河南省洛陽市孟津區(qū)2024-2025學年高三數(shù)學下學期開學考試試題含解析

河南省洛陽市孟津區(qū)2024-2025學年高三數(shù)學下學期開學考試試題一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)用公式解肯定值不等式的方法，結(jié)合集合交集的定義進行求解即可.【詳解】由于集合，，則.故選：B2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分條件、必要條件的定義推斷即可得解.【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；若，則或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.在同始終角坐標系中，函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通過分析冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，與，答案A沒有冪函數(shù)圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.4.假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”.若函數(shù)f(x)＝x2－x＋是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為（）A.[1，＋∞) B.[0，]C.[0，1] D.[1，]【答案】D【解析】【分析】分別利用二次函數(shù)和對勾函數(shù)的單調(diào)性求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項得出答案．【詳解】因為函數(shù)f(x)＝x2－x＋的對稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù).又當x≥1時，＝x＋－1，令g(x)＝x＋－1(x≥1)，則g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0，得1≤x≤，即函數(shù)＝x－1＋在區(qū)間[1，]上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”I為[1，].故選：D.【點睛】本題利用新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)解決對勾函數(shù)的單調(diào)性，考查學生計算實力，屬于中檔題．5.函數(shù)的零點所在區(qū)間為A.（-1,0） B.（0,1） C.（1,2） D.（2,3）【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式，求得，依據(jù)函數(shù)的零點的存在定理，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以，依據(jù)函數(shù)的零點的存在定理，可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.故選B.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點的判定，其中解答中熟記函數(shù)的零點的存在定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算實力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)是奇函數(shù)且其圖象在點處的切線方程，設(shè)函數(shù)，則的圖象在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出切點的坐標，即得解.【詳解】解：由已知得，，因為是奇函數(shù)，所以，又因為，所以，，所以的圖象在點處的切線方程為.故選：A7.已知向量，滿意，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出、的值，利用平面對量數(shù)量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點睛】本題考查平面對量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面對量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算實力，屬于中等題.8.在等差數(shù)列中，若，且它的前項和有最小值，則當時，的最小值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件得，，由等差數(shù)列前項和的公式，能求出時，的最小值．【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，它的前項和有最小值∴公差，首項，為遞增數(shù)列∵∴，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，.∵，∴當時，的最小值為16．故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查數(shù)列的函數(shù)特性．9.已知關(guān)于的方程的兩個實根為滿意則實數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次方程實根分布列式可解得.【詳解】設(shè),依據(jù)二次方程實根分布可列式:,即,即,解得:.故選D.【點睛】本題考查了二次方程實根的分布.屬基礎(chǔ)題.10.在直三棱柱中，，，，，為線段的三等分點，點在線段EF上（包括端點）運動，則二面角的正弦值的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作協(xié)助線，利用二面角的定義找到二面角的平面角，再設(shè)，用表示出二面角的正弦值，最終利用函數(shù)學問求二面角的正弦值的范圍即可.【詳解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，又，，所以，.如圖，過點作交于點，則，故平面ABC，因為平面ABC，故，過點作交AB于點，連接DN，因為平面，平面，且，所以平面，又平面，則，故即二面角的平面角.設(shè)，在直角中，，所以，，所以，.所以，則，易知在上的值域為，所以.故選：C.11.已知雙曲線（，），直線與T交于A，B兩點，直線與T交于C，D兩點，四邊形ABCD的兩條對角線交于點E，，則雙曲線T的離心率為（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意分別得到點A，B，C，D的坐標，然后依據(jù)雙曲線的對稱性得到點E在y軸上，進而得到點E的坐標，再結(jié)合得到是等邊三角形，利用三角形的學問得到a與b之間的關(guān)系，最終可得雙曲線的離心率.【詳解】在中，令，得，不妨設(shè)，，同理可得，，由對稱性可知，四邊形ABCD的兩條對角線的交點E在y軸上.易知直線AC的方程為，令，得，即.因為，所以是等邊三角形，，所以，即，因為，所以，所以.故選：A12.某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為，現(xiàn)用甲胎蛋白法進行普查，醫(yī)學探討表明，化驗結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有肝癌的人其化驗結(jié)果呈陽性，而沒有患肝癌的人其化驗結(jié)果呈陽性，現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】記事務(wù)某人患肝癌，事務(wù)化驗結(jié)果呈陽性，利用全概率公式求出的值，再利用條件概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】記事務(wù)某人患肝癌，事務(wù)化驗結(jié)果呈陽性，由題意可知，，，所以，，現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點處的切線方程為___________．【答案】.【解析】【分析】本題依據(jù)導數(shù)的幾何意義，通過求導數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．【點睛】精確求導數(shù)是進一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導數(shù)的運算法則駕馭不熟，二導致計算錯誤．求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．14.已知正數(shù)滿意，且，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】由已知可得，結(jié)合>0及z?3x，可得，從而可求的范圍，化簡得到，然后結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可求結(jié)果．