數(shù)學(xué)學(xué)案：空間向量的線性運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修2-1第三章3。1.1空間向量的線性運(yùn)算1．理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示法和字母表示法．2．會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律．3．能運(yùn)用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題．1．空間向量的概念(1)向量：在空間中，具有______和______的量．（2)相等的向量（同一向量):同向且等長(zhǎng)的有向線段．（3）零向量：起點(diǎn)與終點(diǎn)____的向量．(手寫(xiě)記作)（4）向量a的長(zhǎng)度或模:表示向量a的有向線段的長(zhǎng)度，記作________．（5）向量的基線：表示向量的有向線段所在的______．(6）共線向量或平行向量：基線________的空間向量，規(guī)定：零向量與任意向量______．在空間中,A為向量的起點(diǎn)，B為向量的終點(diǎn)．【做一做1】正方體ABCD－A′B′C′D′中與向量相等的向量有__________個(gè)．2．空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量的運(yùn)算(1）加法：a＋b＝______.（2）減法:a－b＝______。(3)數(shù)乘：λa：|λa|＝______，當(dāng)λ＞0時(shí),λa與a方向______；當(dāng)λ＜0時(shí),λa與a方向______；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa為_(kāi)___向量．（4)線性運(yùn)算律①加法交換律：a＋b＝______；②加法結(jié)合律：（a＋b)＋c＝________；③分配律：（λ＋μ)a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝__________.（1)平面向量求和的三角形法則和平行四邊形法則，對(duì)空間向量也同樣成立．(2）三個(gè)不共面的向量和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量．【做一做2－1】在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中,＝a，＝b，＝c，則等于(）A．a(chǎn)＋b＋cB．a(chǎn)＋b－cC．a(chǎn)－b－cD．－a＋b＋c【做一做2－2】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，|－＋|＝__________。1．如何理解空間向量的有關(guān)概念?剖析：（1）空間向量的概念及表示與平面向量一樣．(2)零向量的方向是任意的，而不是零向量沒(méi)有方向．（3)向量只是用有向線段來(lái)表示，但向量不是有向線段，如速度是向量．(4）共線向量或平行向量，其基線平行或重合均可．共線向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)未必共線，平行向量的基線未必平行(可能重合),應(yīng)特別注意零向量與任意向量共線．2．空間向量加法的運(yùn)算要注意什么？剖析：(1）首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量．如：＋＋＋…＋＝。因此，求空間若干向量之和時(shí),可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即：＋＋＋…＋＋＝0.（3）平面中兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則及三角形法則在空間中仍然成立．題型一空間向量的概念【例1】下列命題是真命題的序號(hào)是__________．①在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與這兩個(gè)向量不是共線向量．②若向量a與b平行，則a,b的方向相同或相反．③若向量，滿足||＞|｜，且與同向，則＞。④若向量a＝b，則|a｜＝|b|。反思：注意空間向量概念的理解，注意區(qū)別向量與向量的模以及向量的手寫(xiě)體與印刷體．題型二空間向量的線性運(yùn)算【例2】已知在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，M為CC′的中點(diǎn)(如圖)，用圖中向量表示運(yùn)算結(jié)果．（1)+；（2）++.分析：(1)利用＝;(2）利用＝.反思：注意結(jié)合圖形使用相等向量轉(zhuǎn)化．題型三化簡(jiǎn)向量表達(dá)式【例3】化簡(jiǎn)向量－＋＋。分析:注意使用相反向量－＝。反思：空間向量的減法運(yùn)算注意使用相反向量，無(wú)圖形的空間向量的加減法運(yùn)算注意使用交換律和結(jié)合律，同時(shí)注意運(yùn)算結(jié)果是0，而不是0.1兩向量共線是兩向量相等的__________條件．2M，N分別是四面體ABCD的棱AB，CD的中點(diǎn)，則＝________(＋）．3在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，分別寫(xiě)出與向量共線的向量和相等的向量．4在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中化簡(jiǎn)下列各式：（1)－；(2）＋＋.答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．(1)大小方向(3）重合（4）｜a|(5）直線（6）平行或重合共線【做一做1】32．（1）eq\o（OB，\s\up6(→)）(2)eq\o（CA，\s\up6(→））(3)｜λ｜｜a|相同相反零(4)①b＋a②a＋(b＋c)③λa＋λb【做一做2－1】C畫(huà)圖可得eq\o（D1B，\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6（→））－（eq\o（AA1，\s\up6（→）)＋eq\o（A1D1,\s\up6（→)))＝eq\o(AB，\s\up6(→))－（eq\o(AA1,\s\up6(→））＋eq\o(AD,\s\up6(→)））＝a－b－c?！咀鲆蛔?－2】eq\r（2）典型例題·領(lǐng)悟【例1】④①因?yàn)閑q\o（AB，\s\up6(→）)與eq\o(CD,\s\up6（→）)基線平行，所以這兩個(gè)向量是共線向量；②若向量a＝0，則a與b平行，但是不能說(shuō)零向量與某一向量方向相同或相反，否則與零向量的方向是任意的矛盾；③向量不能比較大?。虎芨鶕?jù)向量相等的定義，知此命題正確．【例2】解：（1）eq\o(AB，\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o（BC,\s\up6（→）)＝eq\o(AC，\s\up6(→））.（2）eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD，\s\up6（→））＋eq\f（1,2)＝eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\f（1，2)＝eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（CM，\s\up6（→)）＝eq\o（AM,\s\up6(→)）。【例3】解：eq\o（BC，\s\up6（→))－eq\o（BE,\s\up6（→))＋eq\o(CD，\s\up6(→）)＋eq\o(DE，\s\up6(→)）＝eq\o（BC,\s\up6(→）)＋eq\o（EB,\s\up6(→)）＋eq\o（CD，\s\up6(→）)＋eq\o(DE,\s\up6（→))＝eq\o(BC，\s\up6（→)）＋eq\o（CD，\s\up6（→）)＋eq\o（DE,\s\up6(→）)＋eq\o（EB，\s\up6（→））＝0.隨堂練習(xí)·鞏固1．必要不充分2．eq\f(1，2)3．解：與向量eq\o(AB,\s\up6(→）)共線的向量有：eq\o(BA,\s\up6(→）)，，，eq\o（DC,\s\up6(→)），eq\o（CD，\s\up6（→）)，，；與向量eq\o（AB，\s\up6(→））相等的向量有：，eq\o（DC,\s\up6（→）)，。4．解：（1）eq\o(AB,\s\up6(→））－＝eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o(AD，\s\up6（→）)＝eq\o(DB，\s\up6(→）)；(2)eq\