拋物線【九大題型】（新高考專用）（解析版）-2025年高考數(shù)學一輪復習

拋物線【九大題型】專練

?熱點題型歸納

【題型1拋物線的定義及其應用】..............................................................3

【題型2拋物線的標準方程】...................................................................5

【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】........................................................6

【題型4拋物線的軌跡方程】...................................................................7

【題型5拋物線上的點到定點的距離及最值】....................................................9

【題型6拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】.........................................II

【題型7拋物線的焦半徑公式】................................................................14

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】..................................................................16

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題1.......................................................................18

?考情分析

1、拋物線

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第22題，

拋物線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，

12分

拋物線及其性質(zhì)是高考數(shù)學的熱點問

（1）掌握拋物線的定義、幾2023年新高考I［卷：第10題，

題.從近幾年的高考情況來看，主要考查

何圖形、標準方程5分

拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)、

⑵掌握拋物線的簡單幾2023年全國乙卷（文數(shù)）：

面積問題等內(nèi)容，在選擇、填空、解答

何性質(zhì)（范圍、對稱性、第13題，5分

題都可能出現(xiàn)，解題思路和解題步驟相

頂點、離心率）2023年北京卷：第6題，4分

對固定，強調(diào)通性通法，選擇、填空題

（3）了解拋物線的簡單應2024年新高考n卷:第10題，

中難度不大，解答題中難度偏大，一般

用6分

以第一小問考查拋物線的方程或軌跡問

2024年北京卷：第11題，5

題，需要靈活求解.

分

?知識梳理

【知識點1拋物線及其性質(zhì)】

1.拋物線的定義

(1)定義：平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/(/不經(jīng)過點乃的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫

作拋物線的焦點，直線/叫作拋物線的準線.

(2)集合語言表示

設(shè)點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線/的距離為d,則拋物線就是點的集合P={M\\MF\=d}.

2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)

標準

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

方程

1I1

-----/

圖形?一?1■

--------

)1AF〃X叭

頂點(0,0)(0,0)

軸對稱軸y=0對稱軸x=0

F(

焦點F(i°)。4)F(。，/)

_Pp

準線X~2X=2y=-2y=2

離心率e=1e=l

開口開口向右開口向左開口向上開口向下

\MF\=x+^\MF\=-x+^\MF\=y+^\MF\=-y+%

焦半徑0000

范圍x>0x<0y>0底0

3.拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異

拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；

②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；

③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是雙曲線的離心率范圍是e>l,拋物線的離心率是

e=l；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.

【知識點2拋物線標準方程的求解方法】

1.拋物線標準方程的求解

待定系數(shù)法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方

程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.

【知識點3拋物線的焦半徑公式】

1.焦半徑公式

設(shè)拋物線上一點P的坐標為（死,%），焦點為F.

⑴拋物線：了2=2/(0>0),\PF\=x0+x0+^；

(2)拋物線：必=—2px(p>0),|PF|=x0—y=-x0+y；

(3)拋物線：無2=2勿5>0),\PF\=Vo+y=Vo+y；

(4)拋物線：x?=—2加(p>0),|PF|=Vo-y=—Vo+y.

注：在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標準方程的形式，不同的標準方程對應于不同的焦半

徑公式.

【知識點4與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略】

1.與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略

（1）轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”

“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.

（2）轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用”與直線上所有點的連線中

垂線段最短”原理解決.

【方法技巧與總結(jié)】

1.通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2P

2.拋物線必=2Px（p>0）上一點尸（X。,為）到焦點尸（芻,0）的距離出產(chǎn)|=X。+§,也稱為拋物線的焦

半徑.

?舉一反三

【題型1拋物線的定義及其應用】

【例1】（2024?貴州貴陽?二模）拋物線產(chǎn)=位上一點M與焦點間的距離是10,則M至次軸的距離是（）

A.4B.6C.7D.9

【解題思路】借助拋物線定義計算即可得.

【解答過程】拋物線V=4%的準線為x=-1,

由拋物線定義可得+1=10,故=10-1=9,

則仗“1=J4XM=A/4x9=6,即M到x軸的距離為6.

故選：B.

