江蘇省蘇州市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

2016-2017學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1.（5分）命題勺xWR,x?>9"的否定是.

2.（5分）拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

3.（5分）過(guò)點(diǎn)P（0,1）,且與直線(xiàn)2x+3y-4=0垂直的直線(xiàn)方程為.

4.（5分）直線(xiàn)3x-4y-12=0與兩條坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則△ABO的面積等于.

5.（5分）函數(shù)y=x3-2x?+x的單調(diào)遞減區(qū)間為.

6.（5分）"m=-1"是"直線(xiàn)li：mx-2y-1=0和直線(xiàn)I?：x-（m-l）y+2=0相互

平行”的條件.（用“充分不必要"，"必要不充分條件"，"充要"，"既不充

分也不必要"填空）

7.（5分）函數(shù)y=x2-x-lnx在區(qū)間［1,3］上的最小值等于.

8.（5分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,底面ABCD為正方形，

則下列結(jié)論：

①AD〃平面PBC；

②平面PAC_L平面PBD；

③平面PAB_L平面PAC；

④平面PAD_L平面PDC.

其中正確的結(jié)論序號(hào)是.

9.（5分）已知圓C：x2+y2-4x-2y+l=0上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x+ay-1=0

對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)A（-4,a）作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B,則|AB|=.

10.（5分）已知圓柱甲的底面半徑R等于圓錐乙的底面直徑，若圓柱甲的高為R,

圓錐乙的側(cè)面積為立冗R2,則圓柱甲和圓錐乙的體積之比為

4

11.(5分)已知函數(shù)f(x)=三叁在區(qū)間(m，m+2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的

ex

取值范圍為.

12.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線(xiàn)I：ax+y+2=0和點(diǎn)A(-3,0),

若直線(xiàn)I上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足MA=2M0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

13.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線(xiàn)y=2x+b是曲線(xiàn)y=2alnx的切線(xiàn)，則

當(dāng)a>0時(shí)，實(shí)數(shù)b的最小值是.

22

14.(5分)已知F是橢圓以三+3fl(a〉b>0)的左焦點(diǎn)，A,B為橢圓C的

a2b2

左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF±x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與線(xiàn)段PF交與點(diǎn)M,

與y軸交與點(diǎn)E,直線(xiàn)BM與y軸交于點(diǎn)N,若NE=2ON,則橢圓C的離心率

為.

二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)

算過(guò)程.

15.(14分)已知圓M的圓心在直線(xiàn)y=-x上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),B(1,2).

(1)求圓M的方程；

(2)直線(xiàn)I與圓M相切，且I在y軸上的截距是在x軸上截距的兩倍，求直線(xiàn)I

的方程.

16.(14分)如圖，四棱柱ABCD-ABC。的底面ABCD為矩形，平面CDD?

，平面ABCD,E,F分別是CD,AB的中點(diǎn)，求證：

(1)AD1CD；

(2)EF〃平面ADDiAi.

li

17.(14分)從旅游景點(diǎn)A到B有一條100km的水路，某輪船公司開(kāi)設(shè)一個(gè)游

輪觀(guān)光項(xiàng)目.已知游輪每小時(shí)使用燃料費(fèi)用與速度的立方成正比例，其他費(fèi)用為

每小時(shí)3240元，游輪最大時(shí)速為50km/h,當(dāng)游輪的速度為10km/h時(shí)，燃料費(fèi)

用為每小時(shí)60元，設(shè)游輪的航速為vkm/h,游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)

用為S元.

(1)將游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)用S表示為游輪的航速v的函數(shù)S=f

(v)；

(2)該游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)用最少時(shí)，游輪的航速為多少，并求

出最小總費(fèi)用.

22

18.(16分)已知橢圓C：三一+工=1(a>b>0)上的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,

2,2

ab

%為左焦點(diǎn),且|AF1|=2,又橢圓C過(guò)點(diǎn)(0,26).

(I)求橢圓C的方程；

(II)點(diǎn)P和Q分別在橢圓C和圓x2+y2=16上(點(diǎn)A,B除外)，設(shè)直線(xiàn)PB,QB

的斜率分別為kI，k2,若心表2,證明：A,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn).

