高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：一階微分方程與可降階的高階微分方程

一階微分方程與可降階的高階微分方程二、齊次型微分方程一、可分離變量的微分方程三、一階線(xiàn)性微分方程四、可降階的高階微分方程如果能解出，那么如果一階微分方程(2)的右端則方程(2)可以表示為一、可分離變量的微分方程的形式，則稱(chēng)此一階微分方程為變量可分離的微分方程.例1解例2解例3解二、齊次型微分方程形如

求解這類(lèi)方程的方法是：利用適當(dāng)?shù)淖儞Q，化成可分離變量的微分方程.設(shè)則故有的一階微分方程稱(chēng)為齊次微分方程.將（2）代入（1）得即分離變量，得兩端積分便可求出通解，

再以代入便可求出原方程的通解.例4求微分方程的通解.解令代入方程得或分離變量，得

或再把回代，即得原方程的通解為兩端積分，得例5求下列微分方程的通解解原方程可變形為

令代入方程得分離變量得兩端積分得

即故即得原方程的通解為再把回代形如的方程稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程，其中P(x)，Q(x)是連續(xù)函數(shù)，且方程關(guān)于y及是一次的，Q(x)是自由項(xiàng).為一階線(xiàn)性非齊次方程，三、階線(xiàn)性微分方程例如，方程是一階線(xiàn)性微分方程；而右端，因此它是一階線(xiàn)性非齊次方程.它對(duì)應(yīng)的齊次方程就是為一階線(xiàn)性齊次方程.一階線(xiàn)性非齊次微分方程的求解步驟如下:1.先求的通解：分離變量后得而方程等，都不是線(xiàn)性方程.2.利用“常數(shù)變易法”求線(xiàn)性非齊次方程(1)的通解：設(shè)是方程(1)的解，其中C(x)為待定常數(shù),將(4)式求其對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，得化簡(jiǎn)后，方程(2)的通解為其中C為任意常數(shù).化簡(jiǎn)后，得將上式積分，得其中C為任意常數(shù).把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解為代入方程(1)中，得這是一階線(xiàn)性非齊次微分方程.例6通過(guò)把對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程的通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線(xiàn)性非齊次方程的通解，這種方法稱(chēng)為常數(shù)變易法.故得原線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為解法2直接用通解公式(6).代入公式(6),得所求線(xiàn)性非齊次方程的通解為代入公式(6),得所求線(xiàn)性非齊次方程的通解為例7解代入公式(6),得所求線(xiàn)性非齊次方程的通解為例8解對(duì)于未知函數(shù)x(y為自變量)來(lái)說(shuō)，所給方程就是一階線(xiàn)性非齊次方程，對(duì)未知函數(shù)x的一階線(xiàn)性非齊次方程例9對(duì)于未知函數(shù)y，它不是線(xiàn)性方程，但是方程可改寫(xiě)為解的通解公式為方程(7)中，代入(9)式，即得所求上述方程的通解為（一）y(n)=f(x)型的微分方程方程可改寫(xiě)為再積分一次，得依次積分n次，得方程(1)的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.四、可降階的高階微分方程例10解這是關(guān)于變量x和p的一階微分方程，若能求出其通解，設(shè)為，即有微分方程代入方程(2)，得兩端積分，得方程(2)的通解這是一階線(xiàn)性非齊次方程，利用通解公式，可得例