【變式1-1]（2024?河北?模擬預測）已知點P為平面內(nèi)一動點，設(shè)甲：P的運動軌跡為拋物線，乙：P到平

面內(nèi)一定點的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解.

【解答過程】解：當直線經(jīng)過定點時，點的軌跡是過定點且垂直于該直線的另一條直線，

當直線不經(jīng)過該定點時，點的軌跡為拋物線，

故甲是乙的充分條件但不是必要條件.

故選：A.

【變式1-2]（2024?北京大興?三模）已知拋物線產(chǎn)=4%的焦點為R過尸且斜率為一1的直線與直線》=—

1交于點力,點〃在拋物線上，且滿足|M*=|MF|,則|MF|=（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【解題思路】由題意先求出過尸且斜率為一1的直線方程，進而可求出點4接著結(jié)合點M在拋物線上且

\MA\=|MF|可求出從而根據(jù)焦半徑公式附F|=xM+1即可得解.

【解答過程】由題意可得尸（1,0）,故過/且斜率為—1的直線方程為y=—（x—1）=—x+1,

令x=-l=y=2,貝!）由題4（一1,2）,

因為=所以M4垂直于直線x=-1,故y“=2,

又M在拋物線上，所以由22==1，

所以|MF|=XM+1=2.

故選：C.

【變式1-3](2024?福建莆田?模擬預測)若拋物線C的焦點到準線的距離為3,且C的開口朝左，則C的標準

方程為()

A.y2=—6xB.y2=6xC.y2——3xD.y2=3x

【解題思路】

根據(jù)開口設(shè)拋物線標準方程，利用。的幾何意義即可求出.

【解答過程】依題意可設(shè)c的標準方程為產(chǎn)=-2px(p>0),

因為C的焦點到準線的距離為3,所以P=3,

所以C的標準方程為產(chǎn)=-6x.

故選：A.

【題型2拋物線的標準方程】

【例2】(2024?山東荷澤?模擬預測)已知點2(a,2)為拋物線/=2py(p>0)上一點，且點2到拋物線的焦

點F的距離為3,貝加=()

1

A.-B.1C.2D.4

【解題思路】由題意，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線/=2py(p>0),則拋物線焦點為尸(0,9,若為拋

物線上一點，有|MF|=%可得|4F|=2+藝=3,解得p=2.

【解答過程】因為拋物線為/=2py(p>0),

則其焦點在y軸正半軸上，焦點坐標為(0,9，

由于點4(a,2)為拋物線/=2py,(p>0)為上一點，且點A到拋物線的焦點F的距離為3,

所以點/到拋物線的焦點廠的距離為|4F|=2+"3,解得p=2,

故選：C.

【變式2-1](2024?陜西安康?模擬預測)過點(2,—3),且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是()

A.x2--3yB.x2——C.x2=—|yD.x2=—4y

【解題思路】利用待定系數(shù)法，設(shè)出拋物線方程，把點代入求解即可.

【解答過程】設(shè)拋物線的標準方程為/=ay(a豐0),

將點點（2,—3）代入，得22=—3a,解得a=—*

所以拋物線的標準方程是/=-iy.

故選：B.

【變式2-2]（2024?新疆?三模）已知拋物線產(chǎn)=2Px（p>0）上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大

b則拋物線的標準方程為（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義求解.

【解答過程】由題意拋物線產(chǎn)=2Px（p>0）上任意一點到焦點F的距離與它到直線x=-1的距離相，

因止匕一?=—1,p—2,

拋物線方程為y2=4%.

故選：C.

【變式2-3]（2024?寧夏石嘴山?三模）如圖，過拋物線372=2「久@〉0）的焦點/的直線，交拋物線于兩點

/、B,交其準線于C,4E與準線垂直且垂足為E,若|BC|=2|BF|,|4E|=3,則此拋物線的方程為（）

C.y2=—D.y2=3x

【解題思路】過點4B作準線的垂線，設(shè)|BF|=a,得到|AC|=3+3a,結(jié)合拋物線的定義，求得a=1,再

由BD〃FG,列出方程求得p的值，即可求解.

