2021-2022學(xué)年湖北省武漢市漢陽區(qū)八年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2021-2022學(xué)年湖北省武漢市漢陽區(qū)八年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列長度的三條線段可以組成三角形的是（）A．3，4，2 B．12，5，6 C．1，5，9 D．5，2，73．下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形4．一個正多邊形的每個內(nèi)角都為120°，則它是（）A．正方形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正八邊形5．用形狀、大小完全相同的下列圖形，不能拼成既無縫隙又不重疊的圖形的是（）A．三角形 B．四邊形 C．正五邊形 D．正六邊形6．根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝67．在測量一個小口圓形容器的壁厚時，小明用“x型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖方法進(jìn)行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，測得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圓形容器的壁厚是（）A．1厘米 B．2厘米 C．5厘米 D．7厘米8．如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，且PC＝4，則PD等于（）A．1 B．2 C．4 D．89．如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)、G分別為AC和BC的中點(diǎn)，D在線段BG上，連接DF．以DF為邊作等邊△DFE，ED的延長線交AB于H，連接EC，則以下結(jié)論：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④當(dāng)D在線段BG上（不與G點(diǎn)重合）運(yùn)動時，DC＝FC+CE．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點(diǎn)M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，則以x，m，n為邊長的三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨x，m，n的值而定二、填空題（每小題3分，共18分）11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．12．如圖，點(diǎn)D在△ABC的BC邊延長線上，∠A＝55°，∠B＝60°，則∠ACD的大小是．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)P（a，b），則a與b的數(shù)量關(guān)系是．14．如圖，正六邊形A1A2A3A4A5A6內(nèi)部有一個正五邊形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直線l經(jīng)過點(diǎn)B2，B3，則圖中α的大小是．15．如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一個三角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．將三角尺繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)時，給出下列結(jié)論：①線段AE與AF的長度之和為定值；②∠BEO與∠OFC的大小之和為定值；③四邊形AEOF的面積為定值．其中正確的序號是．16．若n個等腰三角形的頂角α1、α2、…、αn兩兩不等，它們的共同特點(diǎn)是：被一條直線分得的兩個較小三角形也是等腰三角形，則α1+α2+…+αn＝．三、解答題：（共8小題，共72分）17．已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+20°，求△ABC各個內(nèi)角的度數(shù)．18．如圖AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求證：∠A＝∠D．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時，求∠DEF的度數(shù)．20．如圖，在邊長為1的小正方形所組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D，E都在小正方形的頂點(diǎn)處，請用無刻度直尺按要求完成作圖（保留連線的痕跡）．（1）將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF（其中點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F），畫出△ABF；（2）連接EF，畫線段EF的中點(diǎn)M；（3）在線段BC上畫點(diǎn)G，使得GE＝GF．21．如圖，三角形紙片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，折痕為BD（點(diǎn)D在線段AC上且不與A，C重合）．（1）如圖①，若點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，求△ADE的周長；（2）如圖②，若點(diǎn)C落在AB邊下方的點(diǎn)E處，記△ADE的周長為L，直接寫出L的取值范圍．22．定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．23．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點(diǎn)D．（1）求證：△BCD為等腰三角形；（2）若∠BAC的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，如圖2，求證：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分線AE交CB延長線于點(diǎn)E，請你探究（2）中的結(jié)論是否仍然成立？直接寫出正確的結(jié)論．24．等邊△ABC在平面直角坐標(biāo)系中如圖1所示，點(diǎn)B，C在x軸上，點(diǎn)A在y軸正半軸上．（1）如圖1，若P為AB的中點(diǎn)，連接PC交y軸于點(diǎn)D，問線段AD與PD有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）將圖1中的△ADC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜180°），點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，P為EB的中點(diǎn)．①若將△ADC旋轉(zhuǎn)至圖2位置，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．②若點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），請求出在將△ADC旋轉(zhuǎn)過程中，DP取最小值時點(diǎn)E的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，符合題意；故選：D．