新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 北京卷押題練習(xí) 第14題 數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用（解析版）

數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用核心考點考情統(tǒng)計考向預(yù)測備考策略等差數(shù)列2023·北京卷T14可以預(yù)測2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以數(shù)列通項及求和等知識點命題．?dāng)?shù)列中填空題難度一般或較難，縱觀近幾年的新高考試題，分別考查等差、等比數(shù)列基本量運算，同時備考也需強化對數(shù)列通項公式和求和公式的應(yīng)用，也是高考沖刺復(fù)習(xí)的重點復(fù)習(xí)內(nèi)容。等比數(shù)列2022·北京卷T15數(shù)學(xué)文化2021·北京卷T61．（2023·北京卷T14）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列SKIPIF1<0，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；數(shù)列SKIPIF1<0所有項的和為．【答案】48384【解析】方法一：設(shè)前3項的公差為SKIPIF1<0，后7項公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，空1：可得SKIPIF1<0，空2：SKIPIF1<0方法二：空1：因為SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；空2：設(shè)后7項公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·北京卷T15）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項均為正數(shù)，其前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．給出下列四個結(jié)論：①SKIPIF1<0的第2項小于3；

②SKIPIF1<0為等比數(shù)列；③SKIPIF1<0為遞減數(shù)列；

④SKIPIF1<0中存在小于SKIPIF1<0的項．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④【解析】由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，兩式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，①對；假設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，設(shè)其公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合乎題意，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，②錯；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，③對；假設(shè)對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.3.（2021·北京卷T6）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長SKIPIF1<0(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為SKIPIF1<0(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【解析】由題意，五種規(guī)格黨旗的長SKIPIF1<0(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由長與寬之比都相等，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.等差數(shù)列通項公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0等差中項：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個數(shù)成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中項若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仍為等差數(shù)列等差數(shù)列前n項和公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和中，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0為奇數(shù)）等比數(shù)列通項公式：SKIPIF1<0等比中項：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個數(shù)成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等比中項若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仍為等比數(shù)列等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式：SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系SKIPIF1<011.等差數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略（1）求公差d或項數(shù)n：在求解時，一般要運用方程思想；（2）求通項：a1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素；（3）求特定項：利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解；（4）求前n項和：利用等差數(shù)列的前n項和公式直接求解或利用等差中項間接求解.12.等比數(shù)列基本量運算的解題策略（1）等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解；（2）等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和SKIPIF1<01．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為2，若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：C.2．二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是SKIPIF1<0萬，則SKIPIF1<0（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，列不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故選：B3．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有SKIPIF1<0個球，第二層有SKIPIF1<0個球，第三層有SKIPIF1<0個球，第四層有SKIPIF1<0個球，SKIPIF1<0，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）

A．380 B．399 C．400 D．400【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C4．《算法統(tǒng)宗》中說：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳．意思是：有996斤棉花要給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子分完為止，則第2個孩子分得棉花的斤數(shù)為（

）A．48 B．65 C．82 D．99【答案】C【解析】由題意可知，每人分得的棉花數(shù)量構(gòu)成公差為17的等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以第2個孩子分得棉花的斤數(shù)為82，故選：C5．已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.6．已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：D．7．衛(wèi)生紙是人們生活中的必需品，隨處可見．衛(wèi)生紙形狀各異，有單張四方型的，也有卷成滾筒形狀的．某款卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，衛(wèi)生紙厚度為0.1mm．若未使用時直徑為90mm，使用一段時間后直徑為60mm，則這個卷筒衛(wèi)生紙大約已經(jīng)使用了（

）A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m【答案】C【解析】未使用時，可認(rèn)為外層衛(wèi)生紙的長度為：SKIPIF1<0，可認(rèn)為每層紙的長度為等差數(shù)列，使用到現(xiàn)在，相當(dāng)于等差數(shù)列的項數(shù)為：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.由等差數(shù)列的求和公式得：SKIPIF1<0故選：C8．我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（

）

A．相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為十寸B．秋分的晷長為75寸C．立秋的晷長比立春的晷長長D．立冬的晷長為一丈五寸【答案】C【解析】由題意可知夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0寸，SKIPIF1<0寸，公差為SKIPIF1<0寸，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（寸），同理可知由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列SKIPIF1<0，首項SKIPIF1<0，末項SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0（單位都為寸）.故選項A正確；SKIPIF1<0春分的晷長為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0秋分的晷長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0立冬的晷長為SKIPIF1<0，即立冬的晷長為一丈五寸，SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0立春的晷長，立秋的晷長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故錯SKIPIF1<0誤.故選：C.9．某公司開發(fā)新項目，今年用于該新項目的投入為10萬元，計劃以后每年用于該新項目的投入都會在上一年的基礎(chǔ)上增加SKIPIF1<0，若該公司計劃對該項目的總投入不超過250萬元，則按計劃最多能連續(xù)投入的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．9年 B．10年 C．11年 D．12年【答案】A【解析】設(shè)該公司第SKIPIF1<0年用于該新項目的投入為SKIPIF1<0萬元，則SKIPIF1<0是首項為10，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值是9.故選：A10．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不滿足上式,故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足.故SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.故選：C.11．已知SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D12．等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的兩個根，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同號，所以SKIPIF1<0.13．已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是以1為公差的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是以1為公差的等差數(shù)列，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14．已知各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0的值為.【答案】74【解析】因為數(shù)列SKIPIF1<0是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0取最大值時，則SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0均取到最小，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0的最大值為61，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0符合題意；若SKIPIF1<0的最大值為62，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不符合題意；綜上當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0的值為74.15．在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的極值點，則SKIPIF1<0【答案】4【解析】SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的極值點，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，由韋達定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都是正數(shù)，在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0同號，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.16．已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則實數(shù)λ的值是．【答案】-2【解析】等比數(shù)列SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若公比SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則等比數(shù)列的前n項和SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），故令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，17．北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌SKIPIF1<0塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加SKIPIF1<0塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多SKIPIF1<0塊，向外每環(huán)依次也增加SKIPIF1<0塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石)SKIPIF1<0塊，則上層有扇形石板塊．【答案】SKIPIF1<0【解析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)每層有SKIPIF1<0環(huán)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即上層有扇形石板SKIPIF1<0塊.18．大