解三角形綜合壓軸小題歸類（16題型提分練）-2025年高考數(shù)學一輪復習知識清單

專題11解三角形綜合壓軸小題歸類

更盤點?置擊看考

目錄

題型一：三角形幾解求參.........................................................................1

題型二：判斷三角形形狀：化角為邊型..............................................................3

題型三：判斷三角形形狀：化邊為角型..............................................................7

題型四：面積公式的應用.........................................................................9

題型五：求邊長或者周長.........................................................................12

題型六：解三角形求角度.........................................................................14

題型七：范圍與最值：知角和邊求周長.............................................................16

題型八：范圍與最值：知角和邊求面積.............................................................19

題型九：范圍與最值：判斷角型...................................................................21

題型十：范圍與最值：無長度求比值型.............................................................24

題型十一：范圍與最值：正切型最值...............................................................28

題型十二：正余弦定理與三角形外心...............................................................32

題型十三：正余弦定理與角平分線.................................................................35

題型十四：正余弦定理與中線.....................................................................38

題型十五：正余弦定理與三角形高.................................................................42

題型十六：解三角形綜合應用.....................................................................46

更突圍?錯;住握分

題型一：三角形幾解求參

指I點I迷I津

判斷三角形解的個數(shù)有2種：

畫圖法：以已知角的對邊為半徑畫弧，通過與鄰邊的交點個數(shù)判斷解的個數(shù)。

①若無交點，則無解；

⑦若有一個交點，則有一個解；

⑥若有兩個交點，則有兩個解；

④若交點重合，雖然有兩個交點，但只能算作一個解。

公式法：運用正弦定理進行求解。

①a=bsinA,0=0,則一個解；

②a>bsinA,團>0,則兩個解；

③a<bsinA,EI<0,則無解。

1.（23-24高三.陜西榆林?）在丫鉆（7中，角的對邊分別為a,b,c,若8=60。，6=3萬，VABC只

有一個解，貝|c的取值范圍為（）

A.（0,3A/3）B.（0,3石]C.（3^,6）D.（0,3^]U{6}

【答案】D

【分析】利用正弦定理求外接圓半徑，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.

晨b3一

【詳解】VABC的外接圓。的半徑"一大蒜一1萬一L

如圖所示，AC=3如,AB'是圓的直徑.

可知點8在優(yōu)弧AC上（不包括端點），

當B為q時，此時c取到最大值2R=6；

當點2從點A到8,時，此時。越來越大，且c?0,6）；

當點3從點g到C時，此時c越來越小，且ce（3如,6）；

綜上所述：若VABC只有一個解，則c的取值范圍為（0,36]口{6}.

故選：D.

7T

2.（23-24圖三?江蘇南通?）已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若滿足條件A=：,c=2

6

的VABC有兩個，則。的取值范圍為（）

A.（1,2）B.（2,+8）C.[1,2）D.（1,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理用。表示sinC,再借助sinC的范圍求解即得.

【詳解】在VA5C中，由正弦定理得三二七，則-?_csinA_2sm6_1,

smAsmCsinc=---------=---------=—

aaa

TTJrS1T7T1

由滿足條件A=2，c=2的VABC有兩個，得2<C<L，且。*彳，即彳<sinC<l,

66622

因此工<—<1,所以l<a<2.

2a

故選：A

4

3.（2023?四川綿陽?模擬預測）命題P:“若VA8C與QEF滿足:AB=DE=x,BC=EF=2,cosA=cosD=-,

則ZWC三已知命題P是真命題，則x的值不可以是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)已知可知三角形有唯一解，根據(jù)已知結(jié)合正弦定理，以及x與2的大小關(guān)系、正弦函數(shù)的取值

范圍，求解即可得出答案.

4

又COSA=M>0,所以A為銳角.

由正弦定理可得,

3

所以，._ABsinA13.

sinC=-----------=上一=——x

BC210

要使命題。是真命題，則。有唯一滿足條件的解.