【解答過程】如圖所示，分別過點8作準線的垂線，垂足為。，

設(shè)田=a,則|BC|=2\BF\=2a,

由拋物線的定義得\BD\=\BF\=a,

在直角△BCD中，可得sin/BCD=黑=巳所以/BCD=30°,

在直角aaCE中，因為|4￡|=3,可得|4C|=3+3a,

由|4C|=2|4E|,所以3+3a=6,解得a=l,

因為BD〃FG,所以解得P=*所以拋物線方程為y2=3乂

故選：C.

【例3】(2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模)已知拋物線C的方程為尤=——2,則此拋物線的焦點坐標為()

A.(-4,0)B.(-i|o)C.(-2,0)D.

【解題思路】由拋物線的幾何性質(zhì)求解.

【解答過程】依題意得：y2=-16x,則此拋物線的焦點坐標為：(—4,0),

故選：A.

【變式3-1](2024?黑龍江大慶?模擬預測)已知拋物線C:y=6久2,貝i]c的準線方程為()

A3c3?1?1

A-y=-5B-y=5c-y=_五D-y=^

【解題思路】根據(jù)拋物線的準線方程直接得出結(jié)果.

【解答過程】拋物線C：y=6/的標準方程為/=

所以其準線方程為y=—今

故選：C.

【變式3-2](2024?河南?三模)拋物線y2=—28X的焦點坐標為()

A.(0,-14)B.(0,-7)C.(-14,0)D.(-7,0)

【解題思路】根據(jù)拋物線的標準方程直接得出結(jié)果.

【解答過程】2p=28,p=14,?,?拋物線y2=-28汽的焦點坐標為(-7,0).

故選：D.

【變式3-3](2024?福建廈門?模擬預測)若拋物線V=租％的準線經(jīng)過雙曲線%2一丫2=2的右焦點，則血的

值為()

A.-4B.4C.-8D.8

【解題思路】根據(jù)題意，分別求得雙曲線的右焦點以及拋物線的準線方程，代入計算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】因為雙曲線/—y2=2的右焦點為(2,0),

又拋物線y2=nix的準線方程為X=—；，則一三=2,即m=—8.

故選：C.

【題型4拋物線的軌跡方程】

【例4】(2024?湖南衡陽?三模)已知點F(2,0),動圓P過點F,且與x=—2相切，記動圓圓心P點的軌跡為

曲線「，則曲線「的方程為()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2—12x

【解題思路】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.

【解答過程】由題意知，點P到點F的距離和它到直線”=—2的距離相等，

所以點P的軌跡是以(2,0)為焦點的拋物線，所以「的方程為產(chǎn)=8%，故C正確.

故選：C.

【變式4-1](23-24高二上?北京延慶?期末)到定點F(l,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動點且動點不在x軸

的負半軸的軌跡方程是()

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義即可得解.

【解答過程】因為動點到定點/(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,

所以動點到定點F(L0)的距離等于到x=—1的距離，

所以動點的軌跡是以尸(L0)為焦點，x=—1為準線的拋物線，

所以動點的軌跡方程是y2=4%.

故選：B.

【變式4-2](23-24高二上?重慶?期末)已知點P(x,y)滿足Jo—l)2+y2=氏+1|,則點P的軌跡為()

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

【解題思路】根據(jù)已知條件及拋物線的定義即可求解.

【解答過程】J(X—1產(chǎn)+產(chǎn)表示點》(即)到點(IQ)的距離;|%+1|表示點P(￡,y)到直線X=—1的距離.

因為J（X—1）2+y2=\x+1\,

所以點P（x,y）到點（1,0）的距離等于點P?y）到直線x=—1的距離，

所以P的軌跡為拋物線.

故選：C.

【變式4-3]（23-24高二上?寧夏石嘴山?階段練習）一個動圓與定圓F：（x+2）2+y2=1相內(nèi)切，且與定

直線l:x=3相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）

A.y2—8xB.y2=4xC.y2--4xD.y2=—8x

【解題思路】先利用圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系找到動點M的幾何條件，再根據(jù)拋物線的定

義確定動點M的軌跡，最后利用拋物線的標準方程寫出軌跡方程.

