空間向量與立體幾何（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（解析版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（人教版選擇性必修第一冊(cè)）

第1章空間向量與立體幾何（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

一、單項(xiàng)選擇題：每題5分，共8題，共計(jì)40分。

1.已知向量商=（2,-1,3）,5=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）,若萬(wàn)，方，工共面，則實(shí)數(shù)4=（）

【答案】D

【分析】利用空間向量共面定理進(jìn)行求解.

【詳解】若"b，共面，則存在實(shí)數(shù)%九使得八姐+歷，

33

x=——

1=2x-y7

17

即（7,5"）=x（2,T3）+y（-l,4,—2）,即5=—x+4y,解得＜y=7.故選D.

A=3x-2y

。65

Z=—

7

2.已知向量商=（1,1,0）,5=（-1,0,2）,且切+B與2方?；ハ啻怪?，則上的值是（）

7

A.-B.2

5

C.-D.1

3

【答案】A

【分析】先利用空間向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示求出數(shù)，同,|同，再利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)

行求解.

【詳解】因?yàn)樯?（LL0）,=（-1,0,2）,所以小5=-1，\a\=y/2,|5|=V5,

因?yàn)橐?B與2”方互相垂直，所以（屈+孫（2萬(wàn)—5）=0,即2申『+（2—4）落方一回=0,

即4左_（2_幻一5=0,解得左.故選A.

3.如圖，在平行六面體ABCD-AB|GA中，E,尸分別在棱8月和。2上，且.記

—*——*—?—?41?BE

EF=xAB+yAD+zA\,右％+y+z=：,貝U^~二（）

DrCi

【答案】B

【分析】設(shè)器="由空間向量的線性運(yùn)算可得而=-通+而+-由空間向量基本定理即可

求解.

BE____._._...____,.1,

【詳解】設(shè)丁7=九，因?yàn)榈Z=麗+而+而+而=＜函一通+而+—而T

BBt2

=一49一而+而+；麗=一而+而+Q■一2）河,所以x=T,y=l,z=1-2.

因?yàn)閤+y+z=：-；l=!,所以4=9.故選B

244

4.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉膈，在鱉牖A-BCD中，ABJ_平面BCD,

BCLCD,S.AB=BC=CD,M為A。的中點(diǎn)，則異面直線BM與C。夾角的余弦值為（）

A.立B.@C.叵D.—

3434

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可以求得向量夾角的余弦值，再根據(jù)向量夾角與異面直線夾角

的關(guān)系可以求得異面直線夾角的余弦值.

【詳解】畫(huà)出四面體A-3CD,建立坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.

解：四面體A-3CD是由正方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的，如下圖所示

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2

8(0,0,0),C(2,0,0),0(2,2,0),M(1,1,1)

兩=(1,1,1),麗=(0,2,0)

麗?①2

cos〈BM,CD)=

|麗H可氐23

因?yàn)楫惷嬷本€夾角的范圍為畫(huà)］,所以異面直線BM與。夾角的余弦值為《

故選C

5.已知矩形4BC。尸為平面ABC。外一點(diǎn)，且平面ABC。，加小分別為所,月。上的點(diǎn),

~PM=2MC,~PN=ND,NM=xAB+yAD+zAP,則x+y+z=()

【答案】B

211

【分析】根據(jù)空間向量基本定理求出％=z=-：,求出答案.

366

【詳解】因?yàn)閮?2碇，麗=而，

所以加=而+而=—而+一定=一/一一AD+-AC一一AP

232233

1,9?1—?1__>9,2?1—?2—?1.1.

=一一AD+-AC一一AP=一一AD+-AB+-AD一一AP=-AB+-AD一一AP,

2362336366

乂211,乙2

i^x=-,y=-,z=--,故尤+y+z=；.

3663

故選B

6.空間內(nèi)有三點(diǎn)尸（1,2,-3）,磯2,4,0）,F（0,4,2）,則點(diǎn)P到直線EE的距離為（）

A.72B.3亞C.73D.2布

【答案】D

【分析】分別求出而與厘，即可得麗.屋，司與陶，根據(jù)點(diǎn)尸到直線所的距離為

可求解.

【詳解】因?yàn)樵L=（一2,0,2）,而=（1,2,3）,

所以灰質(zhì)=lx（-2）+2x0+3*2=4,

|EF|=,y（-2）2+02+22=2V2,

所以點(diǎn)尸到直線EF的距離為，而=2^/3.

