2023中考數(shù)學(xué)常見幾何模型《相似模型-母子型（共角共邊模型）和A（X）字型》含答案解析

專題06相似模型-母子型（共角共邊模型）和A（X）字型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn),

其變化很多，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再

遇到相似三角形的問題就信心更足了.本專題重點(diǎn)講解相似三角形的母子模型與A（X）字

模型.

模型1.“母子”模型（共邊角模型）

【模型解讀與圖示r母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，

由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或

夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似.“雙垂線”型是其特例。

“母子”模型（斜射影）雙垂直（射影定理）“母子型”的變形

斜射影結(jié)論：

△ABDs"CB,AB2=AD?AC.

雙垂直結(jié)論：

①△ABDs”CB,AB2=AD-AC；②△ADCS^ACB,AC2=AD-AB；③△CDBs"CB,CB2

=BD?BA.

1.（2022?貴州貴陽(yáng)?中考真題）如圖，在AASC中，。是AB邊上的點(diǎn)，ZB=ZACD,

AC:AS=1:2,則AADC與八4。8的周長(zhǎng)比是（）

A.1:72B.1:2C.1:3D.1:4

2.（2022?陜西漢中?九年級(jí)期末）如圖，8是等腰直角AABC斜邊A3的中線，以點(diǎn)。為頂

點(diǎn)的繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與AC、3C的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F,

DF與AE交于點(diǎn)M,DE與BC交于點(diǎn)、N,且ZED尸=45。.⑴如圖1,若CE=CF,求證:

DE=￡）尸；⑵如圖2,若CEVCF,求證：CD1=CECF-,

⑶如圖2,過。作。GL8C于點(diǎn)G,若CD=2,CF=母,求。N的長(zhǎng).

圖1圖2

3.（2022?浙江紹興?九年級(jí)期末）如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩

個(gè)相似三角形互為母子三角形.（1）如果△。石尸與AASC互為母子三角形，則匹的值可能

AB

為（）

A.2B.1C.2或g

（2）已知：如圖1,AMC中，AD是的C的角平分線，AB=2AD,ZADE=NB.

求證：△ABD與AADE互為母子三角形.

（3）如圖2,AABC中，AD是中線，過射線G4上點(diǎn)E作EG〃BC,交射線ZM于點(diǎn)G,

AC1

連結(jié)BE,射線8E與射線ZM交于點(diǎn)尸，若AAGE與AADC互為母子三角形.求罷的值.

4.（2022.浙江中考模擬）如圖，在AABC中，0ACB=9O°,CDHAB.

（1）圖1中共有對(duì)相似三角形，寫出來(lái)分別為（不需證明）:

（2）已知AB=5,AC=4,請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng):

（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)0,建立直角坐標(biāo)

系（如圖2）,若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出

發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)即刻同

時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與EIABC相

似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

模型2.字模型

【模型解讀與圖示】

“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角）,

再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似.

L（2022糊南懷化?中考真題）如圖，蜘BC中，點(diǎn)。、E分別是A8、AC的中點(diǎn)，若S?DE

=2,貝”AABC=.

2.（2022?浙江杭州?中考真題）如圖,在AABC中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,AC,BC上，

連接。E,EF,已知四邊形BFE。是平行四邊形，黑=J.（1）若A5=8,求線段AD的長(zhǎng).⑵

DC4

若AADE的面積為1,求平行四邊形BFED的面積.

A

3.（2022?浙江寧波?中考真題）⑴如圖1,在AABC中,D,E,F分別為A民AC,BC上的點(diǎn),

DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)、G,求證：DG=EG.

DF

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接C￡?,CG.^CG±DE,CD=6,AE=3,求士巴的值.

BC

⑶如圖3,在nABCD中，/ADC=45。,AC與3。交于點(diǎn)O,￡為4?上一點(diǎn)，EG〃fi0交AD

于點(diǎn)G,EFLEG交BC于點(diǎn)、F.若ZEG尸=40。,PG平分NEPC,產(chǎn)G=10,求訪的長(zhǎng).

