2022-2023學年上海浦東新區(qū)高二（上）期末數(shù)學試題及答案

2022學年度高二數(shù)學第一學期練習卷2023年1月注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上規(guī)定的地方作答，寫在其它地方一律不予批閱.2.本試卷共有21道試題，滿分100分，練習時間90分鐘.12363則一律得零分.1.過平面外一點與該平面平行的平面有_____個．2.小王做投針實驗，觀察針壓住平行線的次數(shù)，所得的數(shù)據(jù)是______觀測數(shù)據(jù)或“實驗數(shù)據(jù)”填空）3.某藥物公司實驗一種降低膽固醇的新藥，在個病人中進行實驗，結(jié)果如下表所示.膽固醇降低的人數(shù)沒有起作用的人數(shù)膽固醇升高的人數(shù)30712073則使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗概率等于______.4.已知球的表面積為,則該球的體積為______.5.“二十四節(jié)氣歌”是以“春、夏、秋、冬開始的四句詩.某校高二共有學生名，隨機抽查名學生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有人，能說出兩句及以上的有人，據(jù)此估計該校高二年級的400名學生中，對二十四節(jié)氣歌”一句也說不出的有__________人.6.某校高二（）班為了調(diào)查學生線上授課期間的體育鍛煉時間的差異情況，抽取了班級5名同學每周的體育鍛煉時間，分別為，6.5，77，8.5方差為___________．7.已知一個正方形的邊長為2，則它的直觀圖的面積為___________．π68.已知大小為的二面角的一個面內(nèi)有一點，它到二面角的棱的距離為，則這個點到另一個面的距離為_________．9.“阿基米德多面體也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱1美.二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為________．35PAUB=()()PB=PA=2PB()()AB互斥，10.已知事件、，且，則_______.小明和小王在課余玩象棋比賽，可以采用“五局三勝制”或三局兩勝制相對而言，小明棋藝稍弱0.4一局贏的概率都僅為.小明為了讓自己在比賽中贏的幾率更大些，應(yīng)該提議采用_________________.(填選“三局兩勝制”或五局三勝制”)D,E，分別為、AB的中點按圖中的虛線翻折，使得12.如圖，有一邊長為的正方形,B,O三點重合，制成一個三棱錐，并得到以下四個結(jié)論：4①三棱錐的表面積為；13②三棱錐的體積為；③三棱錐的外接球表面積為π；1④三棱錐的內(nèi)切球半徑為.則以上結(jié)論中，正確結(jié)論是______________.（請?zhí)顚懶蛱枺┒?、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得3分，否則一律得零分.13.小明同學每天閱讀數(shù)學文化相關(guān)的書籍，他每天閱讀的頁數(shù)分別為：45、4.5、5、6、8、7、4.5、6（單位：頁）下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）A.條形圖B.莖葉圖C.散點圖D.扇形圖14.下列說法正確的是（）A.過球面上任意兩點與球心，有且只有一個大圓B.底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角均相等的棱錐是正棱錐C.用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺D.以直角三角形任意一邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐15.某校組織了一次航空知識競賽，甲、乙兩個班級各派8名同學代表參賽．兩個班級的數(shù)學課代表合作，將甲、乙兩班所有參賽同學的得分繪制成如圖所示的莖葉圖，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.甲班參賽同學得分的極差比乙班參賽同學得分的極差小B.甲班參賽同學得分的中位數(shù)比乙班參賽同學得分的中位數(shù)低C.甲班參賽同學得分平均數(shù)為D.乙班參賽同學得分的第百分位數(shù)為16.先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣4次，得到以下結(jié)論：①可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間②事件“2次正面朝上”與事件”2次反面朝上”互斥事件③事件“1次正面朝上”與事件次反面朝上是對立事件1④事件“1次正面朝上3次反面朝上發(fā)生的概率是4以上結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）個A1個B.2個C.3個D.4個三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．