與圓有關(guān)的最值問題 教學(xué)設(shè)計(jì)

與圓有關(guān)的最值問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：認(rèn)識(shí)圓的代數(shù)特征和幾何特征，能利用這些特征解決一些與圓有關(guān)的最值問題，提高直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)．二、教學(xué)過程（一）認(rèn)識(shí)圓：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡．在平面直角坐標(biāo)系下，以C（a,b）為圓心，半徑為R的圓C的方程是：（二）解題思路與策略與圓有關(guān)的最值問題主要涉及一些幾何量，例如距離、面積、角度等；圓的核心要素是圓心、半徑．通常利用圓的對稱性這個(gè)特征解決問題．我們應(yīng)該從哪里開始研究呢？可以從幾何元素中的點(diǎn)、線的關(guān)系入手，得到以下的研究思路：1.點(diǎn)點(diǎn)關(guān)系；2.點(diǎn)線關(guān)系．（三）例題講解例題、已知圓C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；Q是圓C上的一點(diǎn)．則｜OQ｜的最大值為____，最小值為_______．這是點(diǎn)點(diǎn)關(guān)系問題．解：如圖，Q在圓上運(yùn)動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OQ所在直線經(jīng)過圓心C時(shí)，Q的兩個(gè)不同位置分別使｜OQ｜取到最大值和最小值．圓的半徑R為2，｜OQ｜最大值為｜OC｜+R=3+2=5,｜OQ｜最小值為｜OC｜-R=3-2=1．答案：5，1．本例的第（1）問研究了點(diǎn)點(diǎn)關(guān)系，是圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓外的定點(diǎn)的距離的最值問題．改變本例（1）的條件，你還能提出什么問題？問題變式1：求圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓內(nèi)的一定點(diǎn)的距離的最值問題；（“外”改為“內(nèi)”）問題變式2：求圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓外的定直線的距離的最值問題；（“定點(diǎn)”改為“定直線”）這就是接下來要研究的點(diǎn)線關(guān)系．（2）若直線m:3x-4y+12=0，則Q到直線m的距離的最小值是______．解：如圖，直線在圓外，過Q作直線m的垂線，垂足為P，則Q到直線m的距離為｜PQ｜．（2）若直線m:3x-4y+12=0，則Q到直線m的距離的最小值是______．解：當(dāng)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，PQ所以直線經(jīng)過圓心C且Q位于P、C之間時(shí)，｜PQ｜有最小值．因?yàn)镃到直線m的距離d=,所以｜PQ｜的最小值是d-R=．你會(huì)求｜PQ｜的最大值嗎？｜PQ｜的最大值是d+R=．第（2）小題，求的是圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最值問題，本質(zhì)上是垂線段的長度最值問題；如果讓兩個(gè)點(diǎn)都動(dòng)起來，就得到以下的第（3）題．（3）若P在直線m:3x-4y+12=0上，則|PQ|的最小值是______．分析：P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，如何解決雙動(dòng)點(diǎn)問題呢？思路是：先暫時(shí)讓其中一個(gè)點(diǎn)固定下來，考慮另一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況，把雙動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題來研究．方法一：P固定，Q動(dòng)；Q運(yùn)動(dòng)到哪，｜PQ｜有最小值呢？我們發(fā)現(xiàn)，PQ所在直線經(jīng)過圓心，并且Q在P和C之間時(shí)，|PQ|有最小值；那么無論P(yáng)在什么位置，|PQ|的最小值必等于|PC|-R=|PC|-2．接下來只要求|PC|的最小值就行．那么P在什么位置時(shí)，PC有最小值；由前面所學(xué)可知，這已經(jīng)不難了當(dāng)PC垂直于直線m時(shí)，|PC|有最小值d=．從而|PQ|的最小值為．答案：．方法二：Q固定，P動(dòng)；可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)PQ垂直于直線m時(shí)，PQ有最小值；此最小值就是點(diǎn)Q到直線m的距離．可以發(fā)現(xiàn)，PQ最小值就是點(diǎn)Q到直線m的距離．現(xiàn)在讓Q運(yùn)動(dòng)起來，當(dāng)PQ過圓心且Q位于P、C之間時(shí)，PQ取到最小值．通過本例題（3）的學(xué)習(xí)，有以下幾點(diǎn)啟發(fā)：雙動(dòng)點(diǎn)的距離問題，可以通過暫時(shí)固定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)距離問題；單動(dòng)點(diǎn)距離問題，又有以下兩種類型動(dòng)點(diǎn)在直線上，定點(diǎn)在直線外，則這兩點(diǎn)的距離最小值是定點(diǎn)到直線的距離；動(dòng)點(diǎn)在圓上，定點(diǎn)在圓外，則這兩點(diǎn)的距離最小值為定點(diǎn)到圓心的距離減去半徑．變式訓(xùn)練：已知圓C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；Q是圓C上的一點(diǎn)．P(１,3),H(0,t),當(dāng)|PH|+|HQ|取最小值時(shí)，求t的值．分析：H、Q都是動(dòng)點(diǎn)，以屬于雙動(dòng)點(diǎn)問題；先讓哪一個(gè)動(dòng)點(diǎn)固定呢？其實(shí)讓H或者Q固定都可以解決.