4.（2022?遼寧?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC=2y/5,BC=4,D,E,P分別為

AC,A3,8c的中點(diǎn)，連接DE,。尸.⑴如圖1,求證：DF=—DE；（2）如圖2,將/ED尸繞

2

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到NPOQ,當(dāng)射線OP交A3于點(diǎn)G,射線。。交3C于點(diǎn)N

時(shí)，連接尸E并延長(zhǎng)交射線。P于點(diǎn)判斷網(wǎng)與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；⑶如圖3,

在（2）的條件下，當(dāng)Z>P_LAB時(shí)，求ON的長(zhǎng).

AAA

M

E

B/Nc

Q，NFQN

圖1圖2圖3

模型3."k，字模型（“8”模型）

【模型解讀與圖示】

“X”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”,再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比

例就可以判定這兩個(gè)三角形相似.

1.（2022?河北?中考真題）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)的小正

方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)43的連線與釘點(diǎn)C,。的連線交于點(diǎn)E,則

（1）與CD是否垂直？（填"是"或"否"）；（2）AE=.

2.（2022?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形A3C。中，AB=6,BC=4,點(diǎn)、M、N分別在

AB,AD±,且MA恢WC,點(diǎn)E為CQ的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)孔

N

(1)當(dāng)尸為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM=C￡；⑵若而=2,求麗的值；⑶若MA皿，求和

的值.

3.(2022?廣西貴港?中考真題)已知：點(diǎn)C,。均在直線/的上方，AC與都是直線/的

垂線段，且3。在AC的右側(cè)，BD=2AC,A￡＞與BC相交于點(diǎn)O.

⑴如圖1,若連接8,則△5CD的形狀為_____,二二的值為_______;

AD

⑵若將沿直線/平移，并以AD為一邊在直線/的上方作等邊AADE.

①如圖2,當(dāng)AE與AC重合時(shí)，連接OE,若AC：］,求OE的長(zhǎng)；

②如圖3,當(dāng)NACB=60。時(shí)，連接EC并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)尸，連接。尸.求證：OF±AB.

4.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?九年級(jí)期末)梅涅勞斯(Menelaus)是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅

涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖(1),如果一條直線與AA8C的三邊AB,BC,CA或它們

的延長(zhǎng)線交于GD、E三點(diǎn),那么一定有------------=1.

下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程:

證明：如圖(2),過點(diǎn)A作AG〃BC,交。廠的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

皿士4尸AGCECDAFBDCEAGBDCD,

FBBDEAAGFBDCEABDDCAG

請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問題：

(1)如圖(3),XABC三邊CB,AB,AC的延長(zhǎng)線分別交直線/于X,Y,Z三點(diǎn)，證明：

BXCZAY,

XCZAYB

(2)如圖(4),等邊AA8C的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在上，且班'=2AF,CF

與交于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為.

(3)如圖(5),△ABC的面積為2,尸為48中點(diǎn)，延長(zhǎng)8c至。，使CD=BC,連接ED交

AC于E,則四邊形BCEF的面積為

E

BD

圖⑸

課后專項(xiàng)訓(xùn)練：

1.(2022?江蘇中考模擬)對(duì)于兩個(gè)相似三角形，如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相同，

那么稱這兩個(gè)三角形互為順相似；如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個(gè)

三角形互為逆相似.例如，如圖(1),回CDEH3CAB,且沿周界CDEC與CABC環(huán)繞的方向(同

為逆時(shí)針方向)相同，因此EICOE和EIC4B互為順相似；如圖(2),EICOEEBCB4且沿周界COEC

與CBAC環(huán)繞的方向相反，因此EICOE和EICBA互為逆相似.

cc

zoq

-------------BAB

圖⑴圖(2)

圖(6)圖⑺

(1)根據(jù)以上材料填空：

①如圖(3),ABSCD,貝!lEMOBEBC。。，它們互為相似(填"順"或"逆"，下同)；

②如圖(4),RtEWBC中，EMCB=90°,CDEIAB于點(diǎn)D,則EMBC0,它們互為相

似；

③如圖(5),若回。AB=EIEBC=90°,并且BD0CE于點(diǎn)F,貝ijEMBD回,它們互為相

似；

(2)如圖(6),若刖。B回回COD,指出圖中另外的一對(duì)相似三角形并說明理由，同時(shí)指出它

們互為順相似還是互為逆相似；

(3)如圖(7),在RtlSABC中，I3C=9O。，47=20,BC=15,點(diǎn)P在回ABC的斜邊上，且AP

=16,過點(diǎn)P畫直線截蜘BC,使截得的一個(gè)三角形與MBC相似，則滿足的截線共有條

2.(2022?吉林?中考真題)下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線4〃4，AABC與△O3C的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：設(shè)4與之間的距離為心則Sv9c=：BC/,SAOTC=1BC-/7.FFL

q—Q

0△ABC一°ADBC?

