2024-2025學年高中數(shù)學第二章平面向量2.3.2平面向量基本定理學案含解析北師大版必修4

PAGE3．2平面對量基本定理考綱定位重難突破1.了解平面對量基本定理及其意義．2.會用隨意一組基底表示指定的向量，能應用平面對量基本定理解決(分析)一些實際問題.重點：平面對量基本定理的意義及應用．難點：應用平面對量基本定理解決平面幾何問題.授課提示：對應學生用書第43頁[自主梳理]1．平面對量基本定理(1)定理：假如e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，存在一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內全部向量的一組基底．2．對基底的理解(1)基底的兩個主要特征①基底是兩個不共線的向量；②基底的選擇是不唯一的．(2)零向量與隨意向量共線，故不能作為基底．[雙基自測]1．下面三種說法中，正確的是()①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面全部向量的基底；②一個平面內有多數(shù)多對不共線向量可作為該平面全部向量的基底；③零向量不行作為基底中的向量．A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：只要平面內一對向量不共線，就可以作為該平面對量的一組基底，故①不正確，②正確；因為零向量與隨意一個向量平行，所以③正確，故選B.答案：B2．已知平行四邊形ABCD，下列各組向量中，是該平面內全部向量基底的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))解析：不共線的兩個向量可以作基底．答案：D3．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一組基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，則a與e1________，a與e2________(填“共線”或“不共線”)．解析：不妨設a與e1共線，則由a＝λ1e1＋λ2e2知λ2＝0與λ1＞0，λ2＞0沖突，∴a與e1，e2都不共線．答案：不共線不共線授課提示：對應學生用書第43頁探究一對基底的理解[典例1]如圖，設點O是?ABCD兩對角線交點，下列向量組：①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→)).可作為該平面其他向量基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④[解析]①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))不共線；②eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))不共線；④eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線．由平面對量基底的概念知①③可構成平面內全部向量的基底．[答案]B兩個向量能否作為基底，關鍵是看它們是否共線．此題中的向量是否共線，主要看它們所在的線段是否在一條直線上或是否平行．1．已知e1，e2不共線，現(xiàn)有下列幾組向量：①a＝2e1，b＝2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中a，b可以作基底的序號是________．解析：不共線的兩向量均可做基底．所以知①④可以，②③共線不行做基底．答案：①④探究二用基底表示向量[典例2]如圖，△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，M，N分別是邊eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))上的點，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，設eq\o(AN,\s\up6(→))與eq\o(BM,\s\up6(→))相交于P，用向量a，b表示eq\o(OP,\s\up6(→)).[解析]eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→)).設eq\o(MP,\s\up6(→))＝meq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝neq\o(NA,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋meq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋m(b－eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋neq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋n(a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)(1－n)b＋na.∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n,\f(1,2)1－n＝m))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,5)，,m＝\f(2,5).))∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.用基底表示向量的關鍵是利用三角形或平行四邊形將基底和所要表示的向量聯(lián)系起來．解決此類題時，要細致視察所給圖形，借助于平面幾何學問和共線向量定理及平面對量基本定理解決．2.如圖，在△ABC中，已知M為BC邊上一點，且滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，求△ABM與△ABC的面積之比．解析：∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(MC,\s\up6(→))－eq\o(MA,\s\up6(→)))，∴eq\f(3,4)eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝3eq\o(BM,\s\up6(→))，∴eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,4).探究三平面對量基本定理的應用[典例3]如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．[解析](1)如圖所示，延長AD到G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)證明：由(1)知，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))共線．又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共點B，∴B，E，F(xiàn)三點共線．只要是平面內的兩個不共線向量，肯定能作為一組基底，把向量用基底進行表示，證明三點共線問題轉化為證明有公共點的兩個向量共線解決．3.如圖，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點M，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→)).(2)在已知線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過點M.設eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→)).求證：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.解析：(1)因為B，M，C三點共線，所以存在實數(shù)m，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝meq\o(OC,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝m·eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)ma＋(1－m)b.又A，M，D三點共線，所以存在實數(shù)n，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝neq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OD,\s\up6(→))＝na＋eq\f(1,2)(1－n)b.由于a，b不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m＝n,1－m＝\f(1,2)1－n))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(4,7),n＝\f(1,7)))，故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.(2)證明：因為E，M，F(xiàn)三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OE,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OF,\s\up6(→))＝λpa＋(1－λ)qb.結合(1)，易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λp＝\f(1,7),1－λq＝\f(3,7)))，消去λ，得eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.對平面對量基本定理理解不精確致誤[典例]如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC.AM與BN相交于點P，則AP∶PM＝()A．1∶4 B．4∶1C．4∶5 D．5∶4[解析]設eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.因為A，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－