安徽省合肥市一六八中學2024-2025學年高三上學期10月月考數學試題【含解析】

合肥一六八中學2025屆高三10月段考試卷數學考生注意：1．試卷分值：150分，考試時間：120分鐘．2．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．3．所有答案均要答在答題卡上，否則無效．考試結束后只交答題卡．一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.設，均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3已知數列an滿足，若，則（）A.2 B.?2 C. D.4.已知實數a，b，c滿足，則下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.5.已知，則的值為（）A. B. C. D.6.10名環(huán)衛(wèi)工人在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現將樹坑從（）到（10）依次編號，為使每名環(huán)衛(wèi)工人從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為（）A.（）和（10）B.（）和（）C.（）和（）D.（）和（）7設，，，則（）A.B.C.D.8.定義在上的奇函數，且對任意實數x都有，．若，則不等式的解集是（）A.B.C.D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.已知O為坐標原點，點，，，，則（）A. B.C. D.10.三次函數敘述正確的是（）A.當時，函數無極值點 B.函數的圖象關于點中心對稱C.過點的切線有兩條D.當時，函數有3個零點11.已知，對任意的，都存在，使得成立，則下列選項中，可能的值是（）A. B. C. D.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知復數與在復平面內用向量和表示（其中是虛數單位，O為坐標原點），則與夾角為______．13.函數在上的最大值為4，則m的取值范圍是______．14.設，則的最大值是______．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求角A；（2）已知，從下列三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，并求出的面積．條件①：；條件②：；條件③：AC邊上中線的長為．（注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．）16.某地區(qū)上年度天然氣價格為2.8元/，年用氣量為．本年度計劃將天然氣單價下調到2.55元/至2.75元/之間．經調查測算，用戶期望天然氣單價為2.4元/，下調單價后新增用氣量和實際單價與用戶的期望單價的差成反比（比例系數為k）．已知天然氣的成本價為2.3元/．（1）寫出本年度天然氣價格下調后燃氣公司的收益y（單位：元）關于實際單價x（單位：元/）的函數解析式；（收益=實際用氣量×（實際單價－成本價））（2）設，當天然氣單價最低定為多少時，仍可保證燃氣公司收益比上年度至少增加20%?17.已知函數(為常數，且，且是奇函數.（1）求的值；（2）若，都有成立，求實數的取值范圍.18.已知函數（1）討論函數的單調性；（2）求函數在處切線方程；（3）若有兩解，，且，求證：．19.（1）若干個正整數之和等于20，求這些正整數乘積的最大值．（2）①已知，都是正數，求證：；②若干個正實數之和等于20，求這些正實數乘積的最大值．參考答案與詳細解析一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.【答案】D【分析】先利用對數函數的性質，求得，再結合集合交集的運算，即可求解.【詳解】由不等式，可得，即，因為，可得，所以，則.故選:D．2.【答案】C【分析】根據題意，由平面向量的數量積的運算律代入計算，即可判斷.【詳解】∵“”，∴平方得，即，則，即，反之也成立．故選：C．3.【答案】C【分析】根據遞推式求出,,的值,可以發(fā)現數列為周期數列,從而推出的值.【詳解】因為,,所以,,,所以數列的周期為3,所以．故選:C．4.【答案】B【分析】由不等式的性質可得A錯誤，D錯誤；作差之后通分化簡可得B正確；舉反例令，，可得C錯誤；【詳解】對于A，因為，所以，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，當，，時，，，，故C錯誤；對于D，因為，，所以，故D錯誤．故選：B．5.【答案】A【分析】將已知等式平方后再結合同角的三角函數和二倍角的余弦公式化簡計算即可；【詳解】由兩邊平方得，所以，所以所以．故選：A．6.【答案】C【分析】設樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為，表示出各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和，再由二次函數的性質求出最小值時的取值即可；【詳解】設樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為，則各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和為：．若取最小值，則函數也取最小值，由二次函數的性質，可得函數的對稱軸為，又∵為正整數，故或．故選：C.7.【答案】A【分析】構造函數，利用導數求得的單調性和最小值，得到，得出；再構造函數，求得在上遞增，結合，得到，即可求解.