【探究】(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在4,4之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)A,。到直線4的距離分別為心”，則

qh

SADBCh

圖②

證明：團(tuán)SAMC_____________________

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在4，'之間時(shí)，連接的并延長(zhǎng)交4于點(diǎn)M，貝!1》叫=黑?

'△DBC5口

圖③

證明：過點(diǎn)A作攸，垂足為E,過點(diǎn)。作垂足為歹，則

ZAEM=ZDFM=90°,

^\AE//.

回△AEMs

AEAM

Pl--=---

DFDM*

由【探究】（1）可知合町=__________，回廿Z=黑?

、4DBC、/\DBCDM

⑶如圖④，當(dāng)點(diǎn)。在4下方時(shí)，連接AD交4于點(diǎn)E.若點(diǎn)A,E,。所對(duì)應(yīng)的刻度值分別

3.（2022.上海.九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在凡AABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,AC=6,

AO平分44C,交邊BC于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作C4的平行線，交邊AB于點(diǎn)E.

（1）求線段DE的長(zhǎng)；（2）取線段AD的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)BM,交線段DE于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)線段

?交邊?于點(diǎn)G,求嘉的值?

B

D

4.(2022?上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中)已知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，

在邊的延長(zhǎng)線上截取8E=AB,點(diǎn)尸在AE的延長(zhǎng)線上，CE和。尸交于點(diǎn)M,8C和。F

交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)BD

(1)求證：XBNDsMNM；(2)如果A￡)2=A3?AE求證：CM?AB=DM*CN.

5.(2022?安慶模擬)在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC、相交于點(diǎn)。.

(1)如圖①，若四邊形ABC。為矩形，過點(diǎn)。作OE_LBC,求證：OE=IcD.

2

(2)如圖②，若AB〃CZ),過點(diǎn)。作所〃A8分別交BC、4。于點(diǎn)E、F.求證：里度

ABCD

=2.

(3)如圖③，若OC平分NAOB,D、E分別為04、。3上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)、M,作

MN〃OB交OA于一點(diǎn)、N,若OD=8,OE=6,直接寫出線段MN長(zhǎng)度.

圖①圖②圖③

6.(2022?重慶中考模擬)問題提出：如圖1,。、E分別在蜘BC的邊AB、AC上，連接DE,

已知線段AO=a,DB=b,AE=c,EC=d,則SMOE,SIMBC和a,b,c,d之間會(huì)有怎樣的數(shù)

量關(guān)系呢？

圖4圖1備用圖圖5

問題解決：探究一：(1)看到這個(gè)問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律.如

_/7C.

圖2,若。EEIBC,貝1|蜘?！?回8,且蜘=蜘，所以aAOEEELABC,可得比例式：——=——而根

a+bc+d

Sa2

據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方.可得=7一不.根據(jù)上述這兩個(gè)式子，可

Sa2aaacac

PlLp.-4Anf7=------------=----------------=----------------=----------------------

，S.ABC+a+ba+ba+bc+d(〃+b)(c+d)，

(2)如圖3,若MDE=^C,上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；著不成立，請(qǐng)

說明理由.

Setc

探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：二=（“+b）（c+d）?

方法回顧：兩個(gè)三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當(dāng)兩個(gè)三角形的底成高具

有一定的關(guān)系時(shí)，也可以解決.如圖4,。在蜘BC的邊上，做AHI3BC于可得：

S-BDAH球

沁--------.借用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你解決最初的問題.

-DCAH

2

延伸探究：（1）如圖5,。、E分別在財(cái)BC的邊八8、AC反向延長(zhǎng)線上，連接DE,已知線段

S

AD^a,AB=b,4E=c,AC=d,則^^=.（2）如圖6,E在MBC的邊AC上，。在

s

ADE

AB反向延長(zhǎng)線上，連接。E,已知線段八D=o,AB=b,AE=cfAC=d,^=.