ABCD?ABCD的中點.117.如圖，在正方體中，E為1111CC所成的角；1（1）求異面直線與1（2）判斷與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由.118.不透明的盒子中有標號為、、34的4個大小與質(zhì)地相同的球.（1）甲隨機摸出一個球，放回后乙再隨機摸出一個球，求兩球編號均為奇數(shù)的概率；m（2）甲、乙兩人進行摸球游戲，游戲規(guī)則是：甲先隨機摸出一個球，記下編號，設(shè)編號為，放回后乙nm+n5，算甲贏；否則算乙贏.這種游戲規(guī)則公平再隨機摸出一個球，也記下編號，設(shè)編號為.如果嗎？請說明理由.π中，OAB=，斜邊=8，D是中點，現(xiàn)將直角19.如圖，在直角AB以直角邊6π為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐.點C為圓錐底面圓周上一點，且=.2（1）求圓錐的體積與側(cè)面積；（2）求直線CD與平面BOC所成的角的正切值.20.法國著名的數(shù)學家笛卡爾曾經(jīng)說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們——書籍的作者一一進行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進行交流”.閱讀會讓精神世界閃光．某大學為了解大一新生的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了位大一新生，對這些學生每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示：（1a值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校大一新生每天閱讀時間平均數(shù)（精確到0.1（3）為了進一步了解大一新生的閱讀方式，該大學采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組[50,60)，[60,70)和[80,90)的學生中抽取5人，再從中任選2人進行調(diào)查，求其中恰好有1人每天閱讀時間位于[80,90)的概率．21.如圖，已知四面體中，AB⊥平面，⊥.（1）求證：AC⊥CD；（2鱉臑，若此“鱉臑”===1，有一根彩帶經(jīng)過面與面，且彩帶的兩個端點分別固定在點B和點D處，求彩帶的最小長度；P（3）若在此四面體中任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為；任取兩個面，記它們互相垂直的概率為1P2PP1P2P、的大小.3；任取一個面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為.試比較概率、3【附加題】單選題22.過坐標原點O作直線l:(a?2)x+(a+y+6=0H(,n)+的垂線，垂足為，則m2n2的取值范圍是（）0,220,8(D.0,220,8A.B.C.23.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，AB為平面上兩點，且OA=0M為線段中點，其坐標為(a,b)，若52a+b?4，則=）的最小值為（52553A.B.C.D.5532022學年度高二數(shù)學第一學期練習卷2023年1月注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上規(guī)定的地方作答，寫在其它地方一律不予批閱.2.本試卷共有21道試題，滿分100分，練習時間90分鐘.12363則一律得零分.1.過平面外一點與該平面平行平面有_____【答案】1【解析】【分析】假設(shè)過平面外一點與該平面平行的平面不止一個，由面面平行的性質(zhì)推出矛盾，得出結(jié)果為1.【詳解】由面面平行的傳遞性知，若平面α∥平面，平面α∥平面γ，則平面β∥平面γ，假設(shè)過平面外一點與該平面平行的平面不止一個，則這些平面均相交，與上述結(jié)論相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以過平面外一點與該平面平行的平面有1個．故答案為：1．2.小王做投針實驗，觀察針壓住平行線的次數(shù)，所得的數(shù)據(jù)是______觀測數(shù)據(jù)或“實驗數(shù)據(jù)”填空）【答案】實驗數(shù)據(jù)【解析】【分析】根據(jù)具體的實驗，得到具體的實驗數(shù)據(jù).【詳解】由題意，小王做具體投針實驗，觀察針壓住平行線的次數(shù)，所得的數(shù)據(jù)是實驗數(shù)據(jù).故答案為：實驗數(shù)據(jù).3.某藥物公司實驗一種降低膽固醇的新藥，在個病人中進行實驗，結(jié)果如下表所示.