平面向量的概念及線性運算

平面向量的概念和線性運算.判斷正誤（在括號內打“J”或“X”）⑴零向量與任意向量平行.（）TOC\o"1-5"\h\z⑵若a〃b,b〃c，則a〃c.（ ）⑶向量AB與向量CD是共線向量，則A,B,C,D四點在一條直線上.（）（4）當兩個非零向量a,b共線時，一定有b=加，反之成立.（）（5）在4ABC中，D是BC中點，則AD=2（AC+AB）.（ ）.給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a,b都是單位向量，則a=b；③向量AB與BA相等.則所有正確命題的序號是（）A.① B.③ C.①③ D.①②.（棗莊模擬）設D為^ABC所在平面內一點，AD=-1AB+4AC，若BC=XD!C（2￡R）,則A=（ ）A.2 B.3 C.-2 D.-3.（全國H卷）設向量a,b不平行，向量Aa+b與a+2b平行，則實數(shù)A=..（必修4P92A12改編）已知口ABCD的對角線AC和BD相交于O,且CfA=a,（JB=b，則DC=,BC=（用a,b表示）..（嘉興七校聯(lián)考）設D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點，AD=1AB,BE=2BC,若DDE=A1AB+A2AC（A1,A2為實數(shù)），則A1=,A2=.

知識梳理1.向量的有關概念向量運算法則向量運算法則（或幾何意義）運算律名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度（或稱模）平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為士a|平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算

加法求兩個向量和的運算也ba三南形法則a平行四邊形法則⑴交換律：a+b=b+a.(2)結合律：(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量—b的和的運算叫做a與b的差個三角形法則a-b=a+(—b)數(shù)乘求實數(shù)A與向量a的積的運算(i)lia=幽；(2)當A>0時，ia的方向與a的方向相同;當A<0時，Aa的方向與a的方向相反；當A=0時，Aa=0AQa)=A^a；(A+〃)a=Aa+jM;A(a+b)=Aa+Ab3.共線向量定理向量a(a=0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)入，使得正也.考點一平面向量的概念【例1】下列命題中，不正確的是 (填序號).①若|a|=|b|,則a=b；②若A,B,C,D是不共線的四點，則"AB=DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的允要條件；③若a=b,b=c，則Ua=c.規(guī)律方法(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一■談.?一.一.a -a (4)非零向量a與|a?的關系：?a是與a同方向的單位向量.【訓練1】下列命題中，正確的是（填序號）.①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b【訓練1】下列命題中，正確的是（填序號）.①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.考點二平面向量的線性運算【例2】（1）（濰坊模擬）在^ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP=1AB,BQ=1BC.若AB=a,AC=b，則PQ=(1JA.3a+3b1,1B.-3a+3b1 1C.3a—3b1 1D.—3a—3b(2)(2015?北京卷)在^ABC中點M,N滿足筋=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC，則x=規(guī)律方法（1）解題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.（2）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.【訓練2】（1）如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個靠近B點的三等分點，那么A等于（）,1A1AA.2AB—3ADC.3AB+2DA(2)在4ABC中，AB=2,BC=3/ABC=60°AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若AO=方B+寂，則2+〃等于（ ）A.11B.51A.11B.51C.32D.3考點三共線向量定理及其應用【例3】設兩個非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a一b).求證：A,B,D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka+b和a+kb共線.規(guī)律方法(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)A1，A2，使A1a+22b=0成立.【訓練3】(1)已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=—3a+3b，則( )AA,B,C三點共線 BA,B,D三點共線CA,C,D三點共線 D.B,C,D三點共線(2)已知A,B,C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式x2OA+xOB+BC=0成立的實數(shù)x的取值集合為()A.{0} BO C.{—1} D.{0,—1}一、選擇題.已知下列各式：①AB+BC+CM；②AB+M+BO+OM；③Chi+和+BO+CO；④AB—AC+BD—CD，其中結果為零向量的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4.設a是非零向量，A是非零實數(shù)，下列結論中正確的是()A.a與Aa的方向相反 B.a與A2a的方向相同C.|—Aa|三|a| D.|—Aa|N|A卜a.如圖，在正六邊形ABCDEF中，BA+CD+EF=( )--AA.0?,>CADA.0?,>CAD'>D.CF.設a0為單位向量，下述命題中：①若a為平面內的某個向量，則a;同冊;②若a與a0平行，則a二|a|a0；③若a與a0平行且同=1,則a=a0.假命題的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3A.0B.1C.2D.3.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則OA+(9B+OC+OD等于( )?>一A.OM__?>_B.2OM?>一A.OM__?>_B.2OM?一?>C.3OM一.?>_D.4OM6.在△ABC中alB=cAC=b若點D滿足BD=2DC，則AD等于（卜3c1-3c7.（卜3c1-3c7.（溫州八校檢測）設a,b不共線alB=2a+pb,BC=a+b,CD=a—2b,若A,B,D三點共線，5 2B-3c-3b1,2

D.3bH-3c則實數(shù)p的值為（）A.-2B.-1C.1D.2.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C,DA.-2B.-1C.1D.2.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C,D是半圓弧的兩個三等分點AB=a,AC=b,則AD=()1

A.a—2b1B，2a—b二、填空題.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量OA相等的向量有個..如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O,AB+AD=AAO,.向量e1,e2不共線，AB=3(e1+e2),CB=e2—e1,CD=2e1+e2，給出下列結論：①A,B,C共線；②A,B,D共線；③B,C,D共線；④A,C,D共線，其中所有正確結論的序號為..已知△ABC和點M滿足M+Mb+M=0,若存在實數(shù)m使得AB+AC=mAM成立，則m=［思想方法］.向量的線性運算滿足三角形法則和平行四邊形法則.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”..證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線..對于三點共線有以下結論：對于平面上的任一點O,OA,OB不共線，滿足OP=xOA+yOB(x,y￡R),則P,A,B共線Qx+y=1.［易錯防范］.解決向量的概念問題要注意兩點:一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向;二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性..在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤課后鞏固1.（延安模擬）設e1與e2是兩個不共線向量，AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1—2ke2,若A,B,D三點共線，則k的值為(),9 . 4 3 .丁…A.-4 B.—9 C.—8 D.不存在2.已知點O,A,B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且20A=2(OA+BA，則( )A.點P在線段AB上

B.點P在線段AB的反向延長線上C.點P在線段AB的延長線上D.點P不在直線AB上3.0是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：OP=（JA+2A￡[0,+8）,則P的軌跡一定通