高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題03 立體幾何中的夾角問題(原卷版)

第三篇立體幾何專題03立體幾何中的夾角問題常見考點(diǎn)考點(diǎn)一線線角典例1．如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，，.(1)證明：；(2)若平面平面ACE，求異面直線AE與BF所成角的余弦值.變式1-1．如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.(1)證明：平面平面；(2)為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求異面直線與所成的角的余弦.變式1-2．如圖，在直三棱柱中，，，，，是棱上一點(diǎn)．(1)若，求；(2)在（1）的條件下，求直線與所成角的余弦值．變式1-3．如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線和所成角的大小.考點(diǎn)二線面角典例2．如圖，在梯形ABCD中，，，，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且，G是BC的中點(diǎn)，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF．(1)求AE為何值時(shí)，；(2)在（1）的條件下，求BD與平面ABF所成角的正弦值．變式2-1．如圖所示的直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)G為棱上的動(dòng)點(diǎn)，，為上底面的中心，平面EFG.(1)求CG的長(zhǎng)度；(2)求直線與平面EFG所成的角的正弦值.變式2-2．如圖，三棱錐P－ABC中，為正三角形，側(cè)面PAB與底面ABC所成的二面角為150°，AB＝AC＝2，，E，M，N分別是線段AB，PB和BC的中點(diǎn).(1)證明：平面PEN⊥平面ABC；(2)求直線PN與平面MAC所成角的正弦值.變式2-3．如圖，在直三棱柱中，，，.(1)求證：；(2)若點(diǎn)N在線段上，滿足平面ABC，求直線與平面所成角的正弦值.考點(diǎn)三二面角典例3．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，BC的中點(diǎn)，G為線段CF的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．變式3-1．如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結(jié)AB，AC，M為AC的中點(diǎn).(1)證明：平面ABC；(2)求二面角的余弦值.變式3-2．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M是棱PB的中點(diǎn).(1)證明：平面平面PCD；(2)求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值.變式3-3．如圖，三棱錐中，，，，，，點(diǎn)是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上，且.(1)證明：平面CMN；(2)求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.鞏固練習(xí)練習(xí)一線線角1．如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值.2．如圖，直棱柱在底面中，，棱分別為的中點(diǎn).（1）求異面直線?成角的余弦值；（2）求證：平面.3．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：；（3）求異面直線所成角的余弦值.4．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，BD，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求EF與CG所成角的余弦值；（3）求CE的長(zhǎng).練習(xí)二線面角5．如圖，已知三棱柱中，側(cè)面底面為等腰直角三角形，．(1)若O為的中點(diǎn)，求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．6．如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形中，，，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．7．已知平行四邊形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，沿將翻折得，使得，且點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.8．如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD．(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值．練習(xí)三二面角9．如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.10．如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，為等邊三角形，，點(diǎn)S在平面ABCD內(nèi)的射影O為線段AD的中點(diǎn).(1)求證：平面平面SBC；(2)已知點(diǎn)E在線段SB上，，求二面角的余弦值.11．如圖，在直棱柱中，，，，分