結(jié)論應(yīng)用：如圖7,在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)GA到E,連接。E

交BA的延長(zhǎng)線于F,若4B=5,AG=4,4E=2,EMBC。的面積為30,則MEF的面積是.

7.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)O,記

△COD的面積為S],AAOB的面積為邑.（1）問題解決：如圖①，若AB//CD,求證：

SxOCOD

'S^~OAOB

（2）探索推廣：如圖②，若AB與8不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說明理由.（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在。4上取一點(diǎn)E,使OE=OC,過點(diǎn)E

OE5

作EF〃C。交于點(diǎn)R點(diǎn)H為A6的中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)、G,且OG=2GH,若二=:，

OA6

,S,一

求不~值.

8.（2022?湖北隨州?九年級(jí)期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面

的許多書籍.梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長(zhǎng)線）被一條不過任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任

何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)

線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長(zhǎng)線都相交）.他進(jìn)行了深入研究并證明

了著名的梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）:

設(shè)。，E,尸依次是0ABe的三邊AB,BC,CA或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足

-A-D---B--E---C--F=],

DBECFA

這個(gè)定理的證明步驟如下:

情況①：如圖1,直線OE交她3c的邊A5于點(diǎn)。，交邊AC于點(diǎn)R交邊5。的延長(zhǎng)線與

點(diǎn)E.

.BEBDADAF

過點(diǎn)C作CM^\DE交A3于點(diǎn)M,貝nU——=——（依據(jù)）,

ECDMDM-FC

BEADBDAF

團(tuán)------?-------------------,-------

ECDMDMFC

ADBECF

@BE*AD?FC=BD?AF?EC,=l

DBECFA

情況②：如圖2,直線DE分別交0ABC的邊BA,BC,CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，E,F.

(1)情況①中的依據(jù)指：;

(2)請(qǐng)你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；

(3)如圖3,D,尸分另U是EL4BC的邊AB,AC上的點(diǎn)，且ADDB=CE曲=2:3,連接。P

并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,那么8E:CE=.

9.(2022長(zhǎng)寧一模)己知，在AABC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)E是射線CA上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且OC=OE,射線OE交射線B4于點(diǎn)O.

⑴如圖1,如果OC=2,求受匹的值；

'△ODB

(2)聯(lián)結(jié)AO,如果AAEO是以AE為腰的等腰三角形，求線段OC的長(zhǎng);

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，聯(lián)結(jié)5區(qū)CD/DBE=NCDO,求線段OC的長(zhǎng).

10.（2022松江中考模擬）如圖，已知在△ABC中，BOAB,8。平分/A8C,交邊AC于

點(diǎn)、D,E是BC邊上一點(diǎn)，且BE=BA,過點(diǎn)A作AG〃DE,分別交3D、BC于點(diǎn)、F、G,聯(lián)

結(jié)FE.（1）求證：四邊形AFEO是菱形；（2）求證：AB2=BG-BC；（3）若AB=AC,BG

=CE,聯(lián)結(jié)AE,求黑些的值.

11.（2022?靜安區(qū)期末）如圖1,四邊形ABCZ）中，NBA。的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E,

已知A8=9,AE=6,AEr=AB-AD,MDC//AE.(1)求證：DE2=AE?DC；(2)如果BE

=9,求四邊形ABC。的面積;

（3）如圖2,延長(zhǎng)A。、8C交于點(diǎn)/，設(shè)8E=x,EF=y,求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫

出定義域.

怪12

AT）

12.（2。22?浙江?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，MC8=9。。，點(diǎn)。在上，且就

AC

AB

(1)求證0ACD00ABC；(2)若AD=3,BD=2,求CD的長(zhǎng).

CP

13.（2021?廣西百色?中考真題）如圖，0ABe中，AB=AC,0B=72",0AC8的平分線CD

交AB于點(diǎn)。，則點(diǎn)。是線段43的黃金分割點(diǎn).若AC=2,則.