19.(16分)已知函數(shù)f(x)=a(x-l)-Inx(a為實(shí)數(shù))，g(x)=x-1,h(x)

_fg(x),f(xXg(x)

f(x),f(x)>g(x)

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)f(x)=a(x-1)-Inx在點(diǎn)(1,f(D)處的切線(xiàn)方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(3)若h(x)=f(x),求實(shí)數(shù)a的值.

20.(16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓0：x2+y2=l,P為直線(xiàn)I：x=t(l<t

<2)上一點(diǎn).

(1)已知t=a.

3

①若點(diǎn)P在第一象限，且。P=互，求過(guò)點(diǎn)P的圓。的切線(xiàn)方程；

3

②若存在過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)交圓。于點(diǎn)A,B,且B恰為線(xiàn)段AP的中點(diǎn)，求點(diǎn)P縱

坐標(biāo)的取值范圍；

(2)設(shè)直線(xiàn)I與x軸交于點(diǎn)M,線(xiàn)段0M的中點(diǎn)為Q,R為圓。上一點(diǎn)，且RM=1,

直線(xiàn)RM與圓。交于另一點(diǎn)N,求線(xiàn)段NQ長(zhǎng)的最小值.

第二卷(附加題.每題10分。)

21.求曲線(xiàn)f(x)=工■在x=2處的切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo).

2x

e

22.已知點(diǎn)P是圓x?+y2=i上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(-l,2),Q是線(xiàn)段PM延長(zhǎng)

線(xiàn)上的一點(diǎn)，且而=2而，求點(diǎn)Q的軌跡方程.

23.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,AD_LAB,AB〃DC,AD=DC=AP=2,

AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(I)證明：BE±DC；

(II)求直線(xiàn)BE與平面PBD所成角的正弦值；

(III)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿(mǎn)足BF_LAC,求二面角F-AB-P的余弦值.

24.如圖，已知拋物線(xiàn)y2=4x,過(guò)點(diǎn)P(2,0)作斜率分別為k】，k2的兩條直線(xiàn),

與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)A、B和C、D,且M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)

(1)若ki+k2=0,AP=2PB，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；

(2)若%?1<2=-1,求△PMN面積的最小值.

2016-2017學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1.（5分）命題叼xGR,x2>9"的否定是VxGR,x?W9.

【解答】解：命題省xWR,x2>9"的否定是命題"VxGR,X2<9",

故答案為：VxCR,X2^9.

2.（5分）拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)e，Q）_.

【解答】解：拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且p=l,，匹［，故焦點(diǎn)

22

坐標(biāo)為上,0）,

2

故答案為：（［，0）.

2

3.（5分）過(guò)點(diǎn)P（0,1）,且與直線(xiàn)2x+3y-4=0垂直的直線(xiàn)方程為3x-與+2=0.

【解答】解：?.?直線(xiàn)2x+3y-4=0的斜率k=-2,

3

與直線(xiàn)2x+3y-4=0垂直的直線(xiàn)的斜率為3.

2

則點(diǎn)P（0,1）,且與直線(xiàn)2x+3y-4=0垂直的直線(xiàn)方程為y-l=3x（x-0）,

2

整理得:3x-2y+2=0.

故答案為：3x-2y+2=0.

4.（5分）直線(xiàn)3x-4y-12=0與兩條坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則△ABO的面積等于6.

【解答】解：直線(xiàn)3x-4y-12=0與兩條坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（4,0）,B（0,-

3）,

SAABO=yX4X3=6.

故答案為：6.

5.（5分）函數(shù)y=x3-2x?+x的單調(diào)遞減區(qū)間為（工，1）.

【解答】解:y,=3x2-4x+l=（3x-1）（x-1）>

令y'VO，解得：1<X<1,

3

故函數(shù)在（上，1）遞減，

3

故答案為：（2,1）.

3

6.（5分）"m=-1"是"直線(xiàn)li：mx-2y-1=0和直線(xiàn)I?：x-（m-l）y+2=0相互

平行”的充分不必要條件.（用“充分不必要"，"必要不充分條件"，"充要"，"既

不充分也不必要"填空）

【解答】解：若直線(xiàn)li：mx-2y-1=0和直線(xiàn)12：x-（m-1）y+2=0相互平行，

貝ijm（m-1）=2,解得：m=2或m=-1,

故m=-1是直線(xiàn)平行的充分不必要條件，

故答案為：充分不必要.