2．下列長度的三條線段可以組成三角形的是（）A．3，4，2 B．12，5，6 C．1，5，9 D．5，2，7【分析】看哪個選項(xiàng)中兩條較小的邊的和大于最大的邊即可．解：A、2+3＞4，能構(gòu)成三角形；B、5+6＜12，不能構(gòu)成三角形；C、1+5＜9，不能構(gòu)成三角形；D、5+2＝7，不能構(gòu)成三角形．故選：A．3．下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．解：具有穩(wěn)定性的圖形是三角形．故選：A．4．一個正多邊形的每個內(nèi)角都為120°，則它是（）A．正方形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正八邊形【分析】利用多邊形內(nèi)角和公式，根據(jù)性質(zhì)列出方程即可．解：設(shè)此多邊形邊數(shù)為x，根據(jù)題意，得（x﹣2）×180＝120?x，解得x＝6，所以此圖形是正六邊形．故選：C．5．用形狀、大小完全相同的下列圖形，不能拼成既無縫隙又不重疊的圖形的是（）A．三角形 B．四邊形 C．正五邊形 D．正六邊形【分析】任意三角形的內(nèi)角和是180°，放在同一頂點(diǎn)處6個即能組成鑲嵌．同理四邊形的內(nèi)角和是360°，也能組成鑲嵌．正六邊形的每個內(nèi)角是120°，正五邊形每個內(nèi)角是180°﹣360°÷5＝108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不適用的是正五邊形．解：A、任意三角形的內(nèi)角和是180°，放在同一頂點(diǎn)處6個即能密鋪；B、任意四邊形的內(nèi)角和是360°，放在同一頂點(diǎn)處4個即能密鋪；C、正五邊形的每一個內(nèi)角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，所以不能密鋪；D、正六邊形每個內(nèi)角是120度，能整除360°，可以密鋪．故選：C．6．根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6【分析】根據(jù)全等三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系一一判斷即可．解：A、不滿足三邊關(guān)系，本選項(xiàng)不符合題意．B、邊邊角三角形不能唯一確定．本選項(xiàng)不符合題意．C、兩角夾邊三角形唯一確定．本選項(xiàng)符合題意．D、一邊一角無法確定三角形．本選項(xiàng)不符合題意，故選：C．7．在測量一個小口圓形容器的壁厚時，小明用“x型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖方法進(jìn)行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，測得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圓形容器的壁厚是（）A．1厘米 B．2厘米 C．5厘米 D．7厘米【分析】只要證明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解決問題．解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB＝CD＝5厘米，∵EF＝7厘米，∴圓柱形容器的壁厚是×（7﹣5）＝1（厘米），故選：A．8．如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，且PC＝4，則PD等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】作PE⊥OA于E，如圖，先利用平行線的性質(zhì)得∠ECP＝∠AOB＝30°，則PE＝PC＝2，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PD的長．解：作PE⊥OA于E，如圖，∵CP∥OB，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，在Rt△EPC中，PE＝PC＝×4＝2，∵P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD＝PE＝2．故選：B．9．如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)、G分別為AC和BC的中點(diǎn)，D在線段BG上，連接DF．以DF為邊作等邊△DFE，ED的延長線交AB于H，連接EC，則以下結(jié)論：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④當(dāng)D在線段BG上（不與G點(diǎn)重合）運(yùn)動時，DC＝FC+CE．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得BF⊥AC，可判斷①，由等邊三角形的性質(zhì)可求∠A+∠FDH＝180°，由四邊形內(nèi)角和定理可得∠AHD+∠AFD＝180°，可判斷②，由“SAS”可證△CFE≌△GFD，可得CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，可判斷③和④，即可求解．解：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，∴BF⊥AC，故①正確，∵△ABC和△EFD是等邊三角形，∴∠A＝∠EDF＝60°＝∠EFD，EF＝FD，∴∠FDH＝120°，∴∠A+∠FDH＝180°，∴∠AHD+∠AFD＝180°，故②正確；如圖，連接FG，∵F、G分別為AC和BC的中點(diǎn)，∴CG＝AC＝CF＝BC，又∵∠FCG＝60°，∴△CFG是等邊三角形，∴CF＝FG＝CG，∠FCG＝60°＝∠FGC，∴∠FGD＝120°，∵∠CFG＝∠EFD＝60°，∴∠CFE＝∠GFD，在△CFE和△GFD中，，∴△CFE≌△GFD（SAS），∴CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，∴CD＝CG+GD＝CF+CE，∠BCE＝60°，故③④正確，故選：D．10．如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點(diǎn)M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，則以x，m，n為邊長的三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨x，m，n的值而定【分析】將△ABM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBH．連接HN．想辦法證明∠HCN＝120°HN＝MN＝x即可解決問題；解：將△ABM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBH．連接HN．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MBN＝30°，∴∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n為邊長的三角形△NCH是鈍角三角形，故選：C．二、填空題（每小題3分，共18分）11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2.3）．【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可直接得到答案．