【詳解】∵正數(shù)x，y，z滿意，∴，由>0且x>0，y>0可得2y?x>0，∵z?3x，∴，整理可得，，∴，∵2y?x>0，∴(3x?2y)(x?y)?0，∴，令，則，則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當時，P有最小值，當t=1或t=時，P有最大值，P的取值范圍是，故答案為.【點睛】本題考查函數(shù)的綜合運用，考查學生的邏輯推理實力和計算求解實力，解題的關(guān)鍵在于得出的范圍，屬難題.15.某個微信群在某次進行的搶紅包活動中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機安排為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲?乙?丙?丁4人參加搶紅包，每人只能搶一次，則甲?乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為___________.【答案】【解析】【分析】計算出基本領(lǐng)件總數(shù)及滿意條件的有利事務(wù)數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．【詳解】由題意可得，甲、乙二人搶到的金額的基本領(lǐng)件總數(shù)為，，，，，共6種，“甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元”包含，，共3種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率.故答案為：．16.已知復數(shù)滿意(i為虛數(shù)單位)，復數(shù)的虛部為2.則為實數(shù)的條件是________.【答案】【解析】【詳解】因為，所以，.設(shè).則.因為實數(shù)，所以，.故三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角B；（2）若________，求的面積.請在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并加以解答.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用誘導公式及正弦定理變形，再結(jié)合二倍角的正弦求解作答.（2）選擇①，利用正弦定理、余弦定理求出角A即可計算得解；選擇②，利用和角的正切求出角A即可計算得解；選擇③，求出角A，C的正弦及邊a即可計算得解.【小問1詳解】在中，依題意，，由正弦定理，又因為，因此，即，而，即有，則，解得，所以.【小問2詳解】選①，依題意，得，由正弦定理得，由余弦定理得，而，則，由（1）知，因此為等邊三角形，又，所以的面積.選②，，解得，而，則，由（1）知，因此等邊三角形，又，所以的面積.選③，由，明顯A為銳角，解得，由正弦定理，得，而，所以的面積.18.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，；數(shù)列滿意.（1）求；（2）求的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先令和求出，從而得到公比，再求通項公式即可.（2）首先依據(jù)已知求出，再利用裂項求和即可得到答案.【詳解】（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以；（2）當時，①又，②②–①，因為，所以，時也成立，所以.，所以.【點睛】本題第一問考查等比數(shù)列的通項公式，其次問考查由前項和求通項，同時考查了裂項求和，屬于中檔題.19.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再依據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；【小問2詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設(shè)平面法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.20.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點在雙曲線C上，TP垂直x軸于點P，且點P到雙曲線C的漸近線的距離為2.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知過點的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，且的外接圓圓心Q在y軸上，求滿意條件的全部直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用點在雙曲線上和點到漸近線的距離等于2得到關(guān)于、的方程組，進而求得標準方程；（2）先分析直線l不存在斜率時的情形，再設(shè)出直線l方程，聯(lián)立直線和雙曲線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用直線l與雙曲線C的右支相交于兩點得到斜率的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形外心的幾何性質(zhì)進行求解.【小問1詳解】解：由在雙曲線C上，得，由TP垂直x軸于點P，得，則由到雙曲線C的漸近線的距離為2，得，得，聯(lián)立和，解得，，即雙曲線C的標準方程為.【小問2詳解】解：由題意，，當直線無斜率時，直線方程為，則、，則為等腰三角形，若的外接圓的圓心Q在y軸上，則，而，，，不符合題意（舍）；當直線存在斜率時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，即設(shè)直線l與雙曲線C的右支相交于、，則，解得，即或；則，，從而，則線段AB的中點，且.由題意設(shè)，易知Q在線段AB的垂直平分線上，因此，得，即，連接QP，QA，QM，因此.由勾股定理可得，，又，則，化簡得，得（舍去），因此直線l的方程為，即或.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題要做好兩點：一是轉(zhuǎn)化，把題中的已知條件和所求精確轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)與式，即形向數(shù)的轉(zhuǎn)化，如本題中將是的外心轉(zhuǎn)化為且；二是設(shè)而不求，其主要思路是：要先設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，通常狀況下設(shè)直線方程要留意直線斜率不存在的狀況.21.某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間相互獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間（分）12345頻率0.10.40.30.101從第一個顧客起先辦理業(yè)務(wù)時計時.（1）估計第三個顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務(wù)的概率；（2）表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1）0.22；（2）分布列見解析，0.51.【解析】【分析】（1）設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列，對“第三個顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務(wù)”分三種狀況探討①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需時間為1分鐘，且其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；③第一個和其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘，求概率.（2）確定X全部可能的取值，求出對應(yīng)的概率，即可得到X的分布列即數(shù)學期望.【詳解】（1）設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1記事務(wù)A：第三個顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務(wù)①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需時間為1分鐘，且其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；

②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；

③第一個和其次個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘

所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22；（2）X全部可能的取值為：0，1，2

X=0對應(yīng)第