三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）

考點(diǎn)鞏固卷08三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)（六大考

點(diǎn)）

窿老堂先競(jìng)

考點(diǎn)01:三角函數(shù)的定義域與值域

考點(diǎn)02:三角函數(shù)性質(zhì)的考察

考點(diǎn)03:解三角不等式

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

原:t盛技巧及考克制依

考點(diǎn)01:三角函數(shù)的定義域與值域

1、三角函數(shù)定義域的求法

求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖

象來求解.

注：解三角不等式時(shí)要注意周期，且Aez不可以忽略.

（1）分式：分母不能為零；

（2）根式：偶次根式中根號(hào)內(nèi)的式子大于等于0,（如只要求Z20）對(duì)奇次根式中

的被開方數(shù)的正負(fù)沒有要求;（若偶次根式單獨(dú)作為分母，只要偶次根式根號(hào)內(nèi)的式子大于

1

0即可，如,只要求Z〉0）

(3)零次嘉：x°中底數(shù)xwO；

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零,底數(shù)為大于0且不等于1；

(5)三角函數(shù)：正弦函數(shù)y=sinx的定義域?yàn)镽,余弦函數(shù).v=cosx的定義域?yàn)镽,正

切函數(shù)…nx的定義域?yàn)椴凡非?乎臼若…小),則

71

/(X)W左萬+耳，左￡Z

2、求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的題目類型

(1)形如3/=。5由％+6或3/=。(：05%+/)的三角函數(shù)，可利用三角函數(shù)的有界性求值域

(2)形如丁=4§iiuor+方cosox+4的三角函數(shù)，可設(shè)sin0=-j=^=,cos0=-j="逆用

da2+b?卜+/

和角公式得到y(tǒng)=4sin(3：+0)+A,化為一次函數(shù)y=依+Z?型,再求值域(最值)；

對(duì)于由sinx,cosx兩類函數(shù)作和、差、乘運(yùn)算而得到的函數(shù)；

例如①/(X)=asin(x+a)+bcos(x+尸)(特另4的f(x)=asinx-^-bcosx)可先用和差

角公式展開化為j=asin/x+Acossx+A：的形式；

②/(%)=asin(x+a)cos(x+Q)即=/sin?x+Bsinxcosx+Ccos?%逆用倍

角公式化為y=asiii/x+^costax+A：的形式;進(jìn)一步都可以轉(zhuǎn)化為y=Zsin?x+°)+4的形式,

然后結(jié)合一次函數(shù)求最值。

總結(jié)：逆用兩角和與差的正弦(或余弦)公式、倍角公式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)歹=后6型，再由三角

函數(shù)的有界性得解.(其中x為正弦或余弦函數(shù)，左力為常數(shù))

(3)形如歹=如也2*+加inx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=?；癁殛P(guān)于，的二次函數(shù)

、二m2+4+,求值域(最值)，小心定義域?qū)χ涤虻南拗疲?/p>

對(duì)于由sinx(或cosx)與sin?或cos?%),由sinx(或cosx)與cos2x作和、差運(yùn)算而

得到的函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)求最值。

y=acos2x+bsinx+c=(2(l-sin2x)+Z7sinx+c

y=acos2x+bcosx+c

y=asin2x+bcosx+c=a(l-cos2x)+Z7cosx+c

y=acos2x+6sinx+c=(2(l-2sin2x)+Z?sinx+c

y-acos2x+Z?cosx+c=a(2cos2x-l)+Z7cosx+c

(4)形如^=〃8也現(xiàn)08工+〃(§也1±(：08*)+。的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx±cosx=?；癁殛P(guān)于

t的二次函數(shù)y=at2+4+。在區(qū)間上的值域，要注意，的取值范圍；對(duì)于由sinx±cosx與

sin2x(sinxcosx)作和、差運(yùn)算而得到的函數(shù)，例如

/(%)=(2(sinx±cosx)+Z?sin2x,都可以轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)求最值。

一八-UHIasinx+bQCOSX+6asmx+bacosx+b.