【解答過程】設(shè)動圓M的半徑為r,依題意：|MF|=r—1,

點M■到定直線x=2的距離為d=r-l,

所以動點加到定點F（—2,0）的距離等于到定直線x=2的距離，

即知的軌跡為以尸為焦點，x=2為準線的拋物線，

所以此動圓的圓心河的軌跡方程是V=-8x.

故選：D.

【題型5拋物線上的點到定點的距離及最值】

【例5】（2024?全國?模擬預測）已知/是拋物線C：必=4式上的點，N（4,0）,則|AN|的最小值為（）

A.2B.2V2C.4D.2>/3

【解題思路】由拋物線的方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值

【解答過程】設(shè)4（?，

則|2N|=—+t2=[葛-2+16=加一2丫+12>2V3,

當且僅當1=±2四時，等號成立.

故選：D.

【變式5-1]（2024高三?全國?專題練習）已知P是拋物線產(chǎn)=2x上的點，Q是圓（％—5產(chǎn)+必=i上的點,

則|PQ|的最小值是()

A.2B.2V2C.2V3D.3

【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為求|PC|的最小值，根據(jù)兩點之間的距離公式，求得|PC|的最小值再減去半徑即可.

【解答過程】如圖，拋物線上點P(x,y)到圓心C(5,0)的距離為|PC|,|CP|<\CQ\+\PQ\,

因此|PQ|>\CP\-1,當|CP|最小時,\PQ\=|CP|-1最小,

而|CP『-(x-5)2+y2=(1—5)+y2-；(川—8)2+9,

當。=±2魚時,1cpimin=3,因此|PQ|的最小值是2.

故選：A.

【變式5-2](2024?湖南益陽?三模)已知M是拋物線y2=4%上一點，圓0:(久一+(y—2￥=1關(guān)于直線

y=x—1對稱的圓為C2,N是圓上的一點，則|MN|的最小值為()

A.2V2-1B.V2-1C.乎-1D.1

【解題思路】根據(jù)對稱性求出圓。2的方程，設(shè)M(4，yo),求出IMC2I的最小值，即可求出|MN|的最小值.

【解答過程】圓Q：(x—l)2+(y—2)2=1圓心為5(1,2),半徑r=l,設(shè)Q(a,b),

—xl=-l(a=3

則由對稱性可知:jl+aT12+b,c，解得憶3則C2(3,0),

--------1=U3-U

22

所以圓C2：(%-3)2+y2=1,

設(shè)MR,yo)，則IMQI=JR-3)+%=J表5—4)2+8,

所以當羽=4,即yo=±2時,|MC2|min=2V2,

所以|MN|的最小值是2魚一1.

故選：A.

【變式5-3］（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）已知拋物線=8x的焦點為F,"為C上的動點，N為圓4/+

川+2%+8丫+16=0上的動點，設(shè)點M到y(tǒng)軸的距離為d,則|MN|+d的最小值為（）

A.1B.C.當D.2

【解題思路】作出圖形，過點M作ME垂直于拋物線的準線，垂足為點E,利用拋物線的定義可知d=

-2,分析可知，當且僅當N、M為線段4F分別與圓4、拋物線C的交點時，|MN|+d取最小值，即可得解.

【解答過程】根據(jù)已知得到F（2,0）,圓A（x+l）2+（y+4）2=1,所以4（—1,一4）,圓月的半徑為1,

拋物線C的準線為―=—2,過點M作ME1/,垂足為點E,貝“ME|=d+2,

由拋物線的定義可得d+2=\ME\=\MF\,

所以，|MN|+d=\MN\+\MF\-2>\AM\+\MF\-1-2>\AF\-1-2-7(2+1)2+(-4)2-1-2=2.

當且僅當N、"為線段4F分別與圓4、拋物線C的交點時，兩個等號成立,

因此，|MN|+d的最小值為3.

故選：D.

【題型6拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】

【例6】（2024?四川成都?模擬預測）設(shè)點4（2,3）,動點尸在拋物線=4%上，記P到直線x=—2的距離

為d,則|2P|+d的最小值為（）

A.1B.3C.V10-1D.V10+1

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，P到焦點尸的距離等于P到準線的距離，可得d=|PF|+l,從而轉(zhuǎn)化為求

\AP\+\PF\+1的值，當4BF三點共線時，d=\PF\+1取得最小值,即可求解.