膽固醇降低的人數(shù)沒有起作用的人數(shù)膽固醇升高的人數(shù)30712073則使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗概率等于______.【答案】##0.614【解析】【分析】根據(jù)經(jīng)驗概率的定義可求出結(jié)果.【詳解】依題意使用藥物后膽固醇降低的人數(shù)為，又試驗總次數(shù)為500，所以使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗概率等于.故答案為：4.已知球的表面積為______.,則該球的體積為【答案】【解析】【分析】設(shè)球半徑為R，由球的表面積求出【詳解】設(shè)球半徑為R，R=3，然后可得球的體積．∵球的表面積為，4R=，2∴∴R=3，44V=R3=π3=．3∴該球的體積為故答案為33．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果．5.“二十四節(jié)氣歌”是以“春、夏、秋、冬開始的四句詩.某校高二共有學生名，隨機抽查名學生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有人，能說出兩句及以上的有人，據(jù)此估計該校高二年級的400名學生中，對二十四節(jié)氣歌”一句也說不出的有__________人.【答案】68【解析】4:1100名學生中對二十四節(jié)氣歌一句也說不出“”的人數(shù)，按比例計算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，隨機抽查名學生中有??=人一句也說不出，又抽查比例為4:1，400100所以，該校高二年級的名學生中共有17=68人對二十四節(jié)氣歌一句也說不出.“”故答案為：686.某校高二（）班為了調(diào)查學生線上授課期間的體育鍛煉時間的差異情況，抽取了班級5名同學每周的體育鍛煉時間，分別為，6.5，77，8.5方差為___________．7【答案】0.7##【解析】【分析】利用方差的公式求解.【詳解】解：數(shù)據(jù)6，6.5，7，，8.5，1(++++)=66.5778.57，所以平均數(shù)：51(6?7)2+(6.5?7)2+(7?7)2+7?7)2+8.5?7)2=0.7S2=則方差為，5故答案為：0.77.已知一個正方形的邊長為2，則它的直觀圖的面積為___________．【答案】2【解析】2【分析】根據(jù)直觀圖面積是原圖形面積的倍即可得出結(jié)果.4S=22=4，【詳解】由題意可知，原圖形面積為22=2.又直觀圖面積是原圖形面積的倍，所以直觀圖的面積為444故答案為：2π8.已知大小為二面角的一個面內(nèi)有一點，它到二面角的棱的距離為6，則這個點到另一個面的距離為6_________．【答案】3【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)題意結(jié)合直角三角形運算求解.π【詳解】如圖，設(shè)二面角?l?為，點⊥l,=6，且，A6過點A作⊥平面，垂足為C，連接，⊥平面，l,BC，∵⊥l,⊥∴，又∵AB⊥l,ABIAC=A，AB,ABC，∴l(xiāng)⊥平面，ABCABCl⊥，π故二面角?l?的平面角為，，ABC=6==3在Rt故點A到平面的距離為3.故答案為：3.9.“阿基米德多面體也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長為1的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為________．5【答案】【解析】6【分析】利用割補法可得二十四等邊體的體積，計算即可得解.【詳解】棱長為1的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，11?8()32156則該幾何體的體積為V=?V33=.256故答案為:35()=()PA2PB，則()PB=_______.()=10.已知事件A、B互斥，PAUB，且4【答案】##0.85【解析】【分析】由已知事件A、B互斥，且()進而根據(jù)對立事件概率公式得到答案.PA=2PB()，可求()PB，【詳解】解：事件A、B互斥，且P(A)=2P(B)，35()=()+()=()=PAUBPAPB3PB15解得P(B)=,145()()PB=1?PB=1?=.545故答案為：.小明和小王在課余玩象棋比賽，可以采用“五局三勝制”或三局兩勝制相對而言，小明棋藝稍弱0.4一局贏的概率都僅為.小明為了讓自己在比賽中贏的幾率更大些，應(yīng)該提議采用_________________.(填選“三局兩勝制”或五局三勝制”)【答案】三局兩勝制【解析】【分析】分別計算出“三局兩勝制”和“五局三勝制”下小明贏的概率，比較概率大小，確定選法.0.4【詳解】因為小明每一局贏的概率都為，所以采用“三局兩勝制”時小明獲勝的概率為2+C0.40.60.4=0.352，采用“五局三勝制”時小明獲勝的概率為CC22(0.4)123+C3(0.4)20.60.4+C4(0.4)2(0.6)0.4=0.31744，233(0.4)22所以小明選擇三局兩勝制”時在比賽中贏的幾率更大些，故答案為：三局兩勝制.12.