⑸形如分式型：y=---------,y=----------9y=----------/=----------等

csinx+dccosx+dccosx+dcsinx+d

三角函數(shù)，可用換元法或者從幾何意義的角度結(jié)合圖象來求最值。

g甘.來列asinx+bacosx+b

①基本類型一:y=---------、y=----------型

csinx+dccosx+d

方法一：反解sinx,利用三角函數(shù)的有界性;方法二：分離常數(shù)法.

一皿gasinx+b力,

②基本類型二：y=----------型.

ccosx+d

轉(zhuǎn)化為4sinx+8cosx=C,再利用輔助角公式及三角函數(shù)的有界性求其最值;

1.若/(cosa,sino,l),5(cos/7,sin/7,l),則以，的取值范圍是()

A.[0,2]B.[1,V3]C.(0,2)D.(1,73)

【答案】A

【分析】先求出向量坐標(biāo)，再求出模長(zhǎng)，最后求范圍即可.

[詳解]由已知可得45=(cos/?-coscif,sin4一sin。,0),

則

222222

卜目=J(cos/7—cosaf+(sin/y-sincr)+0=cos/3+cosa-2cos[3coscr+sin+sin6ir-2sinsina

=Jl+1-2cos尸cosa-2sin夕sina=^2-2cos(4-a),

-1<COS(y0-6Z)<1,

所以0K2—2cos(/?—a)M4,

所以畫=j2-2cos(￡-a)6[0,2].

故選:A.

2.下列函數(shù)中最小值為4的是()

,4I.I4

A.y=\nx+-----B-4mx|+由

Inx

C.y=2x+22-x

【答案】CD

【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等”，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)lnx<0時(shí)，y=lnx+J—<0,故A錯(cuò)誤；

Inx

對(duì)于B：令t=binx|,貝y=t+i>2^t^=4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C：y=2X+22-X>2A/2X-22-X=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，故C正確；

____x2+5I-------4

對(duì)于D：由題意得+］〉。,-^y=,=y/x2+1+,>4,

Vx2+1Vx2+1

當(dāng)且僅當(dāng)*=±百時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：CD.

3.對(duì)于函數(shù)/(%)=sinxcosx+sin2x-；,下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

B.函數(shù)了=〃x)的對(duì)稱軸是x="+二，丘Z；

2o

C.若函數(shù)>=/(x+0是偶函數(shù)，則冏的最小值為J；

O

D.函數(shù)了=/(x)在2,斗的值域?yàn)?，?/p>

03J14f￡41

【答案】ABD

【分析】利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)得/'(x),計(jì)算可判斷A；求出函數(shù)

y=/(x)的對(duì)稱軸方程可判斷B；根據(jù)y=〃x+0)為偶函數(shù)求出?？膳袛郈；根據(jù)2X-：

的范圍求出Sin12x-(j最大值可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?(x)=sinxcosx+sin2x-；=；sin2x+^~~。；2工一；

V2..V2..八叫

=--------sin2x-------cosZx=-----sin2x—,

2(22)2{4)

=0,所以函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,

故A正確;

rtF-AC兀rATtZQ371kli1)

對(duì)于B,令2x—=—卜kit,kE.Z,解傳x=-----1----,keZ,

4282

所以函數(shù)V=/(x)的對(duì)稱軸是x="+自，keZ,故B正確;

28

對(duì)于C,因?yàn)椤?/(1+")=乎5畝[2、+20—個(gè))為偶函數(shù),

LLt、t_7171,1rATI/口3兀KU,r

^j*以2(p----=—Fku,左￡Z,角牛(P=---1----，左￡Z,

4282

所以閹的最小值為3故C正確;

O

I.「兀2K1「I-7i「兀13兀

對(duì)于D，當(dāng)xw-，貝lJ2x一

o341212

即X寸時(shí)’sin(2xf=l,^*勺，故D錯(cuò)誤.