【解答過程】由題意可得，拋物線C的焦點F(1,O),準線方程為無=—1,

由拋物線的定義可得d=\PF\+1,

所以|4P|+d=\AP\+\PF\+1,

因為|4P|+\PF\>\AF\=J(2—1)2+(3—0)2=Vio

所以|4P|+d=\AP\+\PF\+1>V1O+1.

當且僅當AP,F三點共線時取等號，所以|4P|+d的最小值為VTO+1.

【變式6-1](2024?湖南常德?一模)己知拋物線方程為:*=16x,焦點為F.圓的方程為(久一5尸+⑶一1)2

=1,設(shè)P為拋物線上的點，Q為圓上的一點，則|PF|+|PQ|的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

【解題思路】根據(jù)拋物線定義將點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，即|PF|=\PN\,從而得到|PF|+

\PQ\=\PN\+\PQ\,P、Q、N三點共線時和最小;再由Q在圓上，|QN|min=|MN|—r得到最小值.

由拋物線方程為y2=16x,得到焦點尸(4,0),準線方程為久=—4,過點P做準線的垂線，垂足為N,

因為點P在拋物線上，所以|PF|=|PN|,

所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|,當Q點固定不動時，P、Q、N三點共線，即QN垂直于準線時和最小，

又因為Q在圓上運動，由圓的方程為0—5)2+(y—1)2=1得圓心M(5,l),半徑「=1,所以|QN|min=|MN|

—v=8,

故選：C.

【變式6-2](2024?全國?模擬預測)在直角坐標系中，已知點尸(1,0),E(—2,0),"(2,2),動點P滿

足線段PE的中點在曲線y2=2久+2上，則|PM|+|PF|的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】設(shè)P(x,y),由題意求出P的軌跡方程，繼而結(jié)合拋物線定義將|PM|+|PF|的最小值轉(zhuǎn)化為M

到直線/的距離，即可求得答案.

【解答過程】設(shè)PQy),則PE的中點坐標為(手,鄉(xiāng)，代入川=2%+2,可得y2=4x,

故動點尸的軌跡是以廠為焦點，直線/：%=—1為準線的拋物線，

由于22<4x2,故M(2,2)在拋物線y2=4%內(nèi)部，

過點尸作PQ12,垂足為。，貝”PM|+|PF|=|PM|+|PQ|,(拋物線的定義)，

故當且僅當M,P,。三點共線時，|PM|+|PQ|最小,即|PM|+|PF|最小，

最小值為點M到直線/的距離，所以(|PM|+|PF|)min=2-(-1)=3,

故選：B.

【變式6-3](2024?陜西西安?一模)設(shè)P為拋物線C：必=軌上的動點，4(2,6)關(guān)于P的對稱點為8,記P至I]

直線x=—1、久=—4的距離分別由、dz，則由+dz+的最小值為()

A.V33+2B.2V33+2C.V37+3D.2歷+3

【解題思路】根據(jù)題意得到心+d2+\AB\=2dl+3+2\PA\=2@+|PA|)+3,再利用拋物線的定義結(jié)合

三角不等式求解.

【解答過程】拋物線C：y2=4x的焦點為F(l,0),準線方程為x=-1,

如圖,

因為d2=di+3,且4(2,6)關(guān)于P的對稱點為B,所以伊知=\PB\,

所以心+d2+\AB\=2dl+3+2\PA\=2@+\PA\)+3=2(|PF|+\PA\)+3

>2\AF\+3=27(2-1)2+62+3=2歷+3.

當P在線段4F與拋物線的交點時，辦+di+MBI取得最小值，且最小值為2何+3.

故選：D.

【題型7拋物線的焦半徑公式】

[例7](2024?青海西寧?一模)已知產(chǎn)是拋物線C:/=4y的焦點，點M在C上，且M的縱坐標為3,則=

()

A.2V2B.2V3C.4D.6

【解題思路】利用拋物線的標準方程和拋物線的焦半徑公式即可求解.

