江蘇省南通市市區(qū)+啟東市高一上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

高一期中質(zhì)量檢測卷·數(shù)學(xué)學(xué)科注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識確定正確答案.【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結(jié)論而不是否定條件，所以命題“，”的否定是“，”.故選：A2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的知識求得正確答案.【詳解】集合是奇數(shù)集，所以.故選：B3.清朝末年，面對清政府的腐朽沒落，梁啟超在《少年中國說》中喊出“少年智則國智，少年富則國富，少年強(qiáng)則國強(qiáng)”的口號．其中“國強(qiáng)”是“少年強(qiáng)”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.【詳解】少年強(qiáng)則國強(qiáng)；國強(qiáng)不一定少年強(qiáng)，所以“國強(qiáng)”是“少年強(qiáng)”的必要條件.故選：B4.已知，，，則的最小值為（）A.36 B.25 C.16 D.9【答案】C【解析】【分析】利用“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式求得正確答案.【詳解】由兩邊除以得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：C5.命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先寫出原命題的否定，然后根據(jù)存在量詞命題的真假性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，命題“，”為真命題，所以，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以.故選：A6.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)解析式，由函數(shù)有意義的條件，求函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)，則，有意義，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.7.聲強(qiáng)是表示聲波強(qiáng)度的物理量，由于聲強(qiáng)變化范圍非常大，數(shù)量級相差很多，因此通過聲強(qiáng)級來表示聲強(qiáng)強(qiáng)度大小，規(guī)定聲強(qiáng)級（單位：分貝），其中為標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)．若聲強(qiáng)是聲強(qiáng)的200倍，則聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級比聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級大多少分貝（結(jié)果保留整數(shù)）？（）（）A.28 B.27 C.23 D.14【答案】C【解析】【分析】設(shè)聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級為，聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級為，則，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級為，聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級為，則,由題知,所以.故選：.8.已知函數(shù)，對任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分段函數(shù)單調(diào)遞減條件，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對任意的，都有，可得在R上單調(diào)遞減，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)有（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以與是同一函數(shù)，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，的值域是，的值域是，所以不是同一函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，、的定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域都相同，所以是同一函數(shù)，D選項(xiàng)正確.故選：AD10.下列說法正確的有（）A.若，則函數(shù)最小值為1B.若，則C.若，，則最小值為3D.已知函數(shù)的解析式為，其值域?yàn)椋瑒t這樣的函數(shù)有9個(gè)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式、不等式的性質(zhì)、函數(shù)等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，但無解，所以等號不成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，則，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，；，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由解得；由，解得；由，解得.要使得值域?yàn)椋瑒t必選、至少選一個(gè)、至少選一個(gè)，所以方法數(shù)有，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.用來表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)，例如，，則．已知是全集，，是的兩個(gè)非空真子集，．（）A.若，則B.若，，則C.若，，，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的定義對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，，所以，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，，，則，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，則，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.已知，則_________．【答案】5【解析】【分析】先求出當(dāng)時(shí)的值，然后將值代入到中，得到的值.【詳解】令，得到.將代入中，即.故答案為：5.13.已知冪函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】對于函數(shù)要滿足系數(shù)為。再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性與指數(shù)的關(guān)系來確定的值。【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的系數(shù)為，所以，解得或。當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)在和上單調(diào)遞減。此時(shí)定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).所以.故答案為：.14.已知函數(shù)有唯一最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的最小值列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于的最小值是，所以在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)單調(diào)遞增，則，整理得，解得.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.設(shè)全集，集合，區(qū)間，其中．（1）若，求，；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，進(jìn)而求得，.（2）根據(jù)充分不必要條件列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，或x>1，所以.【小問2詳解】若“”是“”的充分不必要條件，則，所以，且等號不同時(shí)成立，解得.16.已知函數(shù)，其中．（1）若關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，求的值；（2）求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）或（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由韋達(dá)定理代入即可求解；（2）因式分解，分，，三類討論即可.【小問1詳解】，可得：，由，可得：即：，解得：或【小問2詳解】由，可得：當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為，當(dāng)，即，不等式的解集為：，當(dāng)，即，不等式的解集為：.17.已知函數(shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)．（1）求，的值；（2）證明：在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；（3）解關(guān)于的不等式．【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得；（2）利用立方差公式結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）由奇函數(shù)和遞減函數(shù)解抽象函數(shù)不等式即可；【小問1詳解】由題意可得，即，又x∈?1,1時(shí)，是奇函數(shù)，所以f即，可得，所以，.【小問2詳解】由（1）可得，設(shè)，，①因?yàn)椋?，所以①，即在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù).【小問3詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以原不等式可化為，又在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為.18.某國產(chǎn)車企在自動駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大量投放市場．已知該車型年固定研發(fā)成本為20億元，受到場地和產(chǎn)能等其它因素的影響，該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該車萬臺（）且全部售完，每臺售價(jià)20萬元，每年需投入的其它成本為（單位：億元）．（其中，利潤＝銷售收入－總成本）（1）寫出年利潤（億元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大，并求出最大年利潤；（3）若該企業(yè)當(dāng)年不虧本，求年產(chǎn)量（萬臺）的取值范圍．【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為萬臺時(shí)，該企業(yè)獲利最大，最大年利潤為億元（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤的計(jì)算公式，分別對不同的產(chǎn)量范圍求出利潤函數(shù)的表達(dá)式.（2）在每個(gè)分段上分別求函數(shù)的最大值，比較得出整個(gè)定義域上的最大利潤.（3）對于不虧本的情況，即利潤大于等于，分別在不同分段上求解不等式得出產(chǎn)量的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，銷售收入為億元（每臺售價(jià)萬元，萬臺），總成本為固定研發(fā)成本億元加上其他成本億元.根據(jù)利潤=銷售收入-總成本，可.當(dāng)時(shí)，銷售收入為億元，總成本為億元.則.所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，圖象開口向下，對稱軸.但，所以在這個(gè)區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，所以億元.當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式，有.所以億元，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為萬臺時(shí)，該企業(yè)獲利最大，最大年利潤為億元.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，即，解得.結(jié)合，知道此時(shí)滿足題意.當(dāng)時(shí)，，即，即，令，對稱軸，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且時(shí),.則當(dāng)，恒成立，即恒成立.綜上所得，該企業(yè)當(dāng)年不虧本，則年產(chǎn)量（萬臺）取值范圍為.19.已知函數(shù)，，其中．（1）當(dāng)，時(shí)，請?jiān)谥付ㄖ苯亲鴺?biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象；（2）用表示，中的較大者，記為，則當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（3）用表示，中的較小者，記為，若恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）圖象見解析;（2）（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)，時(shí)，化簡得到分段函數(shù)，在圖象上畫出每一段即可；（2）化簡fx，得出在時(shí)的函數(shù)解析式；找出及時(shí)的取值范圍，進(jìn)而可得到的解析式；（3）在同一直角坐標(biāo)系中畫出、的圖象，進(jìn)而可得到的圖象，由圖可知，進(jìn)而只需及即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,fx的圖象如圖所示【小問2詳解】,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以當(dāng)x>0時(shí),開口向下,對稱軸為,,,