3

若0<%<2,貝UsinC<y,顯然C有唯一滿足條件的解;

若x=2,則。=4,滿足；

3

若x>2,且sinC<l,即而％<1,

即2<x<g,此時C有兩解滿足條件，此時命題。是假命題;

當片當時，此時有sinC=l,C=g有唯一解，滿足；

當X>?時，此時有sinC>l,顯然C無解，不滿足.

綜上所述，當0<%<2或了=當時，命題P是真命題.

故選：D.

jr

4.（23-24高三下.浙江.）在VABC中，ZA=-,AB=4,BC=a,且滿足該條件的VABC有兩個，則。的取

值范圍是（）

A.（0,2）B.（2,2石）C.（2,4）D.（273,4）

【答案】D

【分析】由正弦定理求出sin。，由sinCvl,且可得〃的取值范圍.

【詳解】由正弦定理可得：1二=」；，所以sinC=2叵<1,所以a>26，

因為滿足條件的VABC有兩個，所以3c<AB,即。<4,所以。的取值范圍是R班,4）

故選:D

5.（22-23高三?北京）已知在VABC中，5=60。力=布,若滿足條件的三角形有且只有一個，則。的取值

范圍是（）

A.{?10<a<A/3}B.或a=2}

C.{a|O<tz<73}D.{a|O<aV6或“=2}

【答案】D

【分析】由正弦定理和三角形解的個數(shù)可得答案.

,'V*ATJXr+t口去￡=?Tpn——r4曰a=sinA—sinA=2sinA

【詳解】由正弦定理可得sin573，

若滿足條件的三角形有且只有一個，則0。<AW60。或A=90。，

所以0<sinA4巫或sinA=1,

2

可得或a=2.

故選：D.

題型二：判斷三角形形狀：化角為邊型

指I點I迷I津

正余弦定理：化角為邊型

若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理"角化邊";

AaRb

1.（2021iWi二,全國?專題練習）設4ABC的二邊長為BC=a,CA—b，AB=c,若tan—=-----,tan—=-------，

2b+c2a+c

則△ABC是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各邊長為。、Ac且內(nèi)切圓半徑為，，

法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有tan：==、tan3=一也，根據(jù)邊角關(guān)系可得。=6或4+62=02,注意討論所

2b+c2a+c

得關(guān)系驗證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系；

7T

法二：由半角正切公式、正弦定理可得A=B或A+2=5,結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角形

的形狀.

【詳解】設尸=；（a+6+c）,ZkABC的內(nèi)切圓半徑為r,如圖所示,

ArBrb

：.tan—=-------①;tan—=----②.

2p-ab+c2p-ba+c

p-b_aa+c2(7J-Z?)fl(a+c)

①:②，得:

p—ab+cb2(p-〃)b(b+c)

于是80+0）（0+々一人）=1（々+。）（6+。一々），

ab1—Z?3+bc2=a2b-a3+ac2,（〃一匕）（/+/?2—c2）=0,

從而得a=人或4+廿=。2,

???NA=NB或NC=90。.故4ABC為等腰三角形或直角三角形,

（1）當。二人時，內(nèi)心/在等腰三角形C4B的底邊上的高上,

c-a2--

=-ABCD=-從而得2S4?

22r

a+b+c2a+c

^p-a=-(b+c-a)=-c,代入①式，得即'-I=工，

22(2a+c)[cb+ca+c2a+ca+c

2a-ca2「

上式兩邊同時平方，得：y—=7------喪，化簡2/=o,即C=缶.即△ABC直角三角形,

2〃+c(Q+C)

???△ABC為等腰直角三角形.

(2)當4+/二。a時，易得r=；g+)_c).

-yu-ru-cjb

代入②式，得^--------=——，此式恒成立,

1/,7\Q+C

綜上，△A3c為直角三角形.

法二：

AsinAB區(qū)及正弦定理和題設條件，得sinAsinA

利用tan^=tan—二①,

1+cosA21+cosAsinB+sinC

sinBsin3

---------=--------------②.

1+cosBsinA+sinC

1+cosA=sinB+sinC(3)；l+cosB=sinA+sinC@.