14.（2022?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在AABC與VA3C中，點(diǎn)。、W分別在邊BC、BC

/?/"）RrDr

上，且△AGOSPAC'D',若,則請(qǐng)從①而=8五；②

ADArRr

—=-；③NSW=NB'AD這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），并加以證明?

專題06相似模型-母子型（共角共邊模型）和A（X）字型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變

化很多，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到

相似三角形的問題就信心更足了.本專題重點(diǎn)講解相似三角形的六大基本模型.

模型1.“母子”模型（共邊角模型）

【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，

由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或

夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似.“雙垂線”型是其特例。

斜射影結(jié)論：AABDSAACB,AB2=AD-AC.

雙垂直結(jié)論：

①AABDSAACB,AB2=AD'AC-,?AADC^AACB,AC2=AD-AB；③△CDBs”CB,CB2

=BD?BA.

1.（2022?貴州貴陽(yáng)?中考真題）如圖，在AABC中，Z）是AB邊上的點(diǎn)，ZB=ZACD,

AC:AB=1:2,則AADC與八4。8的周長(zhǎng)比是（）

A.1：A/2B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】B

即有工四衛(wèi)」AC+AD+CD

【分析】先證明HACDEBABC,則可得問題

ABACBC2AB+AC+BC2

得解.

【詳角軍】團(tuán)團(tuán)3二團(tuán)ACQ,胤4二團(tuán)A,

ACADCD

^lACD^\ABC團(tuán)一=

fAB~AC~13C

AC—1_A_C_—_A__D—_C__D——1

團(tuán)——=2'口AB一AC-BC一2'

AB

回AC_AD_CD_AC+A_D+CD—1

AB~AC~BC~AB+AC+BC~2'

EHADC與0ACB的周長(zhǎng)比1:2,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明回0ABe是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2022?陜西漢中?九年級(jí)期末）如圖，8是等腰直角AABC斜邊A3的中線，以點(diǎn)。為頂

點(diǎn)的/￡?尸繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F,

￡（/與AE交于點(diǎn)“，DE馬BC交于點(diǎn)、N,且ZED尸=45。.⑴如圖1,若CE=CF,求證:

DE=DF;⑵如圖2,若CE手CF,求證：CD2=CECF;

（3）如圖2,過。作。GJ.3c于點(diǎn)G,若CD=2,CF=&，求DN的長(zhǎng).

圖1圖2

【答案】⑴證明見解析；⑵證明見解析；⑶拽.

3

【分析】（1）由題意可得勖CIM3A8=45°,SBCE=S^.CF=90°,從而可得回。CE=EI￡）C尸=135°,

于是可證得絲△OCF,則有。E=OF；（2）結(jié)合（1）可求得EICZ）尸+即三45。從而可得

0F=0CDE,則ACDFs^CED,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解;（3）由。GB2C,0ACB=9OO,

回BCD=0ACZ）=45。，結(jié)合（2）可求得CE=2&,從而可求得CG=OG=&,可證得

MENs^GDN,從而可求得GN=Y^,再利用勾股定理即可求得。N.

3

（1）證明aaa4c2=90°,AC=BC,cr）是中線，

fflBC￡>=0ACD=45°,0BC￡=EL4CF=90°,fflDC￡=0￡)CF=135°

團(tuán)在EIOCE與EIDCF中,

CE=CF

<ZDCE=ZDCF,忸A(yù)DCE%ADCF,SDE=DF-,

CD=CD

(2)證明團(tuán)團(tuán)團(tuán)。CE二回。C尸=135°團(tuán)國(guó)C0F+回廠二180°-135°=45°,

WCDF^CDE=45°,回團(tuán)聲團(tuán)COE,

CDCF

I3ACDF^>ACED,0—=—,gpCD2=CECF-,

CECD

(3)解：如圖，

E

ADB

0DG0BC,0ACB=9O°,0BC￡)=0ACr>=45",

^S\DGN=^ECN=90°,SGCD=SCDG=45°,ECG=DG

當(dāng)C￡>=2,CF=夜時(shí)，由CD?=CEC/可得，CE=2近,

在Rt^DCG中，CG=DG=CZJ.sinZDCG=2xsin45°=應(yīng)

^ECN^DGN,aENC=@DNG,gACEV^AGD?/,

廣CNCE2&c

0—=——=-^=2,出GN=—CG=J,

GNDGV233

22

^DN=^GN+DG=)2+(回2=竿

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理,

作出適當(dāng)?shù)妮o助線，并熟記相似三角形的判定條件與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?浙江紹興?九年級(jí)期末)如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩

個(gè)相似三角形互為母子三角形.

