數(shù)學(xué)課堂探究：向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂探究探究一軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算首先利用數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo),特別要注意向量坐標(biāo)運(yùn)算公式的順序，還要注意模運(yùn)算中可能會(huì)出現(xiàn)的兩種情形．【例1】已知數(shù)軸上四點(diǎn)A,B，C,D的坐標(biāo)分別是－4，－2，c，d．(1)若AC＝5，求c的值；（2)若｜BD|＝6,求d的值；(3）若＝－3,求證:3＝－4．分析：解答本題首先根據(jù)條件表示出兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，然后求解或證明．解：(1）因?yàn)锳C＝5，所以c－(－4）＝5．所以c＝1．(2)因?yàn)椋麭D|＝6，所以｜d－(－2)｜＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，所以d＝4或d＝－8．(3)證明：因?yàn)椋剑剑?，而＝?，所＝－（－3）＋＝4．所以3＝12．又－4＝－4×(－3）＝12,故3＝－4．探究二平行向量基本定理的應(yīng)用證明三點(diǎn)共線可以利用向量共線來(lái)解決，注意選取的向量要有公共點(diǎn)，利用向量共線條件求參數(shù)，主要是根據(jù)a＝λb列出方程(組)、解方程(組)．【例2】(1）已知兩個(gè)非零向量e1，e2不共線,如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．求證：A,B，D三點(diǎn)共線．（2）設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，已知＝2e1＋ke2，設(shè)＝e1＋3e2，＝2e1－e2,若有A，B，D三點(diǎn)共線，求k值．分析:（1）若A，B,D三點(diǎn)共線，只需證明＝．(2)由＝列出方程組求k．（1)證明：因?yàn)椋剑?2e1＋3e2）＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝12e1＋18e2＝6（2e1＋3e2),又＝2e1＋3e2,所以＝6．所以與共線．又因?yàn)锳B,AD有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．（2)解：＝－＝（2e1－e2)－（e1＋3e2)＝e1－4e2，因?yàn)锳，B，D共線,所以,共線，所以存在λ使＝．所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2），所以所以k＝－8．點(diǎn)評(píng)由以上解答可以看出,三點(diǎn)共線與向量共線是可以相互轉(zhuǎn)化的．但是注意選取的兩個(gè)向量一定要有一個(gè)公共點(diǎn)．探究三利用平行向量基本定理證明幾何問(wèn)題應(yīng)用向量共線定理證明直線平行或三點(diǎn)共線問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把一個(gè)向量用有關(guān)向量線性表示出來(lái)，即確定向量等式b＝λa（a≠0)，再結(jié)合圖形完成證明．【例3】如圖所示,已知在梯形ABCD中,AB∥DC，E,F分別是AD，BC的中點(diǎn)，用向量法證明EF∥AB,EF＝(AB＋DC)．分析：首先結(jié)合圖形與所求證的問(wèn)題，將幾何條件向向量條件轉(zhuǎn)化，再充分利用向量的線性運(yùn)算與共線向量定理求證．證明:延長(zhǎng)EF到點(diǎn)M，使得FM=EF，連接CM,BM,EC，EB得?ECMB，由平行四邊形法則得==．因?yàn)锳B∥DC，所以,共線且同向，根據(jù)向量共線定理知,存在正實(shí)數(shù)λ,使=λ．由三角形法則得=+，=+,且+=0．所以＝(＋）＝（＋＋＋）＝（＋）＝,所以∥，由于，，沒(méi)有公共點(diǎn)，所以EF∥DC∥AB，又|｜＝＝（｜|＋｜|），所以EF＝(AB＋DC），所以結(jié)論得證．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):因忽視0與任何向量平行而致誤【例5】已知e1≠0,λ∈R,a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，則（）A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0錯(cuò)解：因?yàn)閍∥b,所以e1＋λe2＝2ke1，所以(2k－1）e1＝λe2．所以e1∥e2．故選C．錯(cuò)解分析：沒(méi)有考慮2k－1可能為零而漏解．正解：因?yàn)閍∥b，b≠0，所以存在實(shí)數(shù)k，使得a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2．因?yàn)閑1≠