由③和④得：l+cosA—sin5=l+cos3—sinA,即sinA+cosA=sinB+cosB,sin[A+：)=sin[+~

因為A,B為三角形內(nèi)角,

：,A+-=B+-^A+-=TI-B--,即A=B或A+B=巴.

44442

(1)若A=B,代入③得：1+cosA=sin5+sinC⑤

XC=7t—A—B=7i—2A,將其代入⑤，得：1+cosA=sinA+sin2A.

變形得(sinA-cosA)?-(sinA-COSA)=0,

即(sinA—cosA)(sinA-cosA_1)=0⑥，

由A=5知A為銳角，從而知sinA—cosA—lw。.

二.由⑥，得：sinA—cosA=0,即4=￡,從而5=囚，C=—.

442

因此，△ABC為等腰直角三角形.

TTTT

(2)A+B=—,即C=5，此時③④恒成立，

綜上，AA3C為直角三角形.

故選：B

2.(20-21高三.上海浦東新?)已知VABC的三條邊a,b,c和與之對應的三個角A,民C滿足等式

acosB+/?cosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC貝!J止匕三角形的形》犬是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用余弦定理將角化為邊整理，即可得三角形的邊之間的關(guān)系，從而可得此三角形的形狀.

【詳解】由余弦定理，可得

a1+c2-b2,a2+b2-c2b2+c2-a2,b2+c2-a2a1+c2-b2a2+b2-c2

laclab2bc2bclaclab

2222

a-hh-c「22

整理，得++=

ab

g、1a_0b-cc-b+b-a_

所以------+------+--------------=0,

cab

所以(》2)1一力+伍-2)2一力=。，

所以(1一萬)僅一0)?0^+僅一〃)9一)空^=0,

所以("6)(6一=0,

Vbeab)

所以14)(6-c).上包產(chǎn)衛(wèi)=0,

所以(a-6)(6-c)(a-c>^1^=0,

所以。=6或6=?；?。=。，故三角形為等腰三角形.

故選：A

3.(18-19高三?四川雅安?階段練習)在AABC中，+貝必人方。的形狀是()

a-bsm(A-B)

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】C

【解析】原式可化為(片+Z?2)-(sinAcosB-cosAsinB)=(a2-/?2)(sinAcosB+cosAsinB),然后利用正弦定理、

余弦定理進行邊角互化，得出。，b,c的關(guān)系.

【詳解】解：由2^=黑號得：(〃+廿)市11(4-3)=(〃-62卜取4+3),旦立6,

(a?+)2).(sinAcos5-cosAsin5)=("一斤)(sinAcos5+cosAsin5),且〃w人,

化簡整理得：(片+/).(/_/)=(〃2_萬2卜2,即(〃2+/_02)(〃2_萬2)=0,

a2=b2^a2+b2=c2又a#b,

???AABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形形狀的判定，難度稍大.解答時，利用正、余弦定理進行邊角互化是難點.

4.(23-24高三.江蘇徐州)在VABC中，若—osf=：cos%則VABC的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【彳析】先利用二倍角公式化簡，然后利用正余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡變形可得答案.

1—cos2cl-cos2B二匚22sin2C2sin2B

【詳解】因為------,所以------=-------

c?cosBb?cosCccosBb?cosC

所以2bsin2CcosC=2csin2BcosB,

所以由正弦定理得2bc2cosC=2cb2cosB,

因為2Z?cwO,所以ccosC=bcos_B,

a2+b2-c2

所以由余弦定理得

lablac

所以（？（々2+82_。2）=82（々2+。2_加），

所以a2b2—a2c2+c4-Z?4=0,

所以02s2一。2）+（02+。2）（°2_。2）=0,

所以（〃—，升1_（/+〃）］=0,

所以。2一。2=。或〃2一92+匕2）=。,

所以〃=C或〃2=。2+〃2,

所以VABC為等腰三角形或直角三角形.

