數(shù)學(xué)高考考熱點- 近五年高考數(shù)學(xué)真題專項分類匯編9講之5-數(shù)列、不等式

考點5數(shù)列、不等式——五年（2020—2024）高考數(shù)學(xué)真題專項分類匯編學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2023年全國高考真題]記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則()A.120 B.85 C.-85 D.-1201．答案：C解析：解法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意易知，則，化簡整理得.所以.故選C.解法二：易知，，，，……為等比數(shù)列，所以，解得或.當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，結(jié)合得，化簡可得，不成立，舍去.所以，故選C.2．[2023年全國高考真題]記為數(shù)列的前n項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．答案：C解析：若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，所以，所以，所以，為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，即甲乙；若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為t，則，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，所以，所以，為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，即甲乙，所以甲是乙的充要條件，故選C.3．[2022年全國高考真題]圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，.已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則()A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.93．答案：D解析：如圖，連接OA，延長與x軸交于點，則.因為，，成公差為0.1的等差數(shù)列，所以，，所以，，，即，，.又，所以，所以.所以，解得，故選D.二、多項選擇題4．[2022年全國高考真題]若x，y滿足，則()A. B. C. D.4．答案：BC解析：由基本不等式可得，，從而.結(jié)合題設(shè)條件，可得，以及，即，所以選項B和C正確.取，則，且，因此選項A不正確.取，，則，且，因此選項D不正確.故正確選項為B和C.5．[2020年全國高考真題]已知,且,則()A. B. C. D.5．答案：ABD解析：A項,,故A項正確；B項,,因為,所以,所以,所以,故B項正確；C項,,故C項錯誤；D項,因為,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,所以,故D項正確.故本題正確答案為ABD.6．[2021年全國高考真題]設(shè)正整數(shù)，其中，記，則()A. B.C. D.6．答案：ACD解析：本題考查對新定義的理解.，假設(shè)，，…，，中有m個1（），則.又，則，，…，，中也有m個1，則，故A項正確；當(dāng)時，，，所以，又，所以，故B項錯誤；，，由A知，，所以，所以，故C項正確；因為，所以，，…，，中有n個1，所以，故D項正確.三、填空題7．[2024年全國高考真題]記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則_________.7．答案：95解析：因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：95.四、雙空題8．[2021年全國高考真題]某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為__________；如果對折n次，那么__________.8．答案：5；解析：記對折n次可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為數(shù)列，依題意有，，對折3次，可以得到，，，四種規(guī)格的圖形，即；對折4次，可以得到，，，，五種規(guī)格的圖形，即.于是數(shù)列的通項公式為.記對折n次可以得到不同規(guī)格圖形的面積之和為，依題意有，，，，于是數(shù)列的通項公式為.則，所以，兩式作差得，.所以.五、解答題9．[2022年全國高考真題]已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且.（1）證明：；（2）求集合中元素的個數(shù).9．答案：（1）證明見解析（2）9解析：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由，知，所以.由，知，所以，即.故.（2）由（1）知.由知，即，即.因為，所以，解得.故集合中元素的個數(shù)為9.10．已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求.10．答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)的公比為q.由題設(shè)得，.解得（舍去），.由題設(shè)得.所以的通項公式為.（2）由（1）可知，則，記，則.11．記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值.11．答案：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以.（2）結(jié)合（1）可知，，則等價于，解得或，又，所以，故使成立的n的最小值為7.解析：12．已知數(shù)列滿足，

（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；

（2）求的前20項和.12．答案：（1）因為2n為偶數(shù)，所以，，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以，，.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，，所以的前20項和為.由（1）可知，，所以的前20項和為.解析：13．[2024秋·高二·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試校考]記為數(shù)列的前n項和，已知，是公差為的等差數(shù)列.

（1）求的通項公式；

（2）證明：.13．答案：（1），（2）證明見解析解析：（1）法一：因為，所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以.因為當(dāng)時，，所以，所以，整理得，所以，所以，又也滿足上式，所以，則，所以，又也滿足上式，所以.法二：因為，所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以，所以.因為當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以，又也滿足上式，所以.（2）因為，所以，所以.14．[2023年全國高考真題]已知為等差數(shù)列，.記，分別為數(shù)列，的前n項和，若，.（1）求的通項公式；（2）證明：當(dāng)時，.14．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因為，所以，，.因為，，所以，整理得，解得，所以的通項公式為.（2）由（1）知，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時，.當(dāng)時，，所以.當(dāng)n為偶數(shù)時，.當(dāng)時，，所以.綜上可知，當(dāng)時，.15．[2023年全國高考真題]設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，令，記，分別為數(shù)列，的前n項和.（1）若，，求的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求d.15．答案：（1）（2）解析：（1）因為，所以，所以，所以，所以.因為，所以，所以，.因為，所以，解得或，因為，所以.所以的通項公式為.（2）因為，且為等差數(shù)列，所以，即，所以，所以，解得或.①當(dāng)時，，所以，，.因為，所以，即，解得或（舍去）.②當(dāng)時，，所以，，.因為，所以，即，解得（舍去）或（舍去）.綜上，.16．[2024年全國高考真題]設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列，，…，是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列，，…，是可分數(shù)列.（1）寫出所有的，，使得數(shù)列，，…，是可分數(shù)列；（2）當(dāng)時，證明：數(shù)列，，…，是可分數(shù)列；（3）從1，2，…，中一次任取兩個數(shù)i和，記數(shù)列，，…，是可分數(shù)列的概率為，證明：.16．答案：（1），，（2）證明見解析（3）證明見解析解析：（2）證明：當(dāng)時，刪去，，其余項可分為以下3組：，，，為第1組，，，，為第2組，，，，為第3組，當(dāng)時，刪去，，其余項可分為以下m組：，，，為第1組，，，，為第2組，，，，為第3組，，，，為第4組，，，，為第5組，……，，，，為第m組，可知每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，故數(shù)列，，…，是可分數(shù)列.（3）證明：易知，，…，是可分數(shù)列是可分數(shù)列，其中.當(dāng)時，刪去，，其余項從小到大，每4項分為1組，可知每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，故數(shù)列1，2，…，是可分數(shù)列，可分為，…，