如圖，有一邊長為的正方形，D,E、AB的中點按圖中的虛線翻折，使得分別為,B,O三點重合，制成一個三棱錐，并得到以下四個結(jié)論：①三棱錐的表面積為4；13②三棱錐的體積為；③三棱錐的外接球表面積為π；④三棱錐的內(nèi)切球半徑為1.則以上結(jié)論中，正確結(jié)論是______________.（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣佗冖邸窘馕觥垮F的底面積和高可求得其體積，能判斷②；利用三條棱兩兩垂直可構(gòu)造長方體求外接球的半徑，即可判斷③；利用等體積法可求得三棱錐的內(nèi)切球半徑判斷④，得出結(jié)論.4【詳解】根據(jù)題意可知，三棱錐的表面積與正方形的面積相等為，即①正確；P?如下圖所示：,B,O設(shè)三點重合于點P，則制成三棱錐易知====2，根據(jù)幾何關(guān)系可知CP⊥PD,CP⊥PE,=P，所以⊥平面111CP=112=3213V=S所以三棱錐的體積，即②正確；3由CP⊥PD,CP⊥PE,PD⊥PE可知，三棱錐的外接球與以CP,PD,為棱構(gòu)造的長方體的外接球相同，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，則滿足CP2+PD2+PE2=4+1+1=6=4R2所以，其表面積為4R2=6π，故③正確；rS=4設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，由①知三棱錐的表面積為111111V=rS+rS+rS+rS=rSr=，得利用等體積法可知，3333341所以三棱錐的內(nèi)切球半徑為，即④錯誤；4故答案為：①②③二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得3分，否則一律得零分.13.小明同學每天閱讀數(shù)學文化相關(guān)的書籍，他每天閱讀的頁數(shù)分別為：45、4.5、5、6、8、7、4.5、6（單位：頁）下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）A.條形圖【答案】C【解析】B.莖葉圖C.散點圖D.扇形圖【分析】根據(jù)相關(guān)圖的特征理解判斷.【詳解】條形圖：是用寬度相同的條形的高度（或長度）表示數(shù)據(jù)的頻數(shù)，故符合題意；莖葉圖：即可以保留原始數(shù)據(jù)又可以方便記錄數(shù)據(jù)，故符合題意；散點圖：用兩組數(shù)據(jù)構(gòu)成多個坐標點，通常用于比較跨類別的成對數(shù)據(jù)，不符合題意；扇形圖：是用整個圓表示總體，用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各個部分占總體的百分數(shù)，扇形圖可以容易看出各個部分所占總體的比例，故符合題意；故選：C.14.下列說法正確的是（）A.過球面上任意兩點與球心，有且只有一個大圓B.底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角均相等的棱錐是正棱錐C.用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺D.以直角三角形任意一邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間幾何體的概念和性質(zhì)可判斷.【詳解】球面上兩點與球心共線時，有無數(shù)個大圓，故A錯誤.底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角均相等,則頂點在底面的射影是底面的中心，所以是正棱錐，B正確.用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺，故C錯誤.以直角三角形任意一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐，故D錯誤.故選：B15.某校組織了一次航空知識競賽，甲、乙兩個班級各派8名同學代表參賽．兩個班級的數(shù)學課代表合作，將甲、乙兩班所有參賽同學的得分繪制成如圖所示的莖葉圖，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.甲班參賽同學得分的極差比乙班參賽同學得分的極差小B.甲班參賽同學得分的中位數(shù)比乙班參賽同學得分的中位數(shù)低C.甲班參賽同學得分的平均數(shù)為84D.乙班參賽同學得分的第百分位數(shù)為【答案】D【解析】【分析】A.利用極差的定義求解判斷；B.利用中位數(shù)的定義求解判斷；C.利用平均數(shù)的定義求解判斷；D.利用百分位數(shù)的定義求解判斷.【詳解】對A，甲班參賽同學得分的極差為?=，乙班參賽同學得分的極差為?