離散型隨機(jī)變量及其分布列 教學(xué)設(shè)計(jì)

第七章隨機(jī)變量及其分布7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)分布列的定義、性質(zhì)、應(yīng)用和兩點(diǎn)分布模型。它作為概率與統(tǒng)計(jì)的橋梁與紐帶，既是概率的延伸，也是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用，是本章的關(guān)鍵知識(shí)之一，是后續(xù)第三節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值和方差的基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)理解離散型隨機(jī)變量的含義，會(huì)用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象；掌握離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法及性質(zhì)，了解兩點(diǎn)分布.會(huì)求某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列.三、教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義.2.難點(diǎn)會(huì)求某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列.四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)引入求隨機(jī)事件的概率時(shí)，我們往往需要為隨機(jī)試驗(yàn)建立樣本空間，并會(huì)涉及樣本點(diǎn)和隨機(jī)事件的表示問題。類似函數(shù)中數(shù)集與數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果我們?cè)陔S機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與實(shí)數(shù)集之間建立某種對(duì)應(yīng)，將不僅可以為隨機(jī)事件的表示帶來方便，而且能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究問題。設(shè)計(jì)意圖：新寓于舊，借助新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系適當(dāng)拓展獲取新知識(shí)（二）創(chuàng)設(shè)情境問題1擲一枚骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)能用數(shù)字表示嗎？能.可以用實(shí)數(shù)表示“擲出的點(diǎn)數(shù)為”.問題2某人射擊一次,可能出現(xiàn):命中0環(huán),命中1環(huán),，命中10環(huán)等結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？能.可以用實(shí)數(shù)t(t=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)表示命中的環(huán)術(shù).問題3拋擲一枚硬幣，有“正面朝上”和“反面朝上”兩種可能結(jié)果，這種試驗(yàn)結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？X=0，正面朝上1，反面朝上能.可以用0表示“正面朝上”，用X=0，設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)的”觀察事物，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象“數(shù)學(xué)地”思考，把問“數(shù)學(xué)化”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。（三）活動(dòng)探究1對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，總可以把它的每個(gè)樣本點(diǎn)與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng).即通過引入一個(gè)取值依賴于樣本點(diǎn)的變量X，來刻畫樣本點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)樣本點(diǎn)的數(shù)量化.因?yàn)樵陔S機(jī)試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，所以變量X的取值也具有隨機(jī)性.思考：考察下列隨機(jī)試驗(yàn)及其引入的變量：試驗(yàn)1：從100個(gè)電子元件（至少含3個(gè)以上次品）中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，變量X表示三個(gè)元件中的次品數(shù)；試驗(yàn)2：拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間各是什么？各個(gè)樣本點(diǎn)與變量的值是如何對(duì)應(yīng)的？變量X，Y有哪些共同的特征？對(duì)于試驗(yàn)1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1構(gòu)成的長(zhǎng)度為3的字符串表示樣本點(diǎn)，則樣本空間.各樣本點(diǎn)與變量X的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示.對(duì)于試驗(yàn)2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出現(xiàn)“正面朝上”，則樣本空間，包含無窮多個(gè)樣本點(diǎn).各樣本點(diǎn)與變量Y的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示.在上面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).變量X，Y有如下共同點(diǎn)：（1）取值依賴于樣本點(diǎn)；（2）所有可能取值是明確的.設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例抽象出隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念，讓學(xué)生感受到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)。定義生成1.隨機(jī)變量的定義一般地對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的定義可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.