解：點(diǎn)P（2，3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）．12．如圖，點(diǎn)D在△ABC的BC邊延長線上，∠A＝55°，∠B＝60°，則∠ACD的大小是115°．【分析】直接利用三角形外角的性質(zhì)解答即可；解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A＝55°，∠B＝60°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝55°+60°＝115°，故答案為：115°．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)P（a，b），則a與b的數(shù)量關(guān)系是a+b＝0．【分析】根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)P在第二象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號，可得a與b的數(shù)量關(guān)系為互為相反數(shù)．解：根據(jù)作圖方法可得，點(diǎn)P在第二象限角平分線上，∴點(diǎn)P到x軸、y軸的距離相等，即|b|＝|a|，又∵點(diǎn)P（a，b）第二象限內(nèi)，∴b＝﹣a，即a+b＝0，故答案為：a+b＝0．14．如圖，正六邊形A1A2A3A4A5A6內(nèi)部有一個正五邊形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直線l經(jīng)過點(diǎn)B2，B3，則圖中α的大小是48°．【分析】設(shè)l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六邊形的性質(zhì)得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，由正五邊形的性質(zhì)得出∠B2B3B4＝108°，則∠B4B3D＝72°，由平行線的性質(zhì)得出∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，再由四邊形內(nèi)角和即可得出答案．解：設(shè)l交A1A2于E、交A4A3于D，如圖所示：∵六邊形A1A2A3A4A5A6是正六邊形，六邊形的內(nèi)角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，∵五邊形B1B2B3B4B5是正五邊形，五邊形的內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4＝＝108°，∴∠B4B3D＝180°﹣108°＝72°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，∴α＝∠A2ED＝360°﹣∠A1A2A3﹣∠A2A3A4﹣∠EDA3＝360°﹣120°﹣120°﹣72°＝48°，故答案為：48°．15．如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一個三角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．將三角尺繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)時，給出下列結(jié)論：①線段AE與AF的長度之和為定值；②∠BEO與∠OFC的大小之和為定值；③四邊形AEOF的面積為定值．其中正確的序號是①、②、③．【分析】連接AO，利用ASA證明△EOA≌△FOC，得EA＝FC，可對①②③進(jìn)行判斷．解：如圖，連接AO，∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°，∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC，在△EOA與△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，故①正確；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，故②正確；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四邊形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝，故③正確，故答案為：①、②、③．16．若n個等腰三角形的頂角α1、α2、…、αn兩兩不等，它們的共同特點(diǎn)是：被一條直線分得的兩個較小三角形也是等腰三角形，則α1+α2+…+αn＝．【分析】根據(jù)題意，符合條件的等腰三角形只有4個：頂角分別是36°，90°，108°，．解：（1）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，求∠BAC的度數(shù)．∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∵∠CDA＝2∠B，∴∠CAB＝3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°．（2）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，求∠BAC的度數(shù)．∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB∴∠BAC＝2∠B∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°．（3）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，求∠BAC的度數(shù)．∵AB＝AC，BD＝AD＝BC，∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C∵∠BDC＝2∠A，∴∠C＝2∠A＝∠B，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°．（4）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC，求∠BAC的度數(shù)．假設(shè)∠A＝x，AD＝BD，∴∠DBA＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝，∵CD＝BC，∴∠BDC＝2x＝∠DBC＝﹣x，解得：x＝．∴∠A＝．∴α1+α2+…+αn＝108°+90°+36°+＝．故答案為：．三、解答題：（共8小題，共72分）17．已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+20°，求△ABC各個內(nèi)角的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解決此題．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+∠A+20°＝180°．∴4∠A＝160°．∴∠A＝40°．∴∠B＝2∠A＝80°，∠C＝∠A+20°＝60°．18．如圖AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求證：∠A＝∠D．【分析】先證明AB＝DE，再根據(jù)“SSS”證明△ABC≌△DEF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【解答】證明：∵AE＝BD，∴AE+BE＝DB+BE，即AB＝DE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠D．