解：先固定H，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，|PH|是常數(shù)，|PH|+|HQ|最小值為|PH|+|HC|-2；在這種規(guī)律下，再讓點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)起來，問題轉(zhuǎn)化為H在哪個(gè)位置，|PH|+|HC|有最小值的問題；這個(gè)問題就是指，在y軸上找一點(diǎn)H，使到|PH|+|HC|取最小值的問題，其中點(diǎn)P，C都是定點(diǎn)．這時(shí)，就可以用“將軍飲馬”來解決，取P點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)G(-1,3),則|PH|+|HC|=|GH|+|HC|，當(dāng)且僅當(dāng)G、H、C三點(diǎn)共線時(shí)，|GH|+|HC|有最小值，此時(shí)，由G、C的坐標(biāo)可得直線GC的方程：GC與y軸的交點(diǎn)為（０，），所以，t=.通過第（3）題的學(xué)習(xí)，你還能提出什么新問題嗎？例如由P所作的圓C的兩條切線所引起的第（4）小題：（4）過P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B,則四邊形PACB面積的最小值______．分析：首先，考慮如何表示四邊形PACB的面積，它可以表示為兩個(gè)三角形的面積之和；其次，，而|AC|等于半徑2，問題轉(zhuǎn)化為求PA的長的最小值問題．解：連接PC，則△PAC≌△PBC；因?yàn)椤螾AC為直角，所以|PC|最小值為．代入上式得，四邊形PACB的面積的最小值為本例中，通過把四邊形的面積問題，轉(zhuǎn)化為最基本的三角形面積問題，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為切線長問題，利用勾股定理，最后問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題．如果讓P固定下來，Q在圓上運(yùn)動(dòng)，你能提出除距離、面積以外的其它問題嗎？（5）若P（0，3），則當(dāng)∠OPQ取最大值和最小值時(shí)，PQ的斜率分別是____，______．分析：由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)PQ是圓C的切線時(shí)，∠OPQ取到最值．解：設(shè)直線PQ的方程為y=kx+3,當(dāng)直線PQ與圓C相切時(shí)，∠OPQ取到最值．．答案：，．除距離、面積、角度這些明顯幾何意義的問題外，有時(shí)也會(huì)碰到以下問題：(6)設(shè)Q（x,y）,則的最大值和最小值分別是_______，________．分析：與前面的題不同，本題不是求距離、面積、角度等幾何量，該如何解決呢？其實(shí)，所求式的結(jié)構(gòu)就是我們學(xué)過的斜率公式；因此，令k=,則k=，表示的是圓上的點(diǎn)Q（x,y）和點(diǎn)H（-2，-2）連線的斜率．由圖可知，當(dāng)直線HQ與圓C相切時(shí)，得到的兩條切線對應(yīng)的斜率分別為k的最大值和最小值．解：令k=,則k=，表示的是圓上的點(diǎn)Q（x,y）和點(diǎn)H（-2，-2）連線的斜率．直線HQ的方程為：y+2=k(x+2)與圓C相切，則圓心C到直線HQ的距離等于半徑2，即．答案:，0．思考：如果把題目改為求該怎么辦呢？可看作Q到原點(diǎn)O的距離，不難解決；難在y-x的處理．它是關(guān)于x,y的二元一次式，聯(lián)想到關(guān)于x,y的二元一次方程表示直線，設(shè)所求為b,則b=y?x，得到y(tǒng)b理解為當(dāng)直線l:y=顯然當(dāng)圓與直線相切時(shí)，直線l在y軸上的截距b取到最大值與最小值，如圖直線l2對應(yīng)的b2為最大值，直線l1對應(yīng)的b1為最小值，由圓心C到直線答案：，小結(jié)一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)(a，b)的距離平方的最值問題．賦給一些代數(shù)式子幾何意義，可以方便我們用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題．課堂總結(jié)：處理與圓有關(guān)的最值問題，主要是利用數(shù)形結(jié)合，把問題轉(zhuǎn)化為有明顯幾何意義的問題進(jìn)行解決；幾何方式呈現(xiàn)的問題：幾何方式呈現(xiàn)的問題：距離、面積、角度問題利用數(shù)形結(jié)合思想解決的問題代數(shù)方式呈現(xiàn)的問題斜率、截距、距離（平方）賦代數(shù)式子幾何意義【鞏固練習(xí)】1．點(diǎn)M(0,1)與圓x2+A．2 B．2 C．2+1 D．答案D解析圓x2+y圓心為C(1,0)，半徑為r=1所以|MC|=(1?0)所以點(diǎn)M與圓上的動(dòng)點(diǎn)P之間的最近距離為MC?r=故選：D．2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為⊙C：x?a2+y?12=2(a>0)上的動(dòng)點(diǎn)，直線l：x+y?1=0，若P到lA．2 B．4 C．6 D．8答案C解析圓⊙C：x?a2+y?12=2(a>0)圓心到直線l：x+y?1=0的距離d=|a+1?1|要使P到l的最小距離為22，則|a+1?1|2=3又a>0，∴a=6．故選：C．3．已知點(diǎn)A(?2,0),B(0,2)，若點(diǎn)P在圓x?32+y+12=2答案4解析∵點(diǎn)A(?2,0),B(0,2)，若點(diǎn)P在圓x?32∴AB的直線方程為x?2+y圓心C(3,－1)到直線AB的距離為d=|3+1+2|則△ABP面積的最小值為12故答案為：4．4．由直線上的一點(diǎn)向圓C：引切線，則切線長的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】在直線上取一點(diǎn)P，過P向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為A．連接CA．在中，．要使最小，則應(yīng)最小．又當(dāng)PC與直線垂直時(shí)，最小，其最小值為．故的最小值為．故選：A5．(多選)若實(shí)數(shù)x,y滿足條件