=，故正確；82+8482+85對，甲班參賽同學得分的中位數(shù)是確；=83，乙班參賽同學得分的中位數(shù)是=83.5，故正2276+79+80+82+84+88+90+93=84對，甲班參賽同學得分的平均數(shù)為，故正確；838=6對D，乙班參賽同學得分為，，，，89，，94，，取第個與第個數(shù)的平均數(shù)67489+90=89.5為第百分位數(shù)，即為故選：D，故錯誤.216.先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣4次，得到以下結(jié)論：①可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間②事件“2次正面朝上”與事件”2次反面朝上”是互斥事件③事件“1次正面朝上”與事件次反面朝上是對立事件1④事件“1次正面朝上3次反面朝上發(fā)生的概率是4以上結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）個A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】C【解析】【分析】①本實驗是一個古典概型，考慮正反面出現(xiàn)的次數(shù)及順序有關(guān)或無關(guān)判斷；②分別列舉事件至少2次正面朝上”和事件至少2次反面朝上判斷；③列舉事件“1次正面朝上判斷；④利用古典概型的概率求解判斷.【詳解】①本實驗是一個古典概型，可只考慮正反面出現(xiàn)的次數(shù)或既考慮次數(shù)也考慮順序，所以可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間，故正確；②事件“2次正面朝上”為2正23正14正，事件至少2次反面朝上”為2反2正，3反1正，4反，不互斥，故錯誤；③事件“1次正面朝上”為1正32正23正1反，4正，與事件“4次反面朝上”互為對立事件，故正確；④樣本空間為1正3反，2正2反，3正1反，4正”4種，事件次正面朝上3次反面朝上有11種，所以事件次正面朝上3次反面朝上發(fā)生的概率是，故正確；4故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．ABCD?ABCD的中點.117.如圖，在正方體中，E為1111CC所成的角；1（1）求異面直線與1（2）判斷與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由.1【答案】（）21//（2）平面AEC，理由見解析【解析】）通過平移找到異面直線所成的角，在三角形中求解即可.（2）通過線面平行判定定理判斷.【小問1詳解】BB1//1，所以1CC與所成的角.11因為就是異面直線11=aBD=2a1=tanBBD=2，所以.11設(shè)，則，1163CC所以異面直線與所成的角為2（結(jié)果也可寫成arcsin1或）.133【小問2詳解】1//平面AEC連接BD，交于O，連接,中，O,E分別為BD、中點，為的中位線，所以O(shè)E//BD.1在1BD1因為平面AEC上，而平面AEC上，BD1由直線與平面平行的判定定理得，平面AEC.18.不透明的盒子中有標號為、、34的4個大小與質(zhì)地相同的球.（1）甲隨機摸出一個球，放回后乙再隨機摸出一個球，求兩球編號均為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩人進行摸球游戲，游戲規(guī)則是：甲先隨機摸出一個球，記下編號，設(shè)編號為，放回后乙mnm+n5，算甲贏；否則算乙贏.這種游戲規(guī)則公平再隨機摸出一個球，也記下編號，設(shè)編號為.如果嗎？請說明理由.1【答案】（）4（2）不公平，理由見解析【解析】【分析】(1)列出樣本空間，根據(jù)古典概型概率公式求事件兩球編號均為奇數(shù)的概率；(2)由(1)分別求出事件甲贏和乙贏的概率，比較概率大小判斷游戲是否公平.【小問1詳解】設(shè)事件兩球編號均為奇數(shù)為事件A，由已知隨機試驗的樣本空間為()()()()()()()(),1,2,,1,4,,2,2,2,3,2,4,()()()()()()()()A()(),1,3,共個基本事件，事件包含基本事件,3,2,3,3,3,4,,4,2,3,4,4,414()(),3,3()=PA=，所以，1614所以事件兩球編號均為奇數(shù)的概率為；【小問2詳解】由(1)事件m+n5包含基本事件(4),(3),4),(2),(3),(4)，所以63(+)=Pmn5=，168583所以事件甲贏的概率為，故事件乙贏的概率為，8因為事件甲贏的概率與事件乙贏的概率不相等，所以這種游戲規(guī)則不公平.π中，OAB=，斜邊8，D是=中點，現(xiàn)將直角19.如圖，在直角AB以直角邊6π為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐.點C為圓錐底面圓周上一點，且=.2（1）求圓錐的體積與側(cè)面積；（2）求直線CD與平面BOC所成的角的正切值.