故選:D.

7.已知正方體ABCO-aqGA的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)石是棱CG的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在正方形A4,8出內(nèi)（包括邊界）

運(yùn)動(dòng)，且PR〃平面3DE,則PC長(zhǎng)度的取值范圍為（）

A.[5,6]B.[40,6]

C.D.[2A/5,6]

【答案】C

【分析】以。為原點(diǎn)，以麗，DC，西的方向?yàn)闊o(wú)，y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

D-孫z.取AA的中點(diǎn)為“,連接烏H.證明出點(diǎn)P只能在線段〃用上運(yùn)動(dòng).設(shè)麗=XHBx（。W4W1）

表示出方=（4,4彳-4,2+24）,求出模長(zhǎng)，利用二次函數(shù)求出PC長(zhǎng)度的取值范圍.

【詳解】以。為原點(diǎn)，以麗，DC，西的方向?yàn)闊o(wú)，y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

D-xyz.則￡＞（0,0,0）,A（4,0,0）,3（440）,C（0,4,0）,〃（0,0,4）,4（4,0,4）,4（4,4,4）,q（0,44）,磯0,4,2）.

取AA的中點(diǎn)為8,連接用“，D{H.

在正方體ABCO-A/CQ中，BBI=DRRBBJ/DD「所以四邊形班QQ為平行四邊形，所以BD〃&R.

又BRu面H2Q,3￡)a面HBR,

所以應(yīng)＞〃面

同理可證：DE//面HBiR.

又DBcDE=D,所以平面瓦。戶(hù)〃平面3DE.

因?yàn)槭凇ㄆ矫鎱^(qū)DE,所以點(diǎn)P只能在線段HB］上運(yùn)動(dòng).易知“(4,0,2),設(shè)麗=斯瓦(0W4W1),

麗=(0,4,2),則而=(0,42,24),赤=兩+而=(4,0,2)+(0,4/L,2X)=(4,4X,2+2X),

在=加一反=(4,442+24)—(0,4,0)=(4,44—4,2+24),

網(wǎng)=16+16(2-+4(X+1)2=20%-242+36.

當(dāng)2=(時(shí)，同2取得最小值理；當(dāng)％=0時(shí)，冏2取得最大值36.

故PC長(zhǎng)度的取值范圍為用,6.

故選C

【點(diǎn)睛】立體幾何求最值的方法有兩類(lèi)：

(1)幾何法：利用幾何圖形求最值；

(2)代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.

8.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AC1BC,AC=2,BC=1,M=2,點(diǎn)。在棱AC上，點(diǎn)E在棱

BB上,給出下列三個(gè)結(jié)論:

①三棱錐的體積的最大值為g;

②AtD+DB的最小值為0+石；

③點(diǎn)。到直線GE的距離的最小值為平.

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)錐體的體積公式判斷①，將將AABC翻折到與矩形ACGA共面時(shí)連接43交AC于點(diǎn)。，此

時(shí)取得最小值，利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷②，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法求出點(diǎn)到距離，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】在直三棱柱ABC-AB?中BB\±平面ABC,

對(duì)于①：因?yàn)辄c(diǎn)E在棱B片上24=招=2,所以BEe[0,2],又/_秒°，

又ACLBC,AC=2,8c=1,點(diǎn)。在棱AC上，所以ADe[0,2],凡謝=：A。-8C=gA￡>?0,1],

12

所以旌一加=38￡邑M"4耳，當(dāng)且僅當(dāng)。在C點(diǎn)、E在用點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故①正確；

對(duì)于②：如圖將“1BC翻折到與矩形ACQA共面時(shí)連接\B交AC于點(diǎn)D,此時(shí)4。+DB取得最小值，

因?yàn)锳C]=CG=2,BC=I,所以BC1=3,所以”=JAU+CF=/,

即4。+。8的最小值為巫，故②錯(cuò)誤;

4G

對(duì)于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。（a,o,o）,ae[o,2],E（0,l,c）,ce[0,2],

G(0,0,2),

所以空=?0,—2）,乖=（0,1,c—2）,

(___

CDQE-2(c-2)

則點(diǎn)。到直線CE的距離d=/+4—

當(dāng)c=2時(shí)d=Ja，+4>2?