7.（5分）函數(shù)y=x2-x-Inx在區(qū)間［1,3］上的最小值等于0.

［解答］解：y=2x-1-

XX

由xw［l,3］,

故『20在［1,3］恒成立，

故函數(shù)在［1,3］遞增,

x=l時(shí)，函數(shù)取最小值，

函數(shù)的最小值是0，

故答案為：0.

8.（5分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,底面ABCD為正方形，

則下列結(jié)論：

①AD〃平面PBC；

②平面PAC_L平面PBD；

③平面PAB，平面PAC；

④平面PADJ_平面PDC.

其中正確的結(jié)論序號(hào)是①②④

【解答】解：①由底面為正方形，可得AD〃BC,

ADQ平面PBC,BCu平面PBC,

可得AD〃平面PBC；

②在正方形ABCD中，AC±BD,

PA,底面ABCD,可得PALBD,

PAAAC=A,可得BD_L平面PAC,

BDc平面PBD,即有平面PAC_L平面PBD；

③PA,底面ABCD,可得PA_LAB,PA±AC,

可得NBAC為二面角B-PA-C的平面角，

顯然NBAC=45。，故平面PABJ_平面PAC不成立;

④在正方形ABCD中，可得CDJ_AD,

PAL底面ABCD,可得PALCD,

PAAAD=A,可得CD,平面PAD,

CDc平面PCD,即有平面PADJ_平面PDC.

綜上可得，①②④正確.

故答案為：①②④.

9.(5分)已知圓C：x2+y2-4x-2y+l=0上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x+ay-1=0

對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)A(-4,a)作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B,則IABI=6.

【解答】解:.??圓C：x2+y2-4x-2y+l=0,即(x-2)2+(y-1)2=4,

表示以C(2,1)為圓心、半徑等于2的圓.

由題意可得，直線(xiàn)I：x+ay-1=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心(2,1),

故有2+a-1=0,.\a=-1,點(diǎn)A(-4,-1).

AC](一4一2)2+(-IT)2=2^/Y5,CB=R=2,

???切線(xiàn)的長(zhǎng)IAB=A/40-4=6.

故答案為6.

10.(5分)已知圓柱甲的底面半徑R等于圓錐乙的底面直徑，若圓柱甲的高為R,

圓錐乙的側(cè)面積為&冗Ri則圓柱甲和圓錐乙的體積之比為24

4

【解答】解：???圓柱甲的底面半徑R等于圓錐乙的底面直徑，

圓柱甲的高為R,圓錐乙的側(cè)面積為返巴歐，

4

?,皮兀RI=&；R，解得|=亨尺，

二圓錐乙的高h(yuǎn)=J(半R)2_(QR)吟,

二圓柱甲和圓錐乙的體積之比為：

江下R2?R_24

府白尹亨?

故答案為:24.

11.(5分)已知函數(shù)￡6)=生/在區(qū)間(m，m+2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的

ex

取值范圍為[-1,1].

【解答】解：f'(x)=區(qū)2必皿，

ex

令r(x)<0,解得：-l<x<3,

故f(x)在(-1,3)遞減，

故(m,m+2)c(-1,3),

故，,解得：-iWmWl,

[m+243

故答案為：[-1，1].

12.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線(xiàn)I：ax+y+2=0和點(diǎn)A(-3,0),

若直線(xiàn)I上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足MA=2M0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為aWO,或.

--------------------

【解答】解：取M(x,-2-ax),

?.?直線(xiàn)I上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足MA=2MO,

.,Y(X+3)2+(-2-ax)'[{x'+QZ-ax)乙

化為:(a2+l)x2+(4a-2)x+l=0,此方程有實(shí)數(shù)根，

/.△=(4a-2)2-4(a2+l)20,

化為3a2-4a，0,

解得aWO,或a》a.

3

故答案為：aWO,或

3

13.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線(xiàn)y=2x+b是曲線(xiàn)y=2alnx的切線(xiàn)，則

當(dāng)a>0時(shí)，實(shí)數(shù)b的最小值是-2.

