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山東省天成大聯(lián)考2025屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,若,則實(shí)數(shù)的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或72.在中,,則=()A. B.C. D.3.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.4.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.函數(shù)在上最大值是15.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.6.如圖,在中,點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.7.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.988.如圖,四邊形為正方形,延長(zhǎng)至,使得,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.9.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,,為拋物線上三點(diǎn),若,則().A.9 B.6 C. D.10.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.11.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為()A. B.C. D.12.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點(diǎn),且,P為BE上一點(diǎn),且滿足,則的最小值為______.14.已知函數(shù),若的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________15.在中,若,則的范圍為________.16.現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形,然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng),329個(gè)小項(xiàng).共有來(lái)自100多個(gè)國(guó)家的近萬(wàn)名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng),努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí),并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對(duì)軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況,在全市開展了網(wǎng)上問(wèn)卷調(diào)查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問(wèn)卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來(lái)估計(jì)總體,設(shè),分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計(jì)算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動(dòng),市體育局還對(duì)參加問(wèn)卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分低于的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),得分不低于的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),在一次抽獎(jiǎng)中,抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A的概率為,抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問(wèn)卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者,記Y為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.(參考數(shù)據(jù):;;.)18.(12分)某大學(xué)開學(xué)期間,該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務(wù)的前54單沒(méi)有提成,從第55單開始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量,現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機(jī)選取一天,估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘,四人選擇日工資方案相互獨(dú)立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請(qǐng)你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說(shuō)明理由.(同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)19.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對(duì)稱軸方程.20.(12分)如圖1,與是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形,,,連接是邊上一點(diǎn),過(guò)作,交于點(diǎn),沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設(shè)若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)時(shí),.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡(jiǎn)即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡(jiǎn)可得.∴解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).4、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式;利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無(wú)法取得,錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的得:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),此時(shí)沒(méi)有最大值,錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式,通過(guò)正弦函數(shù)的圖象來(lái)判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).5、A【解析】

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過(guò),即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

,將,代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.7、C【解析】

由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時(shí)輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計(jì)算即可,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則,,設(shè),則,所以,且,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,是一道基礎(chǔ)題.9、C【解析】

設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問(wèn)題,考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.10、C【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì),和特殊值的正負(fù),以及值域,逐一排除選項(xiàng).【詳解】,函數(shù)是奇函數(shù),排除,時(shí),,時(shí),,排除,當(dāng)時(shí),,時(shí),,排除,符合條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,屬于基礎(chǔ)題型,一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性,零點(diǎn),特殊值的正負(fù),以及單調(diào)性,極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).11、C【解析】

,將看成一個(gè)整體,結(jié)合的對(duì)稱性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問(wèn)題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.12、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:根據(jù)題意有,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以有,從而有,所以的最小值是.考點(diǎn):向量的運(yùn)算,基本不等式.【方法點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,屬于中檔題目,在解題的過(guò)程中,關(guān)鍵步驟在于對(duì)題中條件的轉(zhuǎn)化,根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合向量的性質(zhì)可知,從而等價(jià)于已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題,兩式乘積,最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加,得出最后的答案.14、【解析】

,可得在時(shí),最小值為,時(shí),要使得最小值為,則對(duì)稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對(duì)稱軸要滿足并且,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題,對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.15、【解析】

借助正切的和角公式可求得,即則通過(guò)降冪擴(kuò)角公式和輔助角公式可化簡(jiǎn),由,借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】,所以,.因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.16、【解析】

由題意容積,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析即得解.【詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),,;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

(1)根據(jù)頻率分布表計(jì)算出平均數(shù),進(jìn)而計(jì)算方差,從而X~N(65,142),計(jì)算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,計(jì)算期望,進(jìn)而可得需要的總金額.【詳解】解:(1)由已知頻數(shù)表得:,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所以;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為:Y15304560P所以,需要的總金額為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布表計(jì)算平均數(shù),方差,考查了正態(tài)分布,考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)0.4;(2);(3)應(yīng)選擇方案,理由見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率,即可估算其概率;(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法,先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率,再由對(duì)立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率;(3)設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件,分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式,即可計(jì)算兩種計(jì)算方式下的數(shù)學(xué)期望,并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【詳解】(1)設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天,這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率分別為,∵,∴估計(jì)為0.4.(2)設(shè)事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”,設(shè)事件,為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”,則,所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.(3)設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件,方案的日工資,方案的日工資,所以隨機(jī)變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05;同理,隨機(jī)變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵,∴建議騎手應(yīng)選擇方案.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法,數(shù)學(xué)期望的求法并由期望作出方案選擇,屬于中檔題.19、(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對(duì)稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】

根據(jù)折疊圖形,,由線面垂直的判定定理可得平面,再根據(jù)平面,得到.(2)根據(jù),以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù),可知,,表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),分別求得平面與平面的法向量,代入求解.設(shè)所求幾何體的體積為,設(shè)為高,則,表示梯形BEFD和ABD的面積由,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】(1)證明:不妨設(shè)與的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)為由題知,,則有又,則有由折疊可知所以可證由平面平面,則有平面又因?yàn)槠矫?,所?...(2)解:依題意,有平面平面,又平面,則有平面,,又由題意知,如圖所示:以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意知由可知,則則有,,設(shè)平面與平面的法向量分別為則有則所以因?yàn)椋獾迷O(shè)所求幾何體的體積為,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在是增函數(shù),在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí),有最大值,即六面體的體積的最

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