故選：ABD

4.函數(shù)〃x)=2cos[2x+；]+；,+teR,則下列說法正確的是()

A.3ZGR,使得/(x)為單調(diào)函數(shù)B.3/eR,使得了⑴有三個(gè)零點(diǎn)

C.3teR,使得有最大值gD.土eR,使得/(x)的值域?yàn)?;,|]

【答案】AC

7T/IT4711

【分析】根據(jù)題意得2x+§e[2/+5,2/+3~＞區(qū)間長(zhǎng)度為兀.對(duì)于A,采用賦值法驗(yàn)證即可;

對(duì)于B,根據(jù)余弦函數(shù)圖象知，若丁=。。$。在區(qū)間(西,9)有3個(gè)零點(diǎn)，則區(qū)間長(zhǎng)度最小值為

2兀，與題干中2x+；的區(qū)間長(zhǎng)度矛盾，即可判斷；對(duì)于C,當(dāng)cos0x+升1時(shí)，可得/(x)

有最大值即可判斷；對(duì)于D,根據(jù)/(x),cos\2x+—,解三角

函數(shù)不等式即可判斷.

【詳角軍】/(x)=2cos+y,xe^t,t+2x+ye^2/+y,2；+—

對(duì)于A,不防令f=則2x+ge(O,兀)，此時(shí)〃x)單調(diào)遞減，故A正確;

對(duì)于B,根據(jù)余弦函數(shù)圖象知，若＞=cos。在區(qū)間(x”X2)有3個(gè)零點(diǎn)，則區(qū)間長(zhǎng)度最小值為

2兀,

7T/TT4冗1

而2工+3?12/+5,2/+三｝故不存在,使上述區(qū)間長(zhǎng)度為2兀，故B錯(cuò)誤；

TTSS

對(duì)于C,當(dāng)2x+g=2所化eZ)時(shí)，“X)取得最大值;，，于eR,使得/(X)有最大值》

故C正確;

對(duì)于D,由/(X)=2COS[2X+])+51￡12,cos\2x+—jG

22,2

2兀C7兀C7)y+2kR,g+2knk左￡Z),

2xH---￡———F2kjt,——+2ATIILJ

3

7T［T7T144冗兀1￡3

又2、+§￡［2/+§2+了〉故不存在止R,使得Ax)的值域?yàn)?故D錯(cuò)誤.

33252

故選：AC.

5.已知/(x)=sinx+cosx+2sinxcosx,XG0,-1I,則/(x)的值域?yàn)?

【答案】［1,1+72］

【分析】令，=sinx+cosx,再結(jié)合平方關(guān)系將2sinxcosx用，表示，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求

出/的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】令/=sinx+cosx二行sin［x+；］,

則〃=(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,故2sinxcosx=?-1,

因?yàn)閄E0,—,所以％+7'彳1'所以，￡口,收］,

4g(/)=/+Z2-l=p|Y-|,/e［l,V2］,則g(。在此［1,四］單調(diào)遞增，

則當(dāng)g(0mm=g6=l，g(<Lx=g(應(yīng))=1+立,

故答案為：［1,1+收］

6.已知函數(shù)/(%)=2百sin(兀一x)cosx+2cos2x.

⑴求函數(shù)/(X)的最小正周期；

TT7T

(2)若xe,求函數(shù)/⑴的值域.