【答案】（）π，π315（2）5【解析】開圖和扇形面積公式可得側(cè)面積；（2）根據(jù)線面角的定義作出直線CD【小問1詳解】與平面BOC所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值.由題意可得43，==所以底面圓面積Sπ=16π，圓錐的高h=OA=43，=211643V=Sh=16π43=3π.所以圓錐的體積為33圓錐側(cè)面展開圖的半徑為R==8，弧長為底面圓周長l=2π=π1S=Rl=32π.圓錐的側(cè)面積為側(cè)2【小問2詳解】取中點H，連接,，如下圖所示：在中，中位線//，易知⊥平面BOC可得DH平面BOC，⊥所以即為直線CD與平面BOC所成的角，1πDH=AO=23，又=易知，所以CH=42+22=25，22DH233515所以tanDCH====.HC255155所以直線CD與平面BOC所成的角的正切值為.20.法國著名的數(shù)學家笛卡爾曾經(jīng)說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們——書籍的作者一一進行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進行交流”.閱讀會讓精神世界閃光．某大學為了解大一新生的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了位大一新生，對這些學生每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示：（1的值；a（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)（精確到0.1（3）為了進一步了解大一新生的閱讀方式，該大學采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組[50,60)，[60,70)和[80,90)的學生中抽取5人，再從中任選2人進行調(diào)查，求其中恰好有1人每天閱讀時間位于[80,90)的概率．a(chǎn)=【答案】（）（2）平均數(shù)為74分鐘3（3）5【解析】【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1列出方程求解即可；（2）將各組的頻數(shù)計算出來，直接計算平均值即可3；（3）先算出每組要抽取的人數(shù)，編號寫出樣本空間，再計算概率.【小問1詳解】因為頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為，所以+a++a+=1，a=得，【小問2詳解】各區(qū)間的中點值為、、758595對應(yīng)的頻數(shù)分別為、、452055510+6520+7545+8520+955=74.0這名大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)為100所以估計該校大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)為分鐘.【小問3詳解】由題意，閱讀時間位于分組[50,60)，[60,70)和[80,90)10人、人、的學生數(shù)分別為因此[50,60)中抽取1人，記為a,中抽取2人，記為b,c，中抽取2人，記為d,e，[60,70)[80,90)再從中任選2人進行調(diào)查，=,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,共10個樣本點，樣本空間設(shè)事件A1人每天閱讀時間位于[80,90)”，A=,,,,,共6個樣本點，故其中恰好有1人每天閱讀時間位于[80,90)的概率為635P==.1021.如圖，已知四面體中，AB平面，⊥.⊥（1）求證：AC⊥CD；（2鱉臑，若此“鱉臑”===1，有一根彩帶經(jīng)過面與面，且彩帶的兩個端點分別固定在點B和點D處，求彩帶的最小長度；P（3）若在此四面體中任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為；任取兩個面，記它們互相垂直的概率為1P2PP1P2P、的大小.3；任取一個面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為.試比較概率、3【答案】（）證明見解析（2）2+2PPP2（3）31【解析】）由線面垂直得到沿⊥⊥得到線面垂直，進而證明出線線垂直；，結(jié)合（2）將面與面展開成如圖所示的平面圖形，連接BD，即為所求，利用余弦定理求出答案即可；P1P2P、的大小，比較出大小關(guān)系.3（3）利用組合知識及列舉法求出【小問1詳解】、因為AB平面BCD，，⊥⊥所以，⊥=BAB,又，，ABC，所以⊥平面平面，因為ABC，所以AC⊥CD；【小問2詳解】沿展開成如圖所示的平面圖形，連接BD，將面與面由（）知：∠ACD=90°，因為AB平面⊥，BCD，所以AB⊥BC，因為===1，所以∠ACB=45°，34BCD=π，故展開后所以彩帶的最小長度為此平面圖中BD長.3BD=BC2+CD2?2BCCDcosBCD=12+1?2cosπ=2+2，2由余弦定理得：4所以彩帶的最小長度為2+2；【小問3詳