故選：D

5.（23-24高三?安徽蕪湖?）已知。也。分別是VABC三個內(nèi)角A民C的對邊，下列關(guān)于VABC的形狀判斷一

定正確的為（）

A.sin2A+sin2B=sinC,則VA6C為直角三角形

B.sin2A+sin2B=sinC,則VABC為等腰三角形

C.sin2A+sin2B+sin2C=2,則VASC為直角三角形

D.sin2A+sin2B+sin2C=2,則NABC為等腰三角形

題型三：判斷三角形形狀：化邊為角型

;指I點I迷I津

正余弦定理：化邊為角型

（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理"角化邊"；

1戢:工海蓍蒲福臻為5巨如VABC西君揚芬菰i￡'V,'c~示立/版市「M

命題的個數(shù)是（）

（1）若/tanBu/tanA,則VABC是等腰三角形;

（2）若sinA=cos3,則VABC是直角三角形；

（3）若cosAcos3cosc<0,則VABC是鈍角三角形；

（4）cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1,則VABC是等邊三角形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用三角形的性質(zhì)、正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行計算求解.

【詳解】VABC中，ertanB=Z?2tanA,由正弦定理有：

sin2A?四O=sin2B.ia,因為VABC中sinAr0,sinB*0,

cosBcosA

smzAsinR

所以----=-----,EPsinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin25,

cosBcosA

所以2A=25或2A+23=兀，故（1）錯誤；

VABC中，因為sinA=cosB>0,所以Be［。,］；

所以A+3=gIT或A=5+JgT,故（2）錯誤；

22

VABC中，cosAcos3cosc<0,當cosA<0,cosB<0,cosC<0時，

B?,C?顯然不滿足；

當cosA,cos5,cosC中有1為負，2個為正，不妨設cosA<0,cosB>0,cosC>0,

則Be［。,］）,Cefo^l所以V>1BC是鈍角三角形；故（3）正確；

VABC中，A,B,CG(0,7i),所以24—5￡(—兀,兀),3—?！?一兀,兀),。一人￡(一兀,兀),

所以cos(A-B)G(-1,1],cos(B-C)cos(C-A)G(-1,1],

因為cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=l,

所以cosQA_5)=cos(5—C)=cos(C—A)=l,所以A=B二°,

則VABC是等邊三角形，故(4)正確；故A,C,D錯誤.

故選：B.

2.(22-23高三?福建福州?)VA5c中三個角的對邊分別記為〃、b、c,其面積記為工有以下命題：①

S=1oSinBsinC,②若2cos8sinA=sinC,則VABC是等腰直角三角形；③

2smA

sin2C=sin2A+sin2B—2sinAsin3cosC;④(a，/)sin(A—B)=(a2—Z?2)sin(A+B),貝!!VABC是等腰或直角

三角形.其中正確的命題是

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】D

【解析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)恒等變換對各個命題進行判斷.

、斗力、八、、

【▼詳?解】由,a得b6.=-asinB代入S°=；1；a6,s.inC得5?=彳1/2_sinBsinC,①正確;

sinAsinBsmA22sinA

若2cos8sinA=sinC=sin(A+6)=sinAcosB+cosAsin8,cos3sinA-cosAsin_B=0,sin(A-B)=0,*/

AB是三角形內(nèi)角，，4-3=0,即A=B,VABC為等腰三角形，②錯；

由余弦定理=a2+b2-labcosC,又C—,sin2C=sin2A+sin2B—2sinAsinBcosC，③正確;

sinAsinBsinC

(a2+1)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

a2-b2sin(A-B)sinAcosB-cosAsinB.a2_sinAcosBsin2AsinAcosB

貝(J_9V==由正弦定理得

a+bsin(A+B)sinAcosB+cosAsinBb2cosAsinBsin2BcosAsinB

角形中sinAwO,sin5wO,則sinAcosA=sin5cos5,sin2A=sin2區(qū)，.=2A=25或2A+23=?,A=3或

TT

A+B=-,④正確.

故選：D.