63_

TT

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)-l在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則求小的取值范圍

0

【答案】(1)最小正周期兀

(2)[0,3]

5兀11兀)

⑶立五J

【分析】(1)利用二倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算

可得；

(2)由x的范圍，求出2》+占TT的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;

6

7T

(3)首先求出g(x)的解析式，由x的范圍，求出2X+B的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)

6

算可得;

【詳解】(1)f(x)=2A/3sin(;r-x)cosx+2cos2x

=2百sinxcosx+(cos2x+1)

I、

=百sin2x+cos2x+1=2sin2x+—cos2x+1

2J

=2sin12x+.)+1,

所以函數(shù)小)最小正周期丁=空27r=兀

7T71571

(2)當(dāng)xe時(shí),上W2xW生,——<2x+-<—,

6333666

所以一51Wsin[2x+.71)W1,-l<2sinf2x+-^-j<2,貝(J0K2sin12x+.兀)+1<3,

266

jrIT

因比，函數(shù)>=/(x)在區(qū)間7,7上的值域?yàn)閇0,3].

OJ

(3)因?yàn)間(x)=/(x)-l=2sin[2x+Ej,

兀?7t_7C_7L

,/XE,貝！J——<2x+—<2m+—,

6666

TT

若函數(shù)g(x)=〃x)-l在-7"上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

O_

TT57r117T

則?！?機(jī)+3<2兀，解得〈詈，

61212

5兀11兀

即加￡1

IPITJ

71

7.已知函數(shù)/(x)=2sin3x+0)+lO〉O,O<e<7r),f3

3co

(1)求

(2)若方程f(x)=1在區(qū)間胡］上有且僅有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求Ax)的解析式.

①若函數(shù)/(x)在［n,2兀］上的值域?yàn)椋?1,2］；

JTTT

②函數(shù)/(X)在-上的最大值與最小值差為3.

【答案】⑴m

6

1723

755

,TTTT

(3)選擇①，/(x)=2sin(-x+：)+1或f(x)=2sin(x+-)+1

366

JT

選擇②，/(x)=2sin(x+-)+l

6

【分析】⑴根據(jù)題意，可得sin|j+力1,從而得解;

(根據(jù)題意，卷-旌，可得，再由則,〃)兀711171「

2)TVy3404g<—+-<—,且

6612

號(hào)+￡〈等，可確定實(shí)數(shù)0的取值范圍;

266612

jr15立JT37r

(3)選擇①，根據(jù)題意可得sin(s+z)￡T，7，X—<^7i+-<—,

62662

—＜2^+-＜—,分。兀+二=亞和2。兀+色=包兩種情況求解;

2666666

選擇②，分析可知〉=5M回+巳)在TTTT上的最大值與最小值差為3S:，由三角函數(shù)圖

2

7171￡

象變換可知V=sin|。尤+：|在上先增后減，最大值為1,故sing+

k6oJ332

可解.

TTTTITT1

【詳解】(1)根據(jù)題意，/(丁)=2sin(。丁+e)+l=2sin“+。+1=3,

3G3a)J

Ijr\TT冗

即sin|/+o|=l,則e=：+2E,又0＜夕＜無，所以夕=：；

[3J66

jr57r

(2)根據(jù)題意，/(x)=l在區(qū)間上有且僅有3個(gè)解，

OO

即sin(s+B)=0,在區(qū)間上有且僅有3個(gè)解，

6oo

所以T〈生/＜尹，即又”0,所以340＜苫,

0°z932

，一?！浮ＸＸ?。兀71

由于GX+—￡——+—,+—,

66666

2兀,G717111兀Lt5兀71,5。兀714771

則—<——+—<,且——+—<---+—<

36612266612

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì),

所1以7仔23

TT

(3)因?yàn)?(x)=2sin(0x+—)+1,

6

選擇①，當(dāng)工￡［兀,2兀］時(shí)，a)x+—eCDTI+—,2COTI+—,

6166

T2T24

根據(jù)題意，y<27l-K<y,所以§<0<H，

「Lu5兀兀3兀3兀八7i17兀

所以一<6071+—<一,—<2。兀+—<------,

662266

TT1

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在［兀,2兀］上的值域?yàn)椋?1,2］,即sin(Ox+/)e-1,-,