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時，求∠DEF的度數(shù)．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用邊角邊定理證明△DBE≌△ECF，然后即可求證△DEF是等腰三角形．（2）根據(jù)∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根據(jù)△DBE≌△ECF，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠DEF的度數(shù)．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°20．如圖，在邊長為1的小正方形所組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D，E都在小正方形的頂點(diǎn)處，請用無刻度直尺按要求完成作圖（保留連線的痕跡）．（1）將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF（其中點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F），畫出△ABF；（2）連接EF，畫線段EF的中點(diǎn)M；（3）在線段BC上畫點(diǎn)G，使得GE＝GF．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF；（2）取格點(diǎn)Q，連接CQ與EF交于點(diǎn)M即可；（3）取格點(diǎn)H，連接AH交BC于點(diǎn)G即可．【解答】21．如圖，三角形紙片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，折痕為BD（點(diǎn)D在線段AC上且不與A，C重合）．（1）如圖①，若點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，求△ADE的周長；（2）如圖②，若點(diǎn)C落在AB邊下方的點(diǎn)E處，記△ADE的周長為L，直接寫出L的取值范圍7＜L＜10．【分析】（1）由翻折變換的性質(zhì)可得CE＝CD，BE＝BC，再求出AE＝2，AD+DE＝AC＝5，然后由三角形的周長公式計(jì)算即可；（2）由翻折變換的性質(zhì)可得CE＝CD，BE＝BC，再求出AE＝2，AD+DE＝AC＝5，然后由三角形的三邊關(guān)系求出2＜AE＜5，即可求解．解：（1）∵折疊△ABC，頂點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，∴DE＝DC，BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，∵AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，∴△AED的周長＝AD+DE+AE＝5+2＝7；（2）∵折疊△ABC，頂點(diǎn)C落在AB邊下方的點(diǎn)E處，∴DE＝DC，BE＝BC＝6，在△ADE中，AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，AE＜AD+DE，即AE＜5．在△ABE中，AE＞AB﹣BE，即AE＞2．∴2＜AE＜5，∴2+AD+DE＜AE+AD+DE＜5+AD+DE，即2+5＜L＜5+5，即7＜L＜10，故答案為：7＜L＜10．22．定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是20°；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【分析】（1）①根據(jù)遙望角的定義得到∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；②根據(jù)遙望角的定義得到∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）由∠ABC＝∠ADC＝90°，可得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DFC+∠DBC＝180°，由∠DFC+∠DFE＝180°，得到∠DFE＝∠DBC，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD＝∠AFD，進(jìn)而得到∠AFD＝∠DFE，根據(jù)遙望角的定義以及三角形的外角性質(zhì)、圓周角定理證明∠DAF＝∠E，再利用AAS證明△DAF≌△DEF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②∠E＝α，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝α，∴∠E＝α；（2）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．23．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點(diǎn)D．（1）求證：△BCD為等腰三角形；（2）若∠BAC的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，如圖2，求證：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分線AE交CB延長線于點(diǎn)E，請你探究（2）中的結(jié)論是否仍然成立？直接寫出正確的結(jié)論．【分析】（1）如圖1，先根據(jù)三角形內(nèi)角和得：∠ABC＝70°，由角平分線及已知角可得：∠DBC＝∠ACB＝35°，可得結(jié)論；（2）證法一：如圖2，在AC上截取AH＝AB，連接EH，證明△ABE≌△AHE，則BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC＝AD+CD＝BD+AD；證法二：如圖3，在AB的延長線上取AF＝AC，連接EF，證明△AEF≌△AEC，則∠F＝∠C＝35°，得BF＝BE，可得結(jié)論；（3）正確畫圖4，作輔助線，構(gòu)建等腰三角形，根據(jù)角的大小證明：AF＝AC＝EF，由線段的和與差可得結(jié)論．【解答】證明：（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝35°，∴∠DBC＝∠ACB＝35°，∴△BCD為等腰三角形；（2）證法一：如圖2，在AC上截取AH＝AB，連接EH，由（1）得：△BCD為等腰三角形，∴BD＝CD，∴BD+AD＝CD+AD＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠EAH，∴△ABE≌△AHE（SAS），∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，∴EH＝HC，∴AB+BE＝AH+HC＝AC，∴BD+AD＝AB+BE；證法二：如圖3，在AB的延長線上取AF＝AC，連接EF，由（1）得：△BCD為等腰三角形，且BD＝CD，∴BD+AD＝CD+AD＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAF＝∠EAC，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴∠F＝∠C＝35°，∴BF＝BE，∴AB+BE＝AB+BF＝AF，∴BD+AD＝AB+BE；（3）探究（2）中的結(jié)論不成立，正