【解答】解：y=2alnx的導(dǎo)數(shù)為『=互，

X

由于直線(xiàn)y=2x+b是曲線(xiàn)y=2alnx的切線(xiàn)，

則設(shè)切點(diǎn)為(m,n),

貝ij2=區(qū)>,n=2m+b,n=2alnm,

in

即有b=2alna-2a(a>0),

b'=2(lna+1)-2=2lna,

當(dāng)a>l時(shí)，b，>0,函數(shù)b遞增，

當(dāng)OVaVl時(shí)，b，VO,函數(shù)b遞減，即有a=l為極小值點(diǎn),

也為最小值點(diǎn)，且最小值為:2lnl-2=-2.

故答案為：-2.

22

14.(5分)已知F是橢圓C：與+0i(a〉b〉O)的左焦點(diǎn)，A,B為橢圓C的

a2b2

左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF，x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與線(xiàn)段PF交與點(diǎn)M,

與y軸交與點(diǎn)E,直線(xiàn)BM與y軸交于點(diǎn)N,若NE=2ON,則橢圓C的離心率為

1

【解答】解：由題意可設(shè)F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),

I22

令x=-c,代入橢圓方程可得y=±b.1+

Va2a

2

可得P(-c,士k"),

a

設(shè)直線(xiàn)AE的方程為y=k(x+a),

令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka),

???直線(xiàn)BM與y軸交于點(diǎn)N,NE=20N,

AN(0,包)，

3

由B,N,M二點(diǎn)共線(xiàn)，可得l<BN二kBM,

ka

即為—k(a-c),

-a_c-a

化簡(jiǎn)可得總?cè)齃,即為a=2c,

a+c3

可得e=-^l.

a2

二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)

算過(guò)程.

15.(14分)已知圓M的圓心在直線(xiàn)y=-x上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),B(1,2).

(1)求圓M的方程；

(2)直線(xiàn)I與圓M相切，且I在y軸上的截距是在x軸上截距的兩倍，求直線(xiàn)I

的方程.

【解答】解:(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),則(a+3)2+a=(a-1)2+(a-2)2,

解得a=-l,r=Vg,

...圓的方程為

M(x+1)2+(y-1)2=5,

(2)由題意，直線(xiàn)I不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)方程為三七1,即2x+y-2a=0,

?.?直線(xiàn)I與圓M相切，

.?12+產(chǎn)1=收,

a=2或-3,

二直線(xiàn)I的方程為2x+y-4=0或2x+y+6=0.

16.(14分)如圖，四棱柱ABCD-AiBiJDi的底面ABCD為矩形，平面CDD?

_L平面ABCD,E,F分別是CD,AB的中點(diǎn)，求證：

(1)AD±CD；

(2)EF〃平面ADDiAi.

/hJ

f/;二/th/

A/'//

//)/zI4

JL”

【解答】證明：(1)由底面ABCD為矩形可得ADLCD

又?.?平面GD1DC，平面ABCD,

平面CiDiDCC平面ABCD平面=CD,

.?.AD_L平面CiDiDC.

面

XVCDxcCiDiDC,

/.AD±CDi.

(2)設(shè)DDi中點(diǎn)為G,連結(jié)EG,AG.

VE,G分別為CD】，DDi的中點(diǎn)，

AEGCD,EG=1JCD.

2

在矩形ABCD中，

是AB的中點(diǎn)，

.?.AF=1JCD且AF〃CD,

2

，EG〃AF,且EG=AF.

???四邊形AFEG是平行四邊形，

，EF〃AG.

又,.，AGu平面ADDiAi，EF。平面ADDiAi，

；.EF〃平面ADDiAi.

珥

17.(14分)從旅游景點(diǎn)A到B有一條100km的水路，某輪船公司開(kāi)設(shè)一個(gè)游

輪觀(guān)光項(xiàng)目.已知游輪每小時(shí)使用燃料費(fèi)用與速度的立方成正比例，其他費(fèi)用為

每小時(shí)3240元，游輪最大時(shí)速為50km/h,當(dāng)游輪的速度為10km/h時(shí)，燃料費(fèi)

用為每小時(shí)60元，設(shè)游輪的航速為vkm/h,游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)

用為S元.

(1)將游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)用S表示為游輪的航速v的函數(shù)S=f

(v)；

(2)該游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)用最少時(shí)，游輪的航速為多少，并求

出最小總費(fèi)用.