o|_2_

3JT兀13兀

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，可知三<2如1+：〈耳，

266

IT57r2jr3冗

當(dāng)。兀+2=?時(shí)，0=：,此時(shí)2。兀+==與，符合題意，

66362

2兀

所以/(x)=2sin(；x+：)+l,

36

IT13TTTT7JT

當(dāng)2。兀+==多時(shí)，。=1,止匕時(shí)。兀+9=9,符合題意，

6666

7T

所以/(x)=2sin(x+7)+l,

6

27rIT

綜上，/0)=25皿；%+:)+1或/0)=25皿%+7)+1；

366

TT7T

選擇②，由函數(shù)"X)在上的最大值與最小值差為3,

即/=5m10尤+/在上的最大值與最小值差為］,

Iji］兀

又因?yàn)椤?gt;0,y=sin［ox+%J可由y=sinx向左平移后再伸縮得到,

所以片sin［Ox+1］在-K上先增后減，最大值為1,

IoJ53

JT

故〃x)=2sin(x+》+L

6

8.已知函數(shù)/(x)=2cos]2x+gj+l.

⑴求〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵求“X)在上的值域.

271

【答案】(1)--71+ATI,--+A：7i,keZ

3o

⑵[T2]

【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

TTTT47r

（2）由X的取值范圍求出+y,y,再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】（1）/（x）=2cos^2x+y^+l,-7i+2kji<2x+y<2foi,A:eZ,

2兀

解得——TI+kR<x<---&kit,keZ,

36

2TT

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-刀兀+航,-z+E,kwZ.

3o

/TT1TTTTTT47r

（2）/（x）=2cos^2x+yj+l,因?yàn)?,—,所以+,

+e-1,^-,貝I]2cos[2x+；1+l￡[—1,2],

即函數(shù)/（X）在0g上的值域?yàn)閇T2].

9.已知函數(shù)/（x）=V6sinxcosx-V2sin2x+,

⑴求〃%）的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若xe-患,關(guān)于x的不等式切怎+。+/（尤+。24后恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范

圍.

【答案】⑴號(hào)+也,KeZ（2）[9,+8）

【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

的解析式，依題意可得關(guān)于的不等式

（2）首先得到了X+eJX

mcosx>5-2cos上恒成立，參變分離結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出

———2cOSXI,即可得解.

COSXmax

【詳解】（1）/（x）=V6sinxcosx-V2sin2x+-^-

V6.K1~cos2xV2

---sin2x—■\/2x----------1----

222

—sin2x+—cos2x=V2f—sin2x+-cos2x

=V2sinf2x+^-

22I22

7T元37r兀2IT

令一+2kji<2x+—<---F2kn,kGZ,解得—+kit<x<---Fkijke.Z,

26263

jr2冗

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+kn,—+kn，4eZ.

63

（2）因?yàn)?（工）二五5由]2'+己），

=>/2sinx+—=5/2cosx,

fx+=V2sin2x+互71+四71=5/2cos2x,

[l66

TTTT

因?yàn)楫?dāng)xe,關(guān)于x的不等式時(shí)+/+24&恒成立,

o3r?

即關(guān)于X的不等式加收COSX+亞cos2x24也在一公不上恒成立,

o5

兀71

即關(guān)于工的不等式以cosx+cos2xN4在-二，7上恒成立，

63

,.7C兀.._...、

即關(guān)于工的不等式加cosx25-2cos2%在一二,彳上怛成乂，

o3

一、t兀兀冗15-7171tt一八、

因?yàn)椋?,所以COSXW-51,所以加2-2cosx在一上恒成",

05cosxo3

因?yàn)閥=*5-2x在1,1上單調(diào)遞減，所以

---2cosxI=9,所以加之9,

XCOSXmax

即實(shí)數(shù)加的取值范圍為［9,+8).

10.求函數(shù)目=J-2cos2x+3cosx-1+lg（36-J）的定義域.

71715兀,

【答案】I-6,-yuu——,6

~3933

【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出答案.