2111>50<——:—<—

當(dāng)0〈c<2時(shí)0<(c-2)44,1+尸7，，則i5,

^，(。-2)

所以當(dāng)取最大值q,且/=o時(shí)心?=口^=與

（0一2）+15V55

即當(dāng)。在C點(diǎn)E在8點(diǎn)時(shí)點(diǎn)。到直線C{E的距離的最小值為W,故③正確;

故選c

二、多項(xiàng)選擇題：每題5分，共4題，共計(jì)20分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選

錯(cuò)的不得分。

9.已知向量2=(4,-2,-4)&=(6,-3,2),則下列結(jié)論不正確的是()

A.a+Z?=(10,—5,_2)B.a—b=(2,—1,6)

C.a-b=10D.|a|=6

【答案】BC

【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解.

【詳解】解：向量Z=(4,-2,Y),)=(6,-3,2),

a+b=(10,-5,-2),故A正確；

a-b=(-2,1,-6),故B錯(cuò)誤；

0.5=24+6-8=22,故C錯(cuò)誤；

|a|=V16+4+16=6,故。正確.

故選BC.

10.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.若空間向量；〃力，則存在唯一的實(shí)數(shù)4,使得石=幾￡

—.3.1—.1—.

B.A,B,C三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn)O,^OP=--OA+-OB+-OC,則P,A,B,C四點(diǎn)共面

488

C.a=(x,2,l),b=(4,-2+x,x),￡與石夾角為鈍角，則x的取值范圍是「巴力

D.若｛況，礪，反｝是空間的一個(gè)基底，則。，A,B,C四點(diǎn)共面，但不共線

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量平行、空間點(diǎn)共面、空間向量夾角、基底等知識(shí)確定正確選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，若￡是零向量，B是非零向量，則；加，但不存在實(shí)數(shù)2,使得7痛，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，0P=-0A+-0B+-0C=-0A+-0B+\l---^-\0C,

48848(48)

--3―-1—.

CP^-CA+-CB,所以P,A,B,C四點(diǎn)共面，B選項(xiàng)正確.

48

C選項(xiàng)，當(dāng)x=-2時(shí)，Z=(—2,2,l),B=(4,T,—2),B=—2￡,Z與否夾角為兀，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，如下圖所示三棱錐ABC,｛況,赤，前｝是空間的一個(gè)基底，但QA,B,C不共面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選ACD

11.如圖，正方體48。-4與￡旦的棱長(zhǎng)為1,E是。2的中點(diǎn)，則()

A.直線8。〃平面42。B.BjC1BD｛

C.三棱錐G-BCE的體積為g

D.異面直線與3。所成的角為60。

【答案】ABD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一驗(yàn)證即可;

【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，4(0,0,0),*1,0,0),C(l,l,0),￡)(0,1,0),A(°，°，l)，耳。，。，1)，

G(1,1,1),E(O/，￡|，

B^=(O,l,-l),=(-1,1,1),=(-1,1,0),珂=(-1,0,1)

所以麻?西=-lx0+lxl+(-l)xl=0,即麻，西，所以用CJLB2，故B正確；

^C.BD=-lxO+lxl+(-l)xO=l,|甌=后，BD=y/2,

n鴕?麗1(萬(wàn)］?

設(shè)異面直線BC與所成的角為e,則cose=扇.麗=5,又。€［。，萬(wàn)］,所以。=\,故D正確；

言:，即—x+y=0一,、

設(shè)平面A3。的法向量為3=(x,y,z),則X+Z.0,取”=。，1，1），

—X十Z—U

則方?%=0xl+lxl+lx(-l)=0,即萬(wàn)，束，又直線4c0平面AB3,所以直線4C〃平面故A

正確;

故錯(cuò)誤;

KC|—O?|rCEc=VOB[—Cc|CrcE=3-B,iCi1-S△Ajfe,wCE=3-xlx-2xlxl=-6/,C"i，/、,

故選ABD

【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.

12..如圖，在菱形ABCD中，42=逑,/54。=60。，沿對(duì)角線8。將△回￡＞折起，使點(diǎn)A,C之間的距

3

離為2近，若P,Q分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.無(wú)論P(yáng)運(yùn)動(dòng)到哪，NAPD都是銳角

B.線段尸。的最小值為夜

C.平面ABD_L平面3cD

D.當(dāng)P,Q分別為線段的中點(diǎn)時(shí)，PQ與AD所成角的余弦值為邁

【答案】BCD

【分析】設(shè)8。的中點(diǎn)為。，連接AO,CO,建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量作有關(guān)計(jì)算.

