新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線1橢圓1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第一冊(cè)

1.2橢圓的簡潔幾何性質(zhì)A組1.已知橢圓C1:x212+y24=1,C2:x216+y28=A.頂點(diǎn)相同 B.長軸長相等C.短軸長相等 D.焦距相等2.橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13),另一個(gè)頂點(diǎn)是(-10,0),則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為().A.(±13,0) B.(0,±10)C.(0,±13) D.(0,±69)3.已知直線2x+y-2=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>A.x25+y24=C.x29+y24.(多選題)設(shè)橢圓C:x22+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是C上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有(A.|PF1|+|PF2|=22B.離心率e=3C.△PF1F2面積的最大值為2D.以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y-2=0相切5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上,且BF⊥x軸,直線AB交y軸于點(diǎn)P.若AP=A.32 B.22 C.16.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為55,且過點(diǎn)P(-5,4),則橢圓的方程為7.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率e為32,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12,則橢圓G的方程為8.分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)離心率是23,長軸長是(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直,且焦距為6.B組1.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),B為上頂點(diǎn),F為左焦點(diǎn),A為右頂點(diǎn),且右頂點(diǎn)A到直線FB的距離為A.22 B.2-C.2-1 D.32.已知橢圓的短半軸長為1,離心率e滿意0<e≤32,則長軸長的取值范圍是()A.(2,4] B.[2,4] C.(1,4) D.[2,8)3.橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓M上任一點(diǎn),且PF1·PF2的最大值的取值范圍是[c2,3c2A.14,C.22,4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),直線y=b2與橢圓交于B,C(第4題)5.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x22+y2=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的隨意一點(diǎn),則|OP|2+|PF|2的最小值為6.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),(第6題)(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;(2)若AF2=2F27.已知點(diǎn)A,B分別是橢圓x236+y220=1的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn),且M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.

參考答案1.2橢圓的簡潔幾何性質(zhì)A組1.D由兩個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可知C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±23,0),(0,±2),長軸長為43,短軸長為4,焦距為42;C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±4,0),(0,±22),長軸長為8,短軸長為42,焦距為42,故選D.2.D由題意知,其焦點(diǎn)在y軸上,且a=13,b=10,則c=a2-b2=693.A直線2x+y-2=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(0,2),由題意得c=1,b=2,所以a=b2所以橢圓的方程為x25+y244.AD對(duì)于A,由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a=22,故A正確;對(duì)于B,由橢圓方程知a=2,b=1,c=1,所以離心率e=ca=12=對(duì)于C,|F1F2|=2c=2,當(dāng)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí),△PF1F2的面積取得最大值,最大值為12·2c·b=c·b=1,故C錯(cuò)誤對(duì)于D,以線段F1F2為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑為c=1,圓心到直線x+y-2=0的距離為22=1,即圓心到直線的距離等于半徑,以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y-2=0相切,故D正確5.D∵AP=2PB,∴|AP|=2|PB|.又由BF⊥x軸,可得PO∥BF,∴|PA||AB∴e=ca6.x245+y236=∴c2∴5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+∵橢圓過點(diǎn)P(-5,4),∴25a2解得a2=45.∴橢圓的方程為x245+7.x236+y29=1依題意可設(shè)橢圓G的方程為x∵e=32,即ca=32∵橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12,∴2a=12,a=6.∴c=33,b=a2-c故橢圓G的方程為x236+8.解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>∵2a=6,e=ca=23,∴a=∴b2=a2-c2=9-4=5.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y25=(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y如圖,△A1FA2為等腰直角三角形,OF為斜邊A1A2上的中線(高),(第8題)且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b.∵2c=6,∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x218+B組1.C由題意知,A(a,0),直線FB的方程為x-c+yb=1,即bx-cy+bc=0.因?yàn)閨ab+bc|b2+c2=2.A由e2=c2a2=a2-b2a2=1-1a2,得0<1-1a2所以1<a2≤4,解得1<a≤2,即2<2a≤4.3.B設(shè)P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),則PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y),PF1·PF2=x2+y2-c2.又x2+y所以(x2+y2)max=a2,所以(PF1·PF2)max=b2,于是c2≤b2=a2-c2≤3c2,即14≤e2≤124.63由題意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),由∠BFC=90°得BF·CF=c+32a,-b2·c-325.2設(shè)P(x0,y0),而F(-1,0),∴|OP|2+|PF|2=x02+y02+(x0又y02=1-∴|OP|2+|PF|2=x02+2x0+3=(x0+1)2+∴|OP|2+|PF|2的最小值為2.6.解(1)若∠F1AB=90°,則△AOF2為等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c.所以a=2c,e=ca(2)由題意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).其中,c=a2-b2.設(shè)B(x由AF2=2F2B,得(c,-b)=2(則x=3c2,y=-b2,即將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b又由AF1·AB=(-c,-b)·3c2,-3b2=32得b2-c2由①②解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.所以橢圓的方程為x23+7.解(1)由已知,可得A(-6,0),B(6,0),F(4,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).因?yàn)镻A⊥PF,所以AP·FP即(x+6)(x-4)+y2=0.由x得2x2+9x-18=0,解得x=32或x=-6由于y>0,故只能取x=32,于是y=5所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是32(2)由(1)可得,直線AP的方程是x-3y+6