1I

-2cos2x+3cosx-1>0—<COSX<1

【詳解】欲求函數(shù)定義域，則由，解得2

2

36-X>0-6<x<6

--+2hi<x<—+2kTi（kwZ）,

解得33l乙取左二—1,0,1,

-6<x<6

可得到定義域?yàn)?6,-gu-j,ju

考點(diǎn)02:三角函數(shù)性質(zhì)的考察

1、求三角函數(shù)的周期，一般有三種方法

(1)定義法：直接利用周期函數(shù)的定義求周期.

(2)公式法，即將函數(shù)化為y=Nsin(@x+°)+8或歹=Zcos(<yx+o)+8的形式，再

2兀

利用7=;―求得，j=tan?x+°)的最小正周期為工

I口I依I

(3)圖象法：利用三角函數(shù)圖象的特征求周期.如：相鄰兩最高點(diǎn)(最低點(diǎn))之間為一個(gè)周

期，最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)之間為半個(gè)周期.相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為工，相鄰兩對(duì)稱中心

2

間的距離也為工,相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心間的距離也為二，函數(shù)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最

24

高點(diǎn)或最低點(diǎn).

2、與三角函數(shù)的奇偶性有關(guān)的問題

(1)對(duì)于函數(shù)y=4sin(@x+0)U>0,ft)>0)：0=左兀時(shí)，函數(shù)y=Zsin(@x+0)為奇函

數(shù)；0=左兀+]■時(shí)，函數(shù)y=/sin(公r+0)為偶函數(shù).

(2)對(duì)于函數(shù)y=4cos3x+0)(4>0,口>0)：。=左兀時(shí)，函數(shù)y=/cos(公r+0)為偶

函數(shù)；0=左兀+]■時(shí)，函數(shù)y=/cos(公r+0)為奇函數(shù).

3、與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題

(1)求函數(shù)y=4sin(3+0)(4>0,刃w0)或y=4cos(s+0)(4>0,Gw0)的單調(diào)

區(qū)間，一般將視作整體，代入》=5畝工或丁=(^05%相關(guān)的單調(diào)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的不等

式，解之即得.

(2)當(dāng)口<0時(shí)，先利用誘導(dǎo)公式將歹=4sin(5+0)(/>O0<O)變形為

y=-Asin(-6t;x-(p)

(/>0,G<0),將歹=4COS(S+0)(Z>O,G<O)變形為

歹二4cos(—GX—0)(/>0,刃<0),再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(3)當(dāng)N<0時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間的變化，謹(jǐn)防將增區(qū)間與減區(qū)間混淆.口

4、三角函數(shù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解方法

(1)定義法：正(余)弦函數(shù)的對(duì)稱軸是過函數(shù)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于*軸的直線，對(duì)

稱中心是圖象與X軸的交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn).

kn9十九,/kn(p\

(2)公式法：函數(shù)y=4sin3x+0)的對(duì)稱軸為x，對(duì)稱中心為(，0|；

coco2co\co(O/

函數(shù)y=Zcos(sr+0)的對(duì)稱軸為^=生一區(qū),對(duì)稱中心為kn(pn\

+—,0;函數(shù)『=4tanQx

(00)co(D2(o/

kn(p

+如的對(duì)稱中心為kCL.

2(oco

CD

11.若函數(shù)/(x)=asin0x+cosax的對(duì)稱軸方程為％=加+弓，keZ,則/—71)

A.顯

B.正C.-V2D.V2

22

【答案】D

co=l

【分析】根據(jù)三角恒等變換可化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而可得兀，代入即可得解.