【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查三角形形狀的判斷，由正弦定理進行邊角

轉(zhuǎn)化在其中起到了重要的作用，解題時注意體會邊角轉(zhuǎn)換.

3.(23-24高三?重慶?)VA5C中，角A氏。所對應的邊分別是〃也。，c=acosB+ccosAf則VABC的形狀

是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

［答案］D

【分析】首先利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡，判斷三角形的形狀.

【詳解】由正弦定理邊化角可知，sinC=sinAcosB+sinCeosA,

又sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsin3,

所以cosAsinB=sinCeosA,即cosA(sinB-sinC)=0,

所以cosA=0或sinB=sinC,則A=90°或3=C,

所以VABC是等腰三角形或直角三角形.

故選：D

tenR

4.(23-24高三?廣東廣州?)在VA3C中，角A、B、C所對的邊為a、b、c若二—,則VABC的形狀

c~tanC

是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角、切化弦，再結(jié)合二倍角公式求解即得.

sinB

【詳解】在VA5c中，由與=咽0及正弦定理得理，=華學，而sinA>0,sin3>0,

c2tanCsin2csmC

cosC

整理得sinBcosB=sinCeosC,即sin23=sin2C,而。v3V兀,。vCv兀，

TT

則0<23<2兀,0<2C<2TI,因止匕23=2C或28+2。=兀，即8=C或B+C=—,

2

所以VABC是等腰三角形或直角三角形.

故選：C

5.(2024?山東.二模)在VABC中，設內(nèi)角A,2,C的對邊分別為a,b,c,設甲：b-c=a(cosC-cosB),設乙:

VA3C是直角三角形，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】D

【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化簡命題甲，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】在VABC中，由正弦定理及6-c=a(cosC-cos3),得5由3-$山。=$1114905。-8$3),

即sin(A+C)-sin(A+B)=sinA(cosC-cosB),整理得cosAsinC-cosAsinB=0,

TT

由正弦定理得ccosA—bcosA=0,貝！JcosA=0或〃=c,即A=一或》=c,

2

因此甲：4=1或6=。，顯然甲不能推乙；

乙：VABC是直角三角形，當角3或C是直角時，乙不能推甲，

所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.

故選：D

題型四：面積公式的應用

指I點I迷I津

三角形面積，不僅僅有常見的“底乘高”，還有以下:

^111abc

Q)S團ABC=]absinC=]bcsinA=]acsinB=]^

②SI3ABC=5(a+b+c>r(r是切圓的半徑)

1.(23-24高三?重慶?)已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,VABC的面積為S,

S=f1^2-c2|sinA,上+，=三，則4=()

<2)tanAtanCtanB

A.120°B.135°C.150°D.165°

[答案]A

【4析】由面積公式得到b=2c,再將切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導公式得到

sin2B=2sinAsinCeos利用正弦定理將角化邊得到方？=2QCCOS3,由余弦定理得到7c?=4,最后利用余

弦定理計算可得.

【詳解】因為S=gbcsinA,又S=(g后一°2卜門人，

1fl1

所以ebcsmA=[/9-sinA,又0。<4<180°,所以sinA>0,

2

所以兒=從一2。2,BP(Z?-2c)(/?+c)=0,顯然Z?+c>0,所以b=2c,

1+1_cosAcosC_sinCcosA+sinAcosC_sin(A+C)_sinB22cos3

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCtan5sinB

112已12sin52cos5

----+-----=-----,所以---------=------

tanAtanCtan3sinAsinCsinB

所以sin?B=2sinAsinCeosB,由正弦定理可得。？=2?ccosB,

又由余弦定理從=tz2+c2-2accosB，即。之=/十。2一加,

所以4c2=+/_4c2,則7c2=6,

由余弦定理cosA=b十°——_

2bc2

又0。<4<180。，所以4=120。.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是推導出b=2c、7c2=〃，再由余弦定理計算可得.