【解答過程】由％2=4y,得2P=4,解得p=2.

所以拋物線C：/=4y的焦點坐標為F(0,l),準線方程為y=-1,

又因為M的縱坐標為3,點M在C上，

所以|MF|=%^+"3+|=4.

故選：C.

【變式7-1](2024?河南?模擬預測)已知拋物線C:y2=2px(p〉0)上的點(m,2)到原點的距離為2vL焦點

為F,準線/與x軸的交點為過C上一點尸作尸。1/于。，若4FPQ=可,則|PF|=()

A.-B.-C.亨D.—

【解題思路】根據(jù)點(a,2)到原點的距離為2聲求出拋物線方程，再設(shè)點尸坐標，利用拋物線的定義和等腰三

角形的性質(zhì)列出方程即可求解.

【解答過程】因為點(外2)到原點的距離為2vL

所以62+22=8,解得m=2,（負值舍），

將點（2,2）代入拋物線方程丫2=2。%@>0）,得4=4p,所以p=l,

所以C:y2=2x,F(1,0),Z:x=—

由于拋物線關(guān)于X軸對稱，不妨設(shè)PQ,后）,Q（—*房）,

因為|PQ|=|PF|=%+'Z.FPQ=y,

所以△PQF為等腰三角形，Z.PQF=p

所以|（2?|=舊出<21=舊"+勺，

所以|QF|=?T^=^(x+》,

解得X=:或X=-1(舍),

117

所以|PF|=%+]=§.

故選：D.

【變式7-2]（2024?新疆?三模）已知拋物線C：丫2=%的焦點為尸，在拋物線C上存在四個點p,M,Q,

N,若弦PQ與弦MN的交點恰好為R且PQ1MN,則高+意=（）

A.yB.1C.V2D.2

【解題思路】由拋物線的方程可得焦點廠的坐標，應用拋物線焦點弦性質(zhì)|PF|=苔而，1（251=晨導，

吠|=哀品，四|=式而，結(jié)合三角的恒等變換的化簡可得自+意=弟即可求解?

【解答過程】由拋物線C鏟=%得2P=1,貝UpF60）,

不妨設(shè)尸。的傾斜角為。（0<6<以，

則由|PF|cos8+p=\PF\,p-\QF\cos6=\QF\,

得仍尸|=匚而，及月=哀而

所以|MF|=i-cos(^+0)=1+sinG|NF|=i+cos(f+6>)=l-sinS,

得|PQ|=\PF\+\QF\=&+益彳=急，\MN\=，司=懸,

【變式7-3］(2024?北京西城?三模)點廠拋物線產(chǎn)=2久的焦點，A,B,C為拋物線上三點，若可+而+

FC=0,則|同|+|而|+|麗|=()

A.2B.2V3C.3D.4巡

【解題思路】設(shè)4(xi,yD，B(x2,y2),c(x3,y3)，根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標和準線方程,再由可+FB+FC=

6可得F為△ABC的重心，從而可求出比1+K2+"3,再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.

［解答過程］設(shè)力。1,%),8。2,丫2),。(%3,乃)>

由y2=2%,得p=l,所以尸60),準線方程為％=

因為雨+麗+麗=6,所以F為△ABC的重心，

所以必+；+啊=號,所以亞+刀2+久3=*

--->--->--->

4|+|FB|+|FC|

所以|凡-X1+-+X2+-+X3+2

3

=*1+%2+*3+2

一_3尹3小_,

故選：C.

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】

[例8](2024?重慶?模擬預測)48是拋物線y2=2Px(p>0)上的不同兩點，點方是拋物線的焦點，且△

的重心恰為凡若|ZF|=5,貝ljp=()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)重心可得卜1+"2=當，結(jié)合對稱性可得的=條再根據(jù)拋物線的定義運算求解.

I71=-724

【解答過程】設(shè)“(%1，'1),8(%2，丫2)/

'%1+%2+。_P+%2=*

因為△OZB的重心恰為R則%+和0_Q?解得

.yi=-y2

、3-

由yi=—可知48關(guān)于X軸對稱，即％1=%2,

則+%2=2%1=M即％1=?，

Z4-

又因為|2尸|=刀1+”乎=5,解得p=4.