【詳解】取的中點(diǎn)。，連接O4OC,由題意可知：OA=OC=2,

因?yàn)镺V+OC=AC?,所以O(shè)4_LOC,

又易知OALaZOC1.3O,

因?yàn)?4_1_0。,04_13￡),0。門(mén)8。=0,

所以平面3DC,

因?yàn)椤?u平面ABD,

所以平面ABD_L平面比>C,故C正確，當(dāng)P點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，ZAPD=90,A錯(cuò)誤;

以。為原點(diǎn)，OB,OC,OA分別為羽y,z軸建立坐標(biāo)系，

則彳￥，O,O]C(O,2,O),A(O,O,2),"-￥，O,O],

設(shè)P(a,O,O),Q(x,y,z),由麗=；lC5得，Q(0,2-2%,2/l),

|=J/+(2一2X)2+(22)2=卜+8,一J+2,

當(dāng)。=0"=g時(shí)，I尸。1mln=0,故B正確；

當(dāng)P，Q分別為線段82C4的中點(diǎn)時(shí)，

、

網(wǎng)0,0,0),。(0』,1),而=(0,1,1),而=|<-2子/3,0,-2,

設(shè)P。與AQ所成的角為

PQAD

則cos8=;__

PQ[\AD

所以P2與9所成角的余弦值為逅，故D正確;

4

故選BCD.

三、填空題：每題5分，共4題，共計(jì)20分。

13.已知向量3=(2,0,1)為平面a的法向量，點(diǎn)A(-l,2,l)在a內(nèi)，則點(diǎn)尸(1,2,2)到平面a的距離

為.

【答案】x/5

【分析】把點(diǎn)到平面距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題求解.

【詳解】解：言=(-2,0,-D,點(diǎn)P到平面。的距離為臂罩=以塔n=6.

故答案為：V5.

14.已知向量￡=(0,-2,2),向量另=(n,3,1),則向量￡在向量B方向上的投影為.

【答案】-1

【分析】代入向量投影的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=(0,-2,2),B=(6,3,1),

所以=0義&+(—2)x3+2xl=T,同=20,忖=4,

/一八HIct'ba-b—4

所以向量￡在石方向上的投影數(shù)量為|4＜嗎。，6)邯卜麗=M=7=T.

故答案為：-1.

15.A(l,-1,3),8(702)為空間直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，而=(2",〃)，若正〃屈，則2+〃=.

【答案】0

【分析】由向量的平行公式小歷，則|=焉，可以求出而，即可得到2+〃的值.

【詳解】由A.B的點(diǎn)坐標(biāo)可得現(xiàn)=(6,1,-1),因?yàn)橹恪ㄍǎ瑒t所以彳+〃=0.

故答案為：0.

16.如圖，棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面a內(nèi)，三條棱A3,AC,AD都在平面1的同側(cè).若頂點(diǎn)8,C到

平面a的距離分別為下,百，則平面ABC與平面a所成銳二面角的余弦值為

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面。的一個(gè)法向量為(%，%，z°),設(shè)x°=l,

連結(jié)3C、CD、BD,則四面體A-BCD為直角四面體;

作平面a的法線AH,作于4，CQla于C『DD^la于Q；

連結(jié)A瓦，AC1，ADt,令A(yù)H=h,DA^a,DB=b,DC=c,由等體積可得

1_111,h2h2h2

刀=了+記+/'..」=/+”+7

222

令NBAB[=a,ZCACj=y,ZDADt=f3,可得sina+sin]3+sin/=1,設(shè)DD1=m,-：BBi=-Jl,CQ=#),

+O=L

解得"7=2；

71

貝Ua的法向量為ft=(x,%,z)=hcos--a,hcos/\,hcosIII={lisina,lisiny,/?s加?)，由

002J

,則平面ABC與平面a所成銳二面角的

四、綜合題：共6題，共計(jì)70分。

17.（本題10分）如圖，在空間四邊形。15C中，2BD=DC，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，設(shè)礪=￡,OB=b,OC=c.

