(jié)果.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.________【答案】##【解析】【分析】利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)和幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楸硎厩€與橫軸圍成的面積，所以，，所以，故答案為：14.點(diǎn)是曲線上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最短距離為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)P為與直線平行且與曲線相切的切線的切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短，依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得點(diǎn)P坐標(biāo)，最終依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得結(jié)果.【詳解】設(shè)與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)P（x0，y0）.所以，，解得，∴點(diǎn)到直線的距離為最小距離，故答案為：.15.函數(shù)在處取得極值10，則___________.【答案】【解析】【分析】由在處取得極值10，求得解得或，再結(jié)合函數(shù)的極值的概念進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值10，可得，解得或，檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)為極值點(diǎn)，不符合題意，（舍去）；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，符合題意.所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】解決函數(shù)極值、最值綜合問(wèn)題的策略：1、求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要探討參數(shù)的大小；2、求函數(shù)最值時(shí)，不行想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)比較才能下結(jié)論；3、函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值.16.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則成立時(shí)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】設(shè)函數(shù)，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，因此在上也單調(diào)遞增；又，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，；故應(yīng)填答案．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后計(jì)算導(dǎo)數(shù)得斜率，從而得切線方程；（2）由得增區(qū)間，得減區(qū)間．【詳解】解：（1）∵，∴，∴.又∵，∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由（1），得，令，解得或；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.∴的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解題方法是求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得切線斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程并整理成一般式．而求單調(diào)區(qū)間只要解不等式即得增區(qū)間，解不等式即得減區(qū)間．18.已知函數(shù)在處取得極值7．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得到，導(dǎo)數(shù)的方法探討其單調(diào)性，進(jìn)而可求出最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又函?shù)在處取得極值7，，解得；，所以，由得或；由得；滿意題意；（2）又，由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的問(wèn)題，解題方法如下：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處取得極值，導(dǎo)數(shù)為0，函數(shù)值為極值，列出方程組，求得結(jié)果；（2）將所求參數(shù)代入，得到解析式，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性，得到其最大值.19.已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，探討、或，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）將不等式分別參數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【詳解】解：（1）令，得當(dāng)時(shí)，恒成立，且僅在時(shí)取等號(hào)，故在R上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，在區(qū)間上．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立設(shè)，則令得；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立，解題的關(guān)鍵是分別參數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，考查了分類(lèi)探討的思想.20.函數(shù)，為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性和極值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)隨意，．【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，有微小值為，無(wú)極大值；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）先求解出，然后依據(jù)求解出的值，再通過(guò)列表的方式確定出的單調(diào)性和極值；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明“”，構(gòu)造新函數(shù)，分析其單調(diào)性和最值，結(jié)合“隱零點(diǎn)”的思想完成不等式的證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，且．由得；得，得．列表得微小值所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且有微小值，無(wú)極大值．（2）證明：因?yàn)?，所以，則要證，只需證．設(shè)則所以，故單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以存在，使得，即，所以，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．由知，所以，所以故，從而．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中運(yùn)用“隱零點(diǎn)”思想的一般求解步驟：（1）先分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，采納零點(diǎn)的存在性定理確定出的零點(diǎn)；（2）分析在定義域上的取值正負(fù)，從而確定出的單調(diào)性，由此確定出的最值；（3）由（2）中計(jì)算出的最值可通過(guò)接著化簡(jiǎn)，由此求得更簡(jiǎn)潔的最值形式.21.已知函數(shù).（Ⅰ）探討的單調(diào)性；（Ⅱ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，然后分和兩種狀況探討，分析在上導(dǎo)數(shù)符號(hào)的改變，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的結(jié)論，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則且有，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，即得；由，即得.所以，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；在內(nèi)單調(diào)遞減；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查帶參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查分類(lèi)探討思想的應(yīng)用，屬于中等題.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間