故選：D.

【變式8-1](23-24高二下?福建廈門?期末)等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線外=2x

上，則這個等邊三角形的邊長為()

A.2B.2V3C.4D.4V3

【解題思路】正三角形的另外兩個頂點關(guān)于x軸對稱，設(shè)另外兩個頂點坐標分別是4(ga,a),B(ga,—砌，把

頂點代入拋物線方程化簡即可求解.

【解答過程】設(shè)正三角形得邊長為2a,

由圖可知正三角形的另外兩個頂點關(guān)于乂軸對稱，可設(shè)另外兩個頂點坐標分別是4(V^a,a),B(V^a,—a),

把頂點代入拋物線方程得a?=2ga,解得a=2小

所以正三角形的邊長為4國.

故選：D.

【變式8-2](23-24高三下?北京?階段練習)設(shè)拋物線C的焦點為尸，點E是C的準線與C的對稱軸的交

點，點尸在C上，若NPEF=30。，則sin/PFE=()

C.—D.—

A-TB-T22

【解題思路】

先設(shè)P(xo,yo)，根據(jù)圖形分別表示出tan/PEF和sin/PFE即可得解.

【解答過程】由于拋物線的對稱性，不妨設(shè)拋物線為C:y2=2px(p>0),則其焦點為F(|,0),

點E是C的準線與C的對稱軸的交點，其坐標為以一(0),

點P在C上，設(shè)為P(%o，yo),若NPEF=30。，則tan/PEF=黑=§,

且|PF|=x0+pPWsinNPFE=sin(>—NPFE)=^=^.

故選：B.

【變式8-3](23-24高二下?重慶?階段練習)已知x軸上一定點力(a,0)(a>0),和拋物線產(chǎn)=2Px(p>0)上

的一動點M,若>a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(0閭B.(0,p]C.(0用D.(0,2p]

【解題思路】設(shè)M(xo，yo)(&>0),表示出|力”|,依題意可得就一(2a-2p)%0>0恒成立，分配=0和>0

兩種情況討論，當久0>0時XoN2a—2P恒成立，即可得到2a—2pW0,從而求出a的取值范圍.

【解答過程】設(shè)M（%o,yo）3）20）,則羽=2px（）,所以|4M|=J（x（）—a）2+羽

22

二7（Xo—a）+2px0=/%o—（2a—2p）x0+a

—J%一（a—p）］x0+a］，

2

因為>a恒成立，所以就-（2a-2p）%0+a>a2恒成立，

所以非-（2a-2p）x0>0恒成立，

當X。=0時顯然恒成立，當劭>0時孫>2a-2P恒成立，

所以2a-2pV0,則aWp,又a>0,所以0<aWp,即實數(shù)a的取值范圍為（0,p］.

故選：B.

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】

【例9】（2024?江西新余?二模）已知點Q（2,—2）在拋物線C：y2=2px±,尸為拋物線的焦點，貝U△OQF

（O為坐標原點）的面積是（）

A.1B.1C.2D.4

【解題思路】將點Q代入拋物線C的方程，即可求解p,再結(jié)合拋物線的公式，即可求解

【解答過程】點Q（2,-2）在拋物線C:y2=2px上，F(xiàn)為拋物線C的焦點，

4=4p,解得p=1,

故拋物線C的方程為產(chǎn)=2%,F（1,0）,

則△OQF的面積SMQF==|.

故選：A.

【變式9-1］（23-24高二上?廣東廣州?期末）已知拋物線C：y2=2px（p〉0）的焦點為尸，直線/與C相

交于/、2兩點，與/軸相交于點￡已知|4F|=5,\BF\=3,若△4EF的面積是△BEF面積的2倍，則

拋物線C的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8%

【解題思路】過分別作C的準線的垂線交y軸于點M,N,根據(jù)拋物線定義可得MM=5—另|BN|=3—

|,再由受空=盤=罌即可求參數(shù)P，進而可得拋物線方程.

