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2023屆江蘇省揚(yáng)州市安宜高中、汜水高中聯(lián)考高三年級(jí)下學(xué)期第一次統(tǒng)練注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某個(gè)小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1402.甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組,,可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組,則兩人參加同一個(gè)小組的概率為()A.B.C.D.3.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.6.設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.27.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.38.己知集合,,則()A. B. C. D.9.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,10.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.-60 B.240 C.-80 D.18011.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下:過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點(diǎn),點(diǎn)到,的距離都是3,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn),滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等,則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.12.若集合,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的焦距為,若過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為,則雙曲線的離心率為____________.14.設(shè)平面向量與的夾角為,且,,則的取值范圍為______.15.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.16.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn).(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;(2)點(diǎn)N在線段AD上,且AN=λ,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求λ的值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.19.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).求橢圓的方程;已知是橢圓的內(nèi)接三角形,①若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),原點(diǎn)為的垂心,求線段的長(zhǎng);②若原點(diǎn)為的重心,求原點(diǎn)到直線距離的最小值.20.(12分)已知點(diǎn),且,滿足條件的點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線,直線與曲線相交于兩點(diǎn),直線與軸分別交于兩點(diǎn),使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo),某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花,為了評(píng)價(jià)該品種的棉花質(zhì)量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機(jī)抽取21根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:(記纖維長(zhǎng)度不低于311的為“長(zhǎng)纖維”,其余為“短纖維”)纖維長(zhǎng)度甲地(根數(shù))34454乙地(根數(shù))112116(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)1.125的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)附:(1);(2)臨界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)現(xiàn)從上述41根纖維中,按纖維長(zhǎng)度是否為“長(zhǎng)纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測(cè),在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.22.(10分)在數(shù)列中,已知,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過(guò)15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過(guò)15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C2.A【解析】依題意,基本事件的總數(shù)有種,兩個(gè)人參加同一個(gè)小組,方法數(shù)有種,故概率為.3.B【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為:,位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.5.B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.6.B【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件,表示的可行域,如圖,由可得,將變形為,平移直線,由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大,最大值為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中,利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.7.D【解析】
在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,又,所以公差,所以,即,因?yàn)楹瘮?shù),在時(shí),單調(diào)遞減,且;在時(shí),單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.8.C【解析】
先化簡(jiǎn),再求.【詳解】因?yàn)?,又因?yàn)?,所以,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.10.D【解析】
求的展開式中的常數(shù)項(xiàng),可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng),再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項(xiàng)為,中項(xiàng)為,所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,考查學(xué)生計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程,得到,進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離,求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值.設(shè),則,化簡(jiǎn)得:,則,解得:,即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.12.D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關(guān)系,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為,過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn),則,,由已知,,即,所以,離心率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式,是一道容易題.14.【解析】
根據(jù)已知條件計(jì)算出,結(jié)合得出,利用基本不等式可得出的取值范圍,利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍,進(jìn)而可得出的取值范圍.【詳解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍,考查計(jì)算能力,屬于中等題.15.【解析】由圖可知,當(dāng)直線y=kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時(shí),y=kx與y=f(x)的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn),即方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根.16.【解析】
由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1).(2)1【解析】
(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.(2,由AN=λ,設(shè)N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一個(gè)法向量,利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,由|cos〈,〉|===求解.【詳解】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,且AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因?yàn)椤螧AD=90°,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn),所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為.(2)因?yàn)锳N=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).設(shè)平面PBC的法向量為=(x,y,z),則即令x=2,解得y=0,z=1,所以=(2,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量.因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為,所以|cos〈,〉|===,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角,線面角的求法及應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18.(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時(shí),化為,當(dāng)時(shí),不等式化為,無(wú)解;當(dāng)時(shí),不等式化為,解得;當(dāng)時(shí),不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為19.;①;②.【解析】
根據(jù)題意列出方程組求解即可;①由原點(diǎn)為的垂心可得,軸,設(shè),則,,根據(jù)求出線段的長(zhǎng);②設(shè)中點(diǎn)為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為的重心,則,設(shè):,,,則,當(dāng)斜率不存在時(shí),則到直線的距離為1,,由,則,,,得出,根據(jù)求解即可.【詳解】解:設(shè)焦距為,由題意知:,因此,橢圓的方程為:;①由題意知:,故軸,設(shè),則,,,解得:或,,不重合,故,,故;②設(shè)中點(diǎn)為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為的重心,則,當(dāng)斜率不存在時(shí),則到直線的距離為1;設(shè):,,,則,,則,則:,,代入式子得:,設(shè)到直線的距離為,則時(shí),;綜上,原點(diǎn)到直線距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的知識(shí)點(diǎn),結(jié)合運(yùn)用向量,韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離的知識(shí),屬于難題.20.(1)(2)存在,或.【解析】
(1)由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值,滿足橢圓定義,用定義可解曲線的方程.(2)先討論斜率不存在情況是否符合題意,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線點(diǎn)斜式方程,由,可得,再直線與橢圓聯(lián)解,利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解:設(shè),由,,可得,即為,由,可得的軌跡是以為焦點(diǎn),且的橢圓,由,可得,可得曲線的方程為;假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線l符合題意.當(dāng)直線的斜率不存在,設(shè)方程為,可得為短軸的兩個(gè)端點(diǎn),不成立;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,由,可得,即,可得,化為,由可得,由在橢圓內(nèi),可得直線與橢圓相交,,則化為,即為,解得,所以存在直線符合題意,且方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題.(1)定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程
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