1

【詳解】由已知/(x)=asina)x+cosd>x=+1sin(ox+0),且tan。

a

1八

si"=「

yja+1

冗

由對(duì)稱軸為.2“則相鄰兩條對(duì)稱軸間距離為兀，即函數(shù)的最小正周期為7』,

令@=|^=1,/(x)=V?2+lsin(x+0),

兀

X+0=2+左］71,左］￡Z,

—

貝［jx=萬一0+4兀，艮［］—+k［K=—+kuf左EZ,E］￡Z,

貝!J夕=+(左一')兀，左EZ,勺￡Z,

又sme=^^=>0,

V6Z+1

7T

所以夕=^+魚兀，心為偶數(shù),

則/(耳=瓜瓦］71

x+—+左2兀=V2sinlx+二|,

44

CDTl71兀

則/V2sin=啦,

44

故選：D.

12.已知函數(shù)/(x)=4sin(0x+e)(/>0,。>0)的部分圖象如圖.若X]+2x2=0,則cos20=

【分析】由圖可知/'(再)=/'(工2)=0,求出再,乙,再由國(guó)+2%=0可求出。，從而可求出

cos2°.

【詳解】由圖知/(』)=/(X2)=0,

所以GM+0=2標(biāo),。%2+0=2歷1+兀,keZ,

「一…2kn-(p2左兀+兀一0,~

所以再=-----匕，x=------------匕，左eZ,

CD2CD

,32kn-(pC2左兀+兀一0八/口22

由再+2^2------------F2'--------------=0,(p——7i+2,/CJI,kwZ,

CDCD3

(2、41

所以cos20=cos2]§兀+2析I=cos§兀=--.

故選：C.

13.已知函數(shù)/(x)=sin3(0x+?](0>O)的最小正周期為n.則/⑺在的最小值

是()

A.--B.--C.0D.-

222

【答案】A

【分析】先由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合周期公式求出。，得/(x)=Tin2x,再整體求出

77TT

xe時(shí)，2x的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.

12o

(兀、27r2

【詳解】/(x)=sin3CDX+—=sin(36?x+7i)=-sin3cox,由7=——二冗得①=—,

V3J3a)3

71717171

即/(x)=-sin2x當(dāng)工￡時(shí),2xG

12'669i

畫出/(x)=-sin2x圖象，如下圖,

由圖可知，/(x)=-sin2尤在上遞減,

所以，當(dāng)x=3時(shí)，/(x).=-sin-=-^

6J、/min32

故選：A

14.已知函數(shù)/(切=25缶卜：+"|，08%,則()

A./(x)的最小正周期為兀

B.不等式〃x”0的解集為卜卜-gwxW航丘z}

C.在區(qū)間常上單調(diào)遞減

D.為了得到函數(shù)/(x)的圖象，只要把函數(shù)y=sin2x曲線上所有的點(diǎn)向左平移三個(gè)單位

長(zhǎng)度，再向上平移心個(gè)單位長(zhǎng)度

2

【答案】AB

【分析】先應(yīng)用兩角和差及輔助角公式化簡(jiǎn)解析式，再結(jié)合周期判斷A,再解三角不等式判

斷B,整體代換判斷單調(diào)性判斷C,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移判斷D即可

【詳解】

J.i百)]V3

/(x)=2sinx+—cosx=2sinxx—+cosxx——cosx=sinxcosx+V3COS2X=—sin2x+-^-(1+cos2x)=sin12x+y

\227

對(duì)于A.最小正周期為兀，正確；

對(duì)于B.sinf2x+—^+>0,BPsinf2x+—,2kn-—<2x+—<2kit+—,所以解

(3j23J2333

集為[引左兀一gvxW兀+3,左ez1,正確；

I-(713兀)rrc兀(兀兀3兀兀\c兀(57111兀1“/\—d一一

對(duì)于C.因?yàn)楣ぁ辏?丁，即2%+不￡—+~,—卜2x+^w~7^~7~，/(%)在該區(qū)間

[44)312323)3(6o)

不單調(diào)遞減，錯(cuò)誤；

對(duì)于D.為了得到函數(shù)/(x)的圖象，只要把函數(shù)N=sin2x上所有的點(diǎn)向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)

0

度，再向上平移好個(gè)單位長(zhǎng)度，錯(cuò)誤；

2

故選：AB.