【解答】解：(1)設(shè)游輪以每小時(shí)vkm/h的速度航行，游輪單程航行的總費(fèi)用

為f(v)元，

?.?游輪的燃料費(fèi)用每小時(shí)k?v3元，依題意k?103=60,則k=0.06,

323240QQ

.?.S=f(v)=o.06vX100.+3240X1Q^6V+(0<V^50)；

'VVV

(2)f(v)=12(」一27000),

v2

f(v)=0得,v=30,

當(dāng)0VvV30時(shí)，f(v)<0,此時(shí)f(v)單調(diào)遞減；

當(dāng)30<vV50時(shí)，f，(v)>0,此時(shí)f(v)單調(diào)遞增；

故當(dāng)v=30時(shí)，f(v)有極小值，也是最小值，f(30)=16200,

所以，輪船公司要獲得最大利潤(rùn)，游輪的航速應(yīng)為30km/h.

22

18.(16分)已知橢圓C：三一+口1(a>b>0)上的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,

2,2

ab

%為左焦點(diǎn)，且|AF1|=2,又橢圓C過(guò)點(diǎn)S,26).

(1)求橢圓C的方程；

(II)點(diǎn)P和Q分別在橢圓C和圓x2+y2=16上(點(diǎn)A,B除外),設(shè)直線(xiàn)PB,QB

的斜率分別為％,k2,若％=表2,證明：A，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn).

【解答】解：(I)由已知可得a-c=2,b=2對(duì)，又b2=a2-c2=12,

解得a=4.

22

故所求橢圓C的方程為三+'1.

1612

(II)由(I)知A(-4,0),B(4,0).設(shè)P(xi，yi),Q(x2,y2),

2

巧yi

??kp-k-+4-4-2

A1X[4X]-16

VP(xi，yi)在橢圓C上，

22

?X1Pl

=1,即V/EZ-"I'X」

1612

i2-^-2

.,,l*Xix3

又「酊爭(zhēng)2，

.*.kPAk2=-1.①

由已知點(diǎn)Q(x2,y2)在圓x2+y2=16上，AB為圓的直徑,

，QA1QB.

??kQA?k2=-1.(§)

由①②可得kpA二I<QA.

???直線(xiàn)PA,QA有共同點(diǎn)A,

AA,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn).

19.(16分)已知函數(shù)f(x)=a(x-l)-Inx(a為實(shí)數(shù))，g(x)=x-1,h(x)

_fg(x),f(x)<g(x)

f(x),f(x)>晨x)

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)f(x)=a(x-1)-Inx在點(diǎn)(1,f(D)處的切線(xiàn)方程;

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(3)若h(x)=f(x),求實(shí)數(shù)a的值.

z

【解答】解:(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=x-1-Inx,f(1)=0,f(x)=1-1,Af

x

(1)=0,

二函數(shù)f(x)=a(x-1)-Inx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為y=0；

(2)f(x)=a-A.(x>0),

x

aWO,f(x)<0,函數(shù)在(0,+°°)上單調(diào)遞減；

a>0,由f，(x)>0,解得x>L,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(!，+8),

aa

f(x)VO,0<x<l,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)；

aa

(3)令G(x)=f(x)-g(x)=(a-1)(x-1)-Inx,定義域(0,+°°),G

(1)=0.

Vh(x)=f(x),/.x>0,G(x)20成立;

aWl,G'(x)=a-1-L<0,G(x)在(0,+°0)單調(diào)遞減，

X

AG(2)<G(1)=0,此時(shí)題設(shè)不成立；

a>l時(shí)，G(x)在(0,J_)上單調(diào)遞減，(」_,+8)上單調(diào)遞增，

a-1a-1

AG(x)min=2-a+ln(a-1),

：.2-a+ln(a-1)NO恒成立，

☆t>0,則1-t+lnteO恒成立，

令H(t)=1-t+lnt(t>0),則H(1)=0,H,(t)=上1,

t

/.H(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，(1,+8)上單調(diào)遞減，

AH(t)max=H(1)=0,

AH(t)WO(t=l時(shí)取等號(hào))，

t>0時(shí),1-t+lnt=O的解為t=l,即a=2.

