數(shù)學(xué)課堂探究：單位圓與三角函數(shù)線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一作出三角函數(shù)線作三角函數(shù)線的題型主要有兩種：（1)已知角的大小,作三角函數(shù)線，此類題型只需按步驟進(jìn)行即可;（2)已知函數(shù)值的大小找角，先找出相應(yīng)y或x的值，再找出相應(yīng)的角．【例1】在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊．（1)sinα＝；（2）cosα＝－；（3)tanα＝2．分析：對(duì)于(1)設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x．所以，要作出滿足sinα＝的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點(diǎn)P，則OP即為α的終邊，對(duì)于(2）,(3）可采用同樣的方法予以處理．解:（1）作直線y＝交單位圓于點(diǎn)P,Q,則OP與OQ為角α的終邊，如圖①．（2）作直線x＝－交單位圓于點(diǎn)M，N，則OM與ON為角α的終邊，如圖②．（3）在直線x＝1上截取AT＝2，其中A的坐標(biāo)為(1，0）．設(shè)直線OT與單位圓交于點(diǎn)C，D，則OC與OD為角α的終邊，如圖③．評(píng)注三角函數(shù)線可以用來求出滿足形如f(a)＝m的三角函數(shù)的角α的終邊，體現(xiàn)了對(duì)三角函數(shù)線的深刻理解，同時(shí)這也是利用三角函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．探究二利用三角函數(shù)線比較大小利用三角函數(shù)線比較大小，先要作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，然后觀察三角函數(shù)線的大小和方向．【例2】若θ∈，則下列各式錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào)）①sinθ＋cosθ〈0；②sinθ－cosθ>0；③｜sinθ|<|cosθ｜；④sinθ＋cosθ>0．解析：畫出單位圓如圖所示,借助三角函數(shù)線進(jìn)行判斷．由圖可觀察出，當(dāng)θ∈時(shí)，sinθ>0，cosθ〈0，且|sinθ｜〈｜c(diǎn)osθ｜．所以①②③正確,④錯(cuò)誤．答案：④反思通過此題，我們發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)線在解決一些與三角函數(shù)有關(guān)的不等式、比較大小等問題時(shí)十分快捷有效，所以我們要熟練地畫出一個(gè)角的三角函數(shù)線，結(jié)合圖形對(duì)比得出結(jié)論．這也是數(shù)形結(jié)合思想的很好體現(xiàn)．探究三利用三角函數(shù)線解不等式用三角函數(shù)線來解基本的三角不等式的步驟：【例3】求函數(shù)f(α)＝的定義域．分析：要使函數(shù)f(α)有意義，則sinα≥．利用三角函數(shù)線可得α的范圍,即為函數(shù)f(α)的定義域．解：要使函數(shù)f（α）有意義,必須使2sinα－1≥0，則sinα≥,如圖所示，畫出單位圓，作x軸的平行直線y＝，交單位圓于兩點(diǎn)P1,P2，連接OP1,OP2,分別過點(diǎn)P1，P2作x軸的垂線，畫出如圖的兩條正弦線，易知這兩條正弦線的值都等于．在[0，2π)內(nèi)，sin＝sin＝．由于sinα≥,故滿足條件的角α的終邊在圖中陰影部分，所以函數(shù)f(α)的定義域?yàn)椋此记蟠祟惾呛瘮?shù)定義域的本質(zhì)是求三角不等式（組)的解集，其方法是首先作出單位圓,然后根據(jù)約束條件利用三角函數(shù)線畫出角α終邊所在的區(qū)域(可用陰影部分表示),然后寫出該區(qū)域內(nèi)角的集合即可．【例4】已知點(diǎn)P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，在[0，2π]內(nèi)求α的取值范圍．解：由題意，知如圖所示,由三角函數(shù)線可得故<α〈或π<α<．反思根據(jù)三角函數(shù)線可以判斷sinα，cosα，tanα的符號(hào),推出三角函數(shù)的定義域，比較三角函數(shù)值的大小等,更重要的是,由于給出了三角函數(shù)的幾何定義,可以直觀地研究三角函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決某些實(shí)際問題，還可以溝通三角函數(shù)與幾何等其他內(nèi)容的聯(lián)系．探究四三角函數(shù)值與角的關(guān)系由三角函數(shù)定義知：－1≤sinα≤1,－1≤cosα≤1，即三角函數(shù)值是一個(gè)數(shù)值，而由弧度制知，數(shù)值與角也是一一對(duì)應(yīng)的，如1rad＝．【例5】(1)若角θ在第四象限，試判斷sin(cosθ)·cos(sinθ）的符號(hào)．(2)若tan(cosθ）·cot(sinθ)>0,試指出θ所在象限．分析：本題主要考查正弦、余弦函數(shù)的定義和取值范圍，以及它們?cè)诟飨笙藓瘮?shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵將角α，cosα，sinα看作弧度制下的角．解:（1)因?yàn)榻铅仍诘谒南笙蓿?〈cosθ<1<，－〈－1<sinθ〈0．所以sin(cosθ)〉0,cos（sinθ)>0．所以sin（cosθ）·cos(sinθ)〉0．(2）由題意,知或所以或即θ在第一或第三象限．探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因忽視角的終邊在坐標(biāo)軸上而致誤【例6】利用三角函數(shù)線證明|sinα｜＋｜c(diǎn)osα|≥1．錯(cuò)解:證明:如圖所示，MP＝|sinα|，OM＝｜c(diǎn)osα|．根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊，易知|sinα|＋|cosα|≥1．錯(cuò)因分析：上述解法忽視了角α的終邊在坐標(biāo)軸上的情況,并且正弦線、余弦線是有方向的，不能寫成MP＝|sinα｜和OM＝｜c(diǎn)osα｜．正解：證明：當(dāng)角α的終邊在x(或y)軸上時(shí)，正弦線(或余弦線）變成一個(gè)點(diǎn)，而余弦線(或正弦線)的長等于r(r