2.（2023?江西景德鎮(zhèn)?模擬預測）已知VA5C中，設角A、B、。所對的邊分別為〃、b、c,VABC的面積為

C

S,若SsirB+ZsirCusinAlsinA+ZsinBsinC）,則乒的值為（）

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】B

【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉(zhuǎn)化成邊得：3〃+2c2=/+2/sin4,通過余弦定理可將等式化簡

整理為%W=sinA_cosA=^sin（A_f）,通過三角函數(shù)圖像可知"+告M應，同時通過基本不等式可知

c2bI4Jc2b

限三N瓶,即得七三=夜，通過取等條件可知A=芬，c=y/2b，將其代入問題中即可求解答案.

c2bc2b4

【詳解】已知Bsin?B+2sin2C=sin2A+sinA?(2sinBsinC)

由正弦定理可知：3Z?2+2c2=a1+2Z?csinA,

/.3b2+2c2—a1=2Z?csinA，

整理得：伊+。2_。2)+2層+d=2歷sinA,

兩邊同除2歷得：、+c"+亞JsinA,

2bc2bc

根據(jù)余弦定理得：cosA+2+￡=sinA,即+等=sinA_cosA=&sin(A_f],

c2bC2bk4J

-：b>o,c>0,J+=當且僅當2=三，即c=后時等號成立.

c2bNc2bc2b

又?.?2+9=sinA-cosA=^sin(A-f]v也,當且僅當4=電時，等號成立.

c2bk4J4

綜上所述：-+^->A/25.-+^<A/2,

c2bc2b

故得：,+￡=應，止匕時c=^/5力且A=—,

c2b4

.c17.3萬憶,S_y/2be_yf2c_^2r-_l

244b14b24ft42

故選：B

3.(2023?海南?二模)在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,己知a=+c?-3)tanA=V3bc,

2cos2=(V2-l)cosCJiJAABC的面積

口372+763應-而D3+^3

A,c

24'4'4

【答案】D

【解析】本題利用余弦定理，倍角公式，內(nèi)角和定理進行化簡，可求得角A和C的值，再利用正弦定理和

面積公式求得結(jié)果即可.

【詳解】由題，a=yf3,（b2+c2—3)tanA=6bc

r-rprb2+c2-a2.73b2+c2-a2.

m以---------tanA=——---------------=cosA

2bc22bc

所以tanA?cosA=sinA=

2

又因為銳角三角形ABC,所以人=?

由題2cos2=(V2-l)cosC,即1+cos(A+B)=(72-ijcosC

根據(jù)cos(A+8)=-cosC代入可得，COsC=—,即C=M

24

8=若

再根據(jù)正弦定理：-￡-=-￡-.-.C=V2

sinAsmC

面積S」acsin2」?"0?"2=三立

2244

故選D

【點睛】本題考查了正余弦定理解三角形的綜合，以及三角恒等變化公式的的運用，熟悉公式，靈活運用

是解題的關(guān)鍵，屬于中檔偏上題.

TT

4.(21-22高三上?江西宜春?)在/ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知6=2,A=§,且

ch

-_—=^-＞貝MA8C的面積為

1-cosCcosA

A.上B.25/3C.手或6D.G或2后

【答案】D

【詳解】依題意，Z?(1-cosc)=ccosA,Z?=ccosA+Z;cosC,由正弦定理得

sinB=sinCcosA+sin5cosc=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,化簡得sin3cosc=sinAcosC,故cosC=0或

=2i

sin5=sinA.當cosC=0,C=二時，"兀，面積S=—〃8=26.當sin5=sinA時，為等邊三角形,

2tan-2

o

面積為立?22=血，故選D.

4

點睛：本題主要考查三角函數(shù)很等變換的應用，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形你給的面積公式

在解三角形中的綜合應用，還需要結(jié)合分類討論的數(shù)學思想方法來求解.首先利用正弦定理和三角形內(nèi)角和

公式化簡已知條件，由于解有兩個，所以需要對三角形的情況進行分類討論.

5.（23-24高三廣西百色）V43C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，6,c,已知加inC+csinB=4asinBsinC,

62+°2一“2=8,則VA2C的面積為（）

【答案】B

【分析】由給定條件，利用正弦定理邊化角求出sinA,再利用余弦定理求出反即可求出三角形面積.

