2024秋高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式3.3排序不等式課堂演練含解析新人教A版選修4-5

PAGE1-第三講柯西不等式與排序不等式3.3排序不等式A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)a≥b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，則P與Q的大小關(guān)系是()A．P＞Q B．P≥QC．P＜Q D．P≤Q解析：因?yàn)閍≥b＞0，所以a2≥b2＞0.因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，則P≥Q.答案：B2．車間里有5臺機(jī)床同時出了故障，從第1臺到第5臺的修復(fù)時間依次為4min，8min，6min，10min，5min，每臺機(jī)床停產(chǎn)1min損失5元，經(jīng)合理支配損失最少為()A．420元 B．400元C．450元 D．570元解析：損失最少為5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．若A＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為()A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．A≤B解析：依序列{xn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，不妨設(shè)0＜x1≤x2≤…≤xn，則x2，x3，…，xn，x1為序列{xn}的一個排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.答案：C4．設(shè)正實(shí)數(shù)a1，a2，a3的任一排列為a1′，a2′，a3′，則eq\f(a1,a1′)＋eq\f(a2,a2′)＋eq\f(a3,a3′)的最小值為()A．3 B．6C．9 D．12解析：設(shè)a1≥a2≥a3＞0，則eq\f(1,a3)≥eq\f(1,a2)≥eq\f(1,a1)＞0，由亂序和不小于反序和，知eq\f(a1,a1′)＋eq\f(a2,a2′)＋eq\f(a3,a3′)≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋eq\f(a3,a3)＝3，所以eq\f(a1,a1′)＋eq\f(a2,a2′)＋eq\f(a3,a3′)的最小值為3.答案：A5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負(fù)狀況是()A．大于零 B．大于等于零C．小于零 D．小于等于零解析：設(shè)a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，依據(jù)排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空題6．如圖所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，則陰影部分的矩形的面積之和________空白部分的矩形的面積之和．(填“≥”“≤”或“＝”)解析：陰影面積為a1b1＋a2b2，而空白面積為a1b2＋a2b1.依據(jù)依次和≥反序和可知答案．答案：≥7．若c1，c2，c3是4，5，6的一個排列，則c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．解析：由排序不等式，依次和最大，反序和最?。宰畲笾禐?×4＋2×5＋3×6＝32，最小值為1×6＋2×5＋3×4＝28.答案：32288．某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，須要買價格不同的禮品4件，5件和2件．現(xiàn)在選擇商店中單價分別為3元，2元和1元的禮品，則至少要花________元，最多要花________元．解析：兩組數(shù)2件、4件、5件與1元、2元、3元的反序和S1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．依次和S2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．依據(jù)排序原理可知至少花19元，最多花25元．答案：1925三、解答題9．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝1，求eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)的最小值．解：不妨設(shè)a3＞a1＞a2＞0，則eq\f(1,a3)＜eq\f(1,a1)＜eq\f(1,a2)，所以a1a2＜a2a3＜a3a1.設(shè)亂序和S＝eq\f(a1a3,a3)＋eq\f(a1a2,a1)＋eq\f(a3a2,a2)＝a1＋a2＋a3＝1，依次和S′＝eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2).由排序不等式得eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥a1＋a2＋a3＝1，所以eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)的最小值為1.10．已知0<α<β<γ<eq\f(π,2)，求證：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．證明：因?yàn)?<α<β<γ<eq\f(π,2)，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為增函數(shù)，y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為減函數(shù)，所以0<sinα<sinβ<sinγ，cosα>cosβ>cosγ>0.所以sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．B級實(shí)力提升1．已知實(shí)數(shù)a≥b≥c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，則aeq\r(b)＋beq\r(c)＋ceq\r(a)的最大值是()A．1 B．2C．3 D.eq\r(3)解析：因?yàn)閍≥b≥c≥0，知eq\r(a)≥eq\r(b)≥eq\r(c)，由排序不等式，得aeq\r(b)＋beq\r(c)＋ceq\r(a)≤aeq\r(a)＋beq\r(b)＋ceq\r(c).又(aeq\r(a)＋beq\r(b)＋ceq\r(c))2≤[(aeq\r(a))2＋(beq\r(b))2＋(ceq\r(c))2]·(1＋1＋1)＝3(a3＋b3＋c3)＝9，所以aeq\r(a)＋beq\r(b)＋ceq\r(c)≤3.故aeq\r(b)＋beq\r(c)＋ceq\r(a)≤3.答案：C2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，則eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值是________．解析：不妨設(shè)a≥b＞0，則有a2≥b2，且eq\f(1,b)≥eq\f(1,a).由排序不等式eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥eq\f(1,a)·a2＋eq\f(1,b)·b2＝a＋b＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時，等號成立．所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值為1.答案：13．設(shè)a1，a2，…，an是1，2，…，n的一個排列．求證：eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n－1,n)≤eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an－1,an).證明：設(shè)b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一個排列，且b1<b2<…<bn－1；c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…，an的一個排列，且c1<c2<…<cn－1，則eq\f(1,c1)>eq\f(1,c2)>…>eq\f(1,cn－1)且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，所以eq\f(1,c1)≥eq\f(1,2)，eq\f(1,c2)≥eq\f