15.已知函數(shù)/(》)=7^山出0%-3?)$2工，則下列說法正確的是()

B.函數(shù)“X)的最小正周期為兀

C.函數(shù)〃x)的圖象的對(duì)稱軸方程為片方+g(左eZ)

D.函數(shù)/(x)的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移三單位長(zhǎng)度得到

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)三角函數(shù)圖象變換分析求解；對(duì)于B：根據(jù)正弦型函數(shù)周期公式運(yùn)算

求解；對(duì)于C：以2》-?為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)三角函數(shù)

0

圖象變換分析求解.

由題意可得：/(x)=^-sin2x-^-cos2x=一.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：sin12%故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：函數(shù)/(%)的最小正周期為7=|=兀，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：^2x——=kjt-\--,kGZ,解得％=工+；,左eZ,故C正確；

6223

7T

對(duì)于選項(xiàng)D：y=sin2x的圖象向右平移;單位長(zhǎng)度，

可得y=sin2(x-^|)=sin(2x-e)=/(x),故D正確.

故選：BCD.

fx=x

16.已知函數(shù)/(x/)=(2x+6-siny)2+(x-cosy)2,當(dāng)且僅當(dāng)＜n,/(%,歹)取得最小值，則

下列說法正確的有()

A.g(y)=/(O,y)的最大值為37

B.Mx)=f(x,O)的最小值為—

C.F(x)=/(x,%)在x=%處導(dǎo)數(shù)等于0

D.當(dāng)x和y取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，則所能達(dá)到的最小值為4

【答案】BC

【分析】由已知可得g(y)=37-12siny可判斷A；〃(x)=/(x,0)=5(x+￡)2+?可判斷B；由已

(〃=2x+6

知可得P(x)=/(x,%)在X=x。處導(dǎo)數(shù)等于o,判斷c；設(shè)，所以點(diǎn)"(％”)的軌跡

[m=x

[a=cosy

為直線〃=2加+6,令'.，則N(a,6)的軌跡方程為/+/=1,進(jìn)而求最小值判斷D.

[b=siny

【詳解】對(duì)于A：g(y)=f(0,1y)=(6-siny)2+(-cosy)2=36-12sinj;+sin2y+cos2=37-12sinj;<49,

當(dāng)siny=-1時(shí)，最大值為49,故A錯(cuò)誤；

116464

對(duì)于B：h(x)=/(尤,0)=(2%+6—sin0)2+(x-cos0)2=5x2+22x+37=5(x+y)2+y>y,

當(dāng)且僅當(dāng)x=-?■時(shí)取等號(hào)，故B正確；

fx=x

對(duì)于C：因?yàn)楹瘮?shù)/(x/)=(2x+6-siny)2+a-cosy)2,當(dāng)且僅當(dāng)｛n,/('/)取得最小值，

所以/0)=/(%,%)在x=%o處導(dǎo)數(shù)等于0,故C正確；

[n=2x+6

對(duì)于D：設(shè)I,所以點(diǎn)的軌跡為直線〃=2機(jī)+6,

[m=x

[a=cosy

令，.,則N(a/)的軌跡方程為"+62=I,

[b=siny

又f(x,y)=(2x+6-siny)2+(x-cosy)2表示點(diǎn)Af與N的距離的平方，

|2x0-0+6|.6?

又心吐藍(lán)-I,

/(Xj)min=(￡T)2,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

17.大自然中充滿了各種聲音，有的美妙無比，有的尖利嘈雜，那是因?yàn)槁曇糁邪?/p>

函數(shù)，一個(gè)純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)V=/sin祝(4。為非零常數(shù)，/為變量)，而我們平時(shí)所

聽到的樂音不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模

型是函數(shù)/（x）=sinx+；sin2x,則（）

A.的最小正周期為兀B.7M的圖像關(guān)于點(diǎn)（兀,0）對(duì)稱

7T71