，"BEF|OC|\DN\1

【解答過程】如圖，過4B分別作C的準線的垂線交y軸于點M,N,

則4M〃BN，故提=需,

因為C的準線為x=g,所以14Ml=|4F|_、=\BN\=\BF\-1=3-p

所以"_]EF]|4E|sin〃EF_幽_也—tf__

所以SAB”_》EF||BE|si“EF_|BE|_|BN|一3-用牛付P-

故拋物線C的方程為儼=4x.

【變式9-2]（23-24高二上?廣東廣州?期末）設(shè)F為拋物線產(chǎn)=4乂的焦點，A,B,C為該拋物線上不同的三點,

且戴+麗+同=6,0為坐標原點，若△。凡4、AOFB、△0FC的面積分別為Si、S2、S3,則S：+S專+S專

=（）

A.3B.4C.5D.6

【解題思路】設(shè)點48,C的坐標，再表示出△。凡4,△。FB,△。尸C的面積，借助向量等式即可求得答案.

【解答過程】設(shè)點4B,C的坐標分別為（不）1），0272），（%3，為），而拋物線的焦點尸（1,0），\OF\=1,

FA=（久i=（x2-l,y2），F(xiàn)C=（x3-l,y3）,由凡4+FB+FC=G,得久i+x2+x3-3,

于是S]=、僅1|,52=打2居=9為1，

所以望+Sj+Sj=-(yi+yj+yl)=+%2+%3=3.

故選：A.

【變式9-3］（23-24高二?全國?課后作業(yè)）已知拋物線C：產(chǎn)=8羽點P為拋物線上任意一點，過點P向圓

D：久2+產(chǎn)―4久+3=0作切線，切點分別為4B,則四邊形P4DB的面積的最小值為（）

A.1B.2C.V3D.V5

【解題思路】由題意圓的圓心與拋物線的焦點重合，可得連接P。，貝”四邊形P4DB=2SRSP4D=|P4|,而

\PA\=y/\PD\2-l,所以當|PO|最小時，四邊形P4DB的面積最小，再拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點P到拋物線的

準線的距離的最小值，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可求得結(jié)果

【解答過程】如圖，連接PD,圓（x-2）2+y2=l,該圓的圓心與拋物線的焦點重合，半徑為1,

則S四邊形PADB—2SRSP40=\PA\.

又|P川=J|PD|2—1,所以當四邊形PADB的面積最小時，|PD|最小.

過點P向拋物線的準線x=—2作垂線，垂足為E,則|PD|=|PE|,

當點P與坐標原點重合時，|PE|最小，此時|PE|=2.

故（s四邊形240B）min=（/iW^i）min=V3.

故選：c.

yjk

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?江西?模擬預測)若拋物線久2=8y上一點(久口,%)到焦點的距離是該點至防軸距離的2倍.則見=

()

13

A.-B.1C.-D.2

【解題思路】根據(jù)拋物線的方程，結(jié)合拋物線的標準方程，得到拋物線的焦點和準線，利用拋物線的定義,

得到拋物線上的點(xo,yo)到焦點的距離，根據(jù)題意得到關(guān)于火的方程，求解即可.

【解答過程】已知拋物線的方程為/=8y,可得p=4.

所以焦點為F(0,2),準線為Z：y=—2.

拋物線上一點4(%,y°)到焦點F的距離等于到準線1的距離，

即網(wǎng)=%+2,

又必到x軸的距離為y(),

由已知得yo+2=2y(),解得yo—2.

故選：D.

2.(2024?四川?模擬預測)已知拋物線C:久2=8y的焦點為￡P(guān)是拋物線C上的一點，。為坐標原點，|0P|=4

V3,則|PF|=()

A.4B.6C.8D.10

【解題思路】求出拋物線焦點和準線方程，設(shè)P(nui)(m20),結(jié)合|0P|=4行與拋物線方程，得到幾=4,

由焦半徑公式得到答案.

【解答過程】拋物線C：/=8y的焦點為F(0,2),準線方程為y=-2,

設(shè)P(7n,Zl)(7H>0),叫后黑但，解得"4或--12(舍去)，

則|PF|=n+2=6.

故選：B.

3.(23-24高二下?