AA

（1）如果△但與△ABC互為母子三角形，則七的值可能為（）

AB

A.2B.1C.2或g

（2）已知：如圖1,“WC中，AD是Z&4C的角平分線，AB=2AD,ZADE=NB.

求證：△ABD與AADE互為母子三角形.

（3）如圖2,AABC中，AD是中線，過射線G4上點(diǎn)E作EG//BC,交射線ZM于點(diǎn)G,

4/7

連結(jié)BE,射線8E與射線ZM交于點(diǎn)尸，若AAGE與AADC互為母子三角形.求黑的值.

GF

4G1

【答案】（1）C；（2）見解析；（3）=彳或3.

GF3

【分析】（1）根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似得出再根據(jù)AB=2仞從而得出結(jié)

論；（3）根據(jù)題意畫出圖形，分當(dāng)G,E分別在線段AD,AC上時(shí)和當(dāng)G,E分別在射線D4,C4

上時(shí)兩種情況加以討論；

r）p1

【詳解】（1）回ADE尸與AAFC互為母子三角形，回不=彳或2故選：C

AB2

（2）是"4C的角平分線，:.ZBAD=ZCAD,■,■ZADE=ZB,:.^ABD^AADE.

又；45=240,.”至￡＞與“40￡T互為母子三角形.

（3）如圖，當(dāng)G,E分別在線段隹＞,AC上時(shí)，

BDC

F

G

A

???△AGE與△ADC互為母子三角形，—=2,:.AG=DG,

GEAG

???AT＞是中線，:.BD=CD,又?：GEIIBC,.-.AGEF^ADBF.

DFDBCDAQ

:.DG=3GF,/.—=3.

GF-GE-GEGF

如圖，當(dāng)G,E分別在射線QAC4上時(shí),

rr\Ar)ii

???△AG石與△ADC互為母子三角形，——=——=2,/.AG=-AD=-DG

GEAG23f

?.AD是中線，:.BD=CD,又?：GEI/BC,.\Z\GEF^Z\DBF.

DFDBCDAG1……AGI-.

:.DG=GF,「口綜上所述，—

~GF~~GE~~GECrrJCjr3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新

生事物的能力.準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件，在分析

與解決問題的過程中，要考慮全面，進(jìn)行分類討論，避免漏解.

4.（2022.浙江中考模擬）如圖，在AABC中，0ACB=9O°,CD0AB.

（1）圖1中共有對(duì)相似三角形，寫出來(lái)分別為—（不需證明）：

（2）已知AB=5,AC=4,請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng)：

（3）在（2）的情況下，如果以AB為X軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)

系（如圖2）,若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出

發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)即刻同

時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與團(tuán)ABC相

似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

c

【答案】（1）3,AABCEIAACD,AABCEACBD,AACDEACBD；（2）—；（3）存在，（—，-）,

5402

（92）

8,10

【分析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似即可得到3對(duì)相似三角形，分別為：

0ABC00ACD,0ABC0SCBD,回ACDH3CBD.（2）先在回ABC中由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)

E1ABC的面積不變得到;AB?CD=；AC?BC,即可求出CD的長(zhǎng).（3）由于回B公共，所以以點(diǎn)

B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與MBC相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①OPQBEHACB；②EIQPBEEACB.

【詳解】解：（1）圖1中共有3對(duì)相似三角形，分別為：回ABCB3ACD,回ABCBBCBD,回ACDBBCBD.

證明：0CD0AB,00ADC=0ACB=9O",

又a3A=[3A,00ADC00ACB

同理可證：13ABeGBCBD,0ACD00CBD.

故答案為：3；回ABCB3ACD,0ABC00CBD,0ACD00CBD.

（2）如圖2中，在13ABe中，H3ACB=90°,AB=5,AC=4,

團(tuán)BC=y/AB2-AC2=752-42=3.