思考：能舉出一些離散型隨機(jī)變量的例子嗎？教師舉例：（1）某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù)X（2）在一個(gè)裝有8個(gè)紅球，4個(gè)白球的袋子中，隨機(jī)摸出4個(gè)球，這4個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)Y設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量的定義，引出連續(xù)型隨機(jī)變量。3.連續(xù)型隨機(jī)變量的定義連續(xù)型隨機(jī)變量是指可能取值充滿了某個(gè)區(qū)間、不能一一列舉的隨機(jī)變量活動(dòng)探究2探究2：拋擲一枚骰子，所得的點(diǎn)數(shù):X有哪些值？X取每個(gè)值的概率是多少？定義生成定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為，我們稱X取每一個(gè)值的概率，為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.表示：解析法：，Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn表格法：圖像法：性質(zhì)：設(shè)計(jì)意圖：通過活動(dòng)探究2，順延學(xué)生思維發(fā)展，引出離散型隨機(jī)變量概率分布列的定義。例題評(píng)講例1.一批產(chǎn)品中次品率為5%，隨機(jī)抽取1件，定義求X的分布列.解：根據(jù)X的定義，“抽到次品”，“抽到正品”，X的分布列為，.對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么X的分布列如下表所示.X01P1-pp我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0-1分布.實(shí)際上，X為在一次試驗(yàn)中成功（事件A發(fā)生）的次數(shù)（0或1）.像購(gòu)買的彩券是否中獎(jiǎng)，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，都可以用兩點(diǎn)分布來描述.例2.某學(xué)校高二年級(jí)有200名學(xué)生，他們的體育綜合測(cè)試成績(jī)分5個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如表所示.等級(jí)不及格及格中等良優(yōu)分?jǐn)?shù)12345人數(shù)2050604030從這200名學(xué)生中任意選取1人，求所選同學(xué)分?jǐn)?shù)X的分布列，以及.解：由題意知，X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其可能取值為1，2，3，4，5，且“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“優(yōu)”.根據(jù)古典概型的知識(shí)，可得X的分布列，如下表所示.X12345P.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟：（1）根據(jù)問題設(shè)立一個(gè)隨機(jī)變量X，并寫出隨機(jī)變量X的所有可能取值（2）利用古典概型，求隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值所對(duì)應(yīng)的概率（3）用解析式或者表格表示X的分布列例3.一批筆記本電腦共有10臺(tái)，其中A品牌3臺(tái)，B品牌7臺(tái)，如果從中隨機(jī)挑選2臺(tái)，求這2臺(tái)電腦中A品牌臺(tái)數(shù)的分布列.分析：因?yàn)锳品牌一共有3臺(tái)，隨機(jī)挑選2臺(tái)，可能出現(xiàn)A品牌的臺(tái)數(shù)分別是0,1,2。則設(shè)挑選的2臺(tái)電腦中A品牌的臺(tái)數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2根據(jù)組合數(shù)知識(shí)可知，一共有10臺(tái)電腦，從中隨機(jī)挑選2臺(tái)可以有C102種取法，所這個(gè)試驗(yàn)的所有基本可能結(jié)果有C102種。而X=0代表著取到0臺(tái)A品牌，2臺(tái)都是B品牌，則有C30C解：設(shè)挑選的2臺(tái)電腦中A品牌的臺(tái)數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2.根據(jù)古典概型的知識(shí)，可得X的分布列：用表格表示X的分布列為：X012P教師總結(jié)：關(guān)鍵是弄清楚該試驗(yàn)的樣本空間，以及每一個(gè)x的取值所包含的樣本點(diǎn)，結(jié)合排列組合的知識(shí)求解，并應(yīng)用古典概型求概率，結(jié)合分布列的性質(zhì)驗(yàn)證。課堂小結(jié)1、隨機(jī)變量定義隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用大寫英文字母X,Y,Z…表示。2、隨機(jī)變量的分類①離散型隨機(jī)變量:X的取值可一、一列出②連續(xù)型隨機(jī)變量:X可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值3、離散型隨機(jī)變量的概率分布列①表示:解析式法、表格法、圖像法②性質(zhì):設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。（七）思考作業(yè)1．（多選題）若用隨機(jī)變量X表示從一個(gè)裝有1個(gè)白球、3個(gè)黑球、2個(gè)黃球的袋中取出的4個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，則X的可能取值為()A．0 B．1C．2 D．3解析：由于白球和黃球的個(gè)數(shù)和為3，所以4個(gè)球是黑球的個(gè)數(shù)分別可能是1,2,3，故選BCD.2．設(shè)隨機(jī)變量Y的分布列為Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)則“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率為()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)解析：∵eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，∴m＝eq\f(1,2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(3,4).3.老師要從10