20.(16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓0：x2+y2=l-P為直線(xiàn)I：x=t(l<t

<2)上一點(diǎn).

(1)已知t=&.

3

①若點(diǎn)P在第一象限，且0P=§,求過(guò)點(diǎn)P的圓0的切線(xiàn)方程；

3

②若存在過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)交圓。于點(diǎn)A,B,且B恰為線(xiàn)段AP的中點(diǎn)，求點(diǎn)P縱

坐標(biāo)的取值范圍；

(2)設(shè)直線(xiàn)I與x軸交于點(diǎn)M,線(xiàn)段0M的中點(diǎn)為Q,R為圓。上一點(diǎn)，且RM=1,

直線(xiàn)RM與圓0交于另一點(diǎn)N,求線(xiàn)段NQ長(zhǎng)的最小值.

【解答】解：(1)①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(&,y。)，因?yàn)?P=$,所以(&)2+yo2=

333

(1)2,解得y0=±L

3

又點(diǎn)P在第一象限，所以y0=l,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9，1),易知過(guò)點(diǎn)P的圓。

3

的切線(xiàn)的斜率必存在，可設(shè)切線(xiàn)的斜率為k,

11-^k|

則切線(xiàn)為y-l=k(x-&),即kx-y+1-芻k=0,于是有一^2=-=1,解得k=0或

33VmJ

k=21.

7

因此過(guò)點(diǎn)P的圓0的切線(xiàn)方程為：y=l或24x-7y-25=0.

,4

②設(shè)A(x,y),則B(」，二區(qū))，因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在圓。上，所以有

22

2

該方程組有解，即圓x2+y2=i與圓(x+1)+(y+y0)2=4有公共點(diǎn).

_3_

于是2W3,解得-運(yùn)WyoW運(yùn)，即點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是［-

V9y033

V65痘］

-------，-------」.

33

22

工2+y2=12

(2)設(shè)R(X2，丫2)，則＜解得X2=X,y.X-L.

222y24

(x2-t)+y2=l

直線(xiàn)RM的方程為：-21(x-t).

t

A~y—i2s

由2y9可得N點(diǎn)橫坐標(biāo)為-t兀

y=—=(x-t)2

所以NQ=J丫)2t4Tt2+4,所以當(dāng)節(jié)，即t哼時(shí)，

NQ最小為且.

8

第二卷(附加題.每題10分。)

21.求曲線(xiàn)f(x)=」■在x=2處的切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo).

e2x~2xe2x_l-2x

【解答】解：f(x)=標(biāo)的導(dǎo)數(shù)為f'3=

(e2x)2~~

可得曲線(xiàn)f(x)=二_在x=2處的切線(xiàn)斜率為f，(2)=二乏，

e2x4e

切點(diǎn)為(2,烏)，

4

e

則曲線(xiàn)f(x)=」_在x=2處的切線(xiàn)方程為(X-2),

2x44

eee

可令y=0,則x=&.

3

即有切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(&，0).

3

22.已知點(diǎn)P是圓x2+y2=i上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(-l,2),Q是線(xiàn)段PM延長(zhǎng)

線(xiàn)上的一點(diǎn)，且而=2而，求點(diǎn)Q的軌跡方程.

【解答】解：設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),Q(a,b),則

;而=2而，定點(diǎn)M(-1,2),

.f-l-x=2(a+1)

'12-7=2(b-2)

/.x=-2a-3,y=-2b+6

???Q是圓x2+y2=l上的動(dòng)點(diǎn)

/.x2+y2=l

:.(-2a-3)2+(-2b+6)2=1

即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是(x+3)2+(y-3)2=1.

24

23.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA,底面ABCD,AD_LAB,AB〃DC,AD=DC=AP=2,

AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(I)證明：BE1DC；

(ID求直線(xiàn)BE與平面PBD所成角的正弦值；

(HI)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿(mǎn)足BFLAC,求二面角F-AB-P的余弦值.

【解答】證明：⑴?..PA，底面ABCD,AD1AB,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

VAD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

AB(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)

BE=(0,1,1),DC=(2,0,0)

VBE?DC=0,

ABE±DC；

(II)VBD=(-1，2,0),PB=(1,0,-2),

設(shè)平面PBD的法向量能(x,y,z