WK311ACBC12

EHABC的面積MKAB-CDMKAJBC,0CD=-------------=—.

22AB5

（3）存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與回ABC相似，理由如下：

12Q

在mBOC中，EI0COB=9OO,BC=3,OC=y,[3OB=-.

分兩種情況：①當(dāng)I3BQP=9O。時(shí)，如圖2①，止匕時(shí)EIPQBEBACB,

DDBO3-rtQ9o15

[S—=—,0——=—,解得t=—,BPBQ=CP=~,^\BP=BC-CP=3——=—.

ABBC538888

在回BPQ中，由勾股定理，得PQ=JBP?一BQ?=J(&_(|)2=”點(diǎn)P的坐標(biāo)為啜，|)；

BpB03_tt

②當(dāng)EIBPQ=90°時(shí)，如圖2②，止匕時(shí)EIQPBEBACB,回一=—,0—=-,

一JBCAB35

解得t=U,gpBQ=CP=-,BP=BC-CP=3--=-,

8888

15

PEBOPEQ9

過點(diǎn)P作PE取軸于點(diǎn)E.團(tuán)國(guó)QPB團(tuán)團(tuán)ACB,團(tuán)——=—,BP-7y=—,國(guó)PE=—.

COABU510

y

在回BPE中，BE=yJPB2-PE2=J(-)2-(—)2=—,

V81040

927999

0OE=OB-BE=,團(tuán)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7，/)，

5408810

77aQQ

綜上可得，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（而，—）;（―,—）.

【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考

題型.

模型2."A”字模型

【模型解讀與圖示】

“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角）,

再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似.

BCBC

1.（2022?湖南懷化?中考真題）如圖，MBC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若SAADE

=2,貝USAABC=.

DF1

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求得。E0BC,笑=從而求得蜘。E0MBC,然后利用相

nC2

似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：配、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則DE為中位線，

所以DEHBC,=：所以黑尸=；

BC2、AABC"

B\SAADE=2,回S/*8c=8故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查中位線及平行線性質(zhì)，本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)三角形中位線及平

行線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的掌握.

2.（2022?浙江杭州,中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,AC,BC上，

連接OE,E尸，已知四邊形BFED是平行四邊形，豢=：.（1）若AB=8,求線段AD的長(zhǎng).⑵

若AADE的面積為1,求平行四邊形BFE。的面積.

【分析】（1）利用平行四邊形對(duì)邊平行證明△45EsA45c,得到=即可求出；

BCAB

（2）利用平行條件證明AAPESAEFC,分別求出AADE與AEFC、△旬￡1與4筋（7的相似比，通

過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出現(xiàn)匹八S.ABC，最后通過

S^BFED=S.ABC-S,EFC—^ADE求出.

（1）回四邊形BFED是平行四邊形,

DEAD

^\DE//BC,^AADE^AABC,團(tuán)---------，

BCAB

噴=5嚏V，回3：叫x8=2；

⑵回四邊形BFED是平行四邊形，^DE//BC,EFIIAB,DE=BF,

s

[?]ZAED=ZECF,ZEAD=ZCEF,回團(tuán)

S&EFC

DE1

團(tuán)——=-,

BC4DE=BF,RFC=BC—DE=4DE—DE=3DE,

「DEDE

團(tuán)---=-----

FC3DE

BAADE^AABC,要

BC

回ZADE=1，回S?EFC=9,S4ABe=16,

團(tuán)S^BFED=S4ABe—S^EFC—S^ADE=16—9—1=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運(yùn)

用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關(guān)鍵.

3.（2022?浙江寧波?中考真題）⑴如圖1,在AABC中，D,E,F分別為AB,AC,BC上的點(diǎn)，

DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)G,求證：DG=EG.

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接C2CG.若CG，￡>E,CD=6,AE=3,求名DF的值.

BC

⑶如圖3,在口458中，/4￡^=45。,4。與8。交于點(diǎn)0,E為AO上一點(diǎn)，EG〃BD交AD

于點(diǎn)G,EF_LEG交BC于點(diǎn)F.若NEG產(chǎn)=40。,FG平分NEBC,產(chǎn)G=10,求郎的長(zhǎng).

圖1圖2