【詳解】構造函數，則，令時，可得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以函數在處取最小值，所以，（且），可得，所以；再構造函數，可得，因為，可得，，所以，在上遞增，所以，可得，即，所以，綜上可得：.故選：A.8.【答案】C【分析】由是奇函數，可得是偶函數，得到，令，得到，得出在上單調遞增，再由，求得的周期為的周期函數，根據，得到，把不等式轉化為，結合函數的單調性，即可求解.【詳解】因為是奇函數，可得是偶函數，又因，所以，令，可得，所以在上單調遞增，因為且是奇函數，可得，則，所以的周期為的周期函數，因為，所以，則不等式，即為，即，又因為在上單調遞增，所以，解得，所以不等式的解集為．故選：C．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.【答案】AC【分析】由向量的模及數量積的坐標表示計算后即可判斷．【詳解】∵，，，，∴，，，，，，則，故A正確；∵，，∴，故B錯誤；，，∴，故C正確；，，故D錯誤．故選：AC．10.【答案】ABD【分析】求導后由導數大于零恒成立可得A正確；由可得B正確；設切點，由導數的意義得到切線方程，求解可得C錯誤；求導后分析單調性，利用極大值大于零，極小值小于零可得D正確；【詳解】對于A，，，，單調遞增，無極值點，故A正確；對于B，因為，所以函數的圖象關于點中心對稱，故B正確；對于C：設切點，則切線方程為，因為過點，所以，，解得，即只有一個切點，即只有一條切線，故C錯誤；對于D：，當時，，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又有極大值為，所以若函數有3個零點，則有極小值為，得到，故D正確．故選：ABD．11.【答案】AC【分析】由題意可知，,對任意的，都存在，使得成立，，,進而有再將選項中的值，依次代入驗證，即可求解.【詳解】∵，∴，∴，∵對任意的，都存在，使得成立，∴，，∵，∴，，在上單調遞減．在上單調遞增．當時，，，，故A正確，當時，，，故B錯誤，當時，，，，故C正確，當時，，．故D錯誤．故選：AC．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.【答案】【分析】把復數用坐標表示再結合向量的夾角公式計算即可；【詳解】由題知，，，∴，所以與夾角為，故答案為：．13.【答案】【分析】分，，，利用圖像平移的性質結合指數函數計算即可；【詳解】如圖①，當時，函數的圖象是由向上平移個單位后，再向下平移個單位，函數圖象還是的圖象，滿足題意，如圖②，當時，函數圖象是由向下平移m個單位后，再把x軸下方的圖象對稱到上方，再向上平移m個單位，根據圖象可知滿足題意，如圖③，時不合題意．故答案為：．14.【答案】##【分析】設，去絕對值符號，再根據基本不等式即可得解.【詳解】不妨設，則，，∴，當且僅當，，，即，，時，等號成立，所以的最大值是．故答案為：．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）將已知等式由正弦定理邊化角，再結合兩角和的正弦展開式和特殊角的三角函數求解即可；（2）選條件①，由同角的三角函數和正弦定理求出，再用余弦定理求出，此時不能構成三角形；選條件②，在中，由余弦定理求出，再由三角形的面積公式求解即可；選條件③，在中，由余弦定理得，再由三角形的面積公式求解即可；【小問1詳解】因為，由正弦定理得．即：，所以，所以，即，因為，所以，得；【小問2詳解】選條件①，，由正弦定理可得即，解得，由余弦定理可得，整理得，解得，不能構成三角形，（老師，這一問我算了兩遍，如果有問題請聯(lián)系我一下，如果沒有請幫我刪去，謝謝）選條件②：．在中，由余弦定理得：，即．整理得，解得或．當時，的面積為：，當時，的面積為：，選條件③：AC邊上中線的長為，設AC邊中點為M，連接BM，則，，在中，由余弦定理得，即．整理得，解得或（舍）．所以的面積為．16.【答案】（1），（2）最低定為2.6元/【分析】（1）依據收益=實際用氣量×（實際單價－成本價）列出函數解析式即可；（2）代入，求解不等式即可；【小問1詳解】由題意得，；【小問2詳解】由題意可知要同時滿足以下條件：，化簡不等式可得∴，即單價最低定為2.6元/．17.【答案】（1）（2）【分析】（1）由是奇函數，代入化簡可得即得解（2）轉化原式為，，結合函數的單調性分析即得解【小問1詳解】因為是奇函數所以，所以，所以，所以，【小問2詳解】因為，所以，所以，，令由于在單調遞增所以18.【答案】（1）在區(qū)間內為增函數，在區(qū)間為減函數；（2）（3）證明見解析【分析】（1）計算，求以及，從而求出的單調性；（2）計算以及，點斜式計算可求出切線方程；（3）偏移法證明，結合第（2）問的結論，證明在切線下方，放縮法證明不等式.【小問1詳解】的定義域為，，當時，，當時，，當時，，故在區(qū)間內為增函數，在區(qū)間為減函數；【小問2詳解】，，所以處切線方程為：，即；【小問3詳解】先證，由（1）可知：，且在區(qū)間為減函數，要證，即證：，令，，則，所以在區(qū)間內單調遞增，，即，即；再證，由（2）可知曲線在點處的切線方程為，令，，∴在處取得極大值為0，故當時，，，則，即，又，，∴，得證.19.【答案】（1）1458；（2）①證明見解析；②【分析】（1）設，利用反證法分析可知取2和3，且2的個數不超過2個，即可得結果；（2）①構建函數，利用導數可證，可得，相乘運算即可；②分析可知，構建函數，利用導數求其最值即可判斷.【詳解】（1）將20分成正整數之和，即，假定乘積已經最大．若，則將與合并為一個數，其和不變，乘積由增加到，說明原來p不是最大，不滿足假設，故，同理，將每個大于2的拆成2，之和，和不變，乘積，故所有的只能取2，3，4之一，且，所以將取2和3即可，如果2的個數大于等于3，將3個2換成兩個3，這時和不變，乘積則由8變成9，故在p中2的個數不超過2個，可得，最大乘積為；（2）①證明：先證：，令，則，若x>1，則f