【詳解】在VABC中，由加inC+csin3=4asinBsinC及正弦定理，得2sin3sinC=4sinAsinJ5sinC,

而sinBsinC>0,則sinA=—,由/+。2=8及余弦定理得2歷8$24=8,cosA>0,

2

因此cosA=Vl-sin2A=，be=—^=,則S=—Z?csinA=—x-^==,

213aABC24733

所以VABC的面積為友.故選：B

3

題型五：求邊長或者周長

指I點I迷I津

解三角形，主要考查正弦定理、余弦定理，還考查三角形面積公式，兩角差的正弦公式，同角間的三角

函數(shù)關(guān)系，正切函數(shù)性質(zhì)等等.注意正弦定理在進行邊角轉(zhuǎn)換時等式必須是齊次，關(guān)于邊“力，。的齊次式

或關(guān)于角的正弦$也Asin氏sinC的齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換.求范圍問題，通

常是把量表示為三角形某個角的三角函數(shù)形式，利用此角的范圍求得結(jié)論.

I_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高三?湖北黃岡?）在丫河（7中，內(nèi)角A,5,C的對邊分別為。，b,c,已知26sinA=3』，a=3,

為鈍角，b-c=2,貝1」人=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

9IT

【分析】利用正弦定理可得B=再結(jié)合余弦定理運算求解.

【詳解】由正弦定理n—-可得bsinA=asin5=3sin5,

smAsinB

且2bsinA=3g,即6sinB=3g,則sin8=走，

且為鈍角，則8=曾，

又因為b-c=2,即c=b-2,

由余弦定理可得=4z2+c2-2?ccosB，

即〃=9+（“2『-2x3僅-2）x（-解得6=7.

故選：C.

2.（23-24高三?江蘇淮安?）在VABC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,若A=60。，a=瓜,

a2+b2—c2=y[lab，則。=（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】由余弦定理求出cosC,得sin。，由正弦定理即可求解.

【詳解】由題意，得cosC=正止乙=，辿=立，

2ab2ab2

又。為VABC的內(nèi)角?！辏?。,兀），因為sin?。+cos2c=1

貝IsinC=,

2

?一…qe，uasinC

由正弦定理，得c=-

2

故選：B.

3.（23-24高三?山西長治?）在VABC中，角A,B,C所對應的邊分別為b,c,q=2c=2,

tan-------+tan-=4,貝（）

22

A.&B.73C.2D.石

【答案】B

【分析】先根據(jù)tan4等+tan：=4求出C,然后利用余弦定理求出b.

A+BC71-C+tanC=4,

【詳解】由tan+tan一=4得tan

2222

.71—C,CC.C

sin-------sm——cos——sm——

71—(7C

tan--------btan—=2+-22+-2=4,

22Tl-CCCC

cos—cos—sin一cos—

2222

1

=4，.二=:，又，所以所以?！?。，兀

CCsinCa=2c=2a=2>c=1,15

sin-cos一2

22

小叱=￥=^^=盜匚解得匹瓜故選：B.

4.（23-24高三?四川成都）在VA5C中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,。的對邊，若

3

3sin2C=sin2A+sin2B+2sinAsinB,cosC=4，且凡人叱=4,貝!Jc=（）

A.蛔B.4C.亞D.5

33

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理角化邊，由三角形面積公式求必，再結(jié)合余弦定理，即可求解J

a

【詳解】由正弦定理角化邊，可知，3c2=〃+〃+2",且cosC=(

412

則sinC=—,SARC=—absinC=—ab=4,貝！J"=10,

5△25

則3c2=/+/+20,①

由余弦定理。2=/+/一2。/7cosc=Q2+/一12,②

由①②得，c2=16,即c=4.

故選：B

7T

5.（23-24高三?江蘇南京）在△ABC中，角A,B,。對邊分別為。，b,c.若2bcosC=2〃—c,A=一,b=3,