o

(1)試用向量Z，b-Z表示向量歷；

(2)若6M=OC=3,OB=2,ZAOC=ZBOC=ZAOB=60°,求礪.高的值.

i1^13

【答案】(1)~^+~^+~c(2)--

2362

【解析】(1)根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)求出反即可；

(2)根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)?1-2BD=DC,

—.1—1―.一1-

:.BD=-BC=-(OC-OB)=-(c~b)

—.—?—.—1—2—］一

^OD=OB+BD=b+-(c-b)=-b+-c,

??,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

—.1—,—、11fl

^OE=-(OA+OD)=-a+-b+-c;

2236

9__

(2)由題意得益I=/,M?5=3,*5=3

^LAC=c-a

—?—?11一1

i^OEAC=(-a+-b+-c)\c-a)

236

1111一1二

=——a129+—c29+—d'C+—b'C——b'a

26333

11111O

=——x9+—x9+—x3x3xcos60o+—x3x2cos60o——x3x2cos60

26333

~~2,

18.(本題12分)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條

坐標(biāo)軸不垂直,那么這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°,

我們將這種坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜60。坐標(biāo)系”.我們類(lèi)比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60。坐標(biāo)系”下向量的斜60°

坐標(biāo)：分別為“斜60。坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸(x軸、y軸、z軸)正方向的單位向量，若向量為=應(yīng)+爐+zE,

則為與有序?qū)崝?shù)組(羽乃z)相對(duì)應(yīng)，稱(chēng)向量力的斜60。坐標(biāo)為［x,y,z］,記作為=［尤,y,z］.

(1)若]=[1,2,3],^=[-1,1,2],求4+B的斜60°坐標(biāo);

（2）在平行六面體ABC。-ABCQ中,A8=AO=2,AA/=3,ZBAD=ZBAA,=ZDAA,=60°,如圖，以｛戒AD,碼

為基底建立“空間斜60。坐標(biāo)系”.

①若屁=而一求向量前?的斜60。坐標(biāo)；

②若麗=[2/0],且麗上離，求|麗"

【答案】（1）[。,3,5]

【分析】（1）根據(jù)所給定義可得4=；+27+3入b=-i+j+2k,再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得;

⑵設(shè);,工后分別為與羽，而，而同方向的單位向量，貝U荏=2『，而=2],麗=3工，

①根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到函=-荏+而+g福，即可得解；

②依題意招=27+2_7+3萬(wàn)、赤=2：+萬(wàn)旦至7.狗=0根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，即可求

出乙再根據(jù)|阿=[②-21）2及向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得;

【詳解】（1）解：由方=[1,2,3],&=[-1,1,2],知苕=：+2了+3±,b=-T+j+2k,

所以商+5=（『+2]+3后）+（—;+了+2/）=31+5后，

所以方+方=[0,3,5]；

（2）解：設(shè)：,了,，分別為與順，而,M同方向的單位向量，

則通=2i,苞=2/，麗=3后，

@EDX^ADX-AE

心

=一27+2

一瀉

②由題肅=通+通+閾=27+27+3后,

因?yàn)辂?[2j,0],所以說(shuō)=2:+),

由麗,猬知夜.猬=(2f+2了+35卜(2f+切=0

^4i2+2tj2+（4+2t）T-j+6k-i+3tk-j=0

i3,

=>4+2?+（4+2z）--+3+y=0

=t=—2

則甌=W|=J（2f—24

="4”+4F一8n

=A/4+4—4=2-

19.（本題12分）如圖，AE_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=2,AE=BC=4.

⑴求證：8尸〃平面ADE；

(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(3)若二面角尸的余弦值為g,求線段CF的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵9

嗚

【分析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以旗，AD，女所在直線為無(wú)，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得A,

B,C,D,E的坐標(biāo)，設(shè)CP=〃(〃>0),可得而是平面ADE的法向量，再求出而，由彷.麗=0,且

直線班V平面AUE，得肝〃平面ADE；

(2)求出在，再求出平面的法向量，利用向量夾角公式得到直線CE與平面跳汨所成角的正弦值；

(3)求出平面瓦)尸的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值為g,列式求線段CF的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：因?yàn)锳E_L平面ABC。，AD,AB在平面A3CD內(nèi)，

則AE_LAD,AE±AB,又AD_LAB,

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以荏，AD，通所在直線為仁九z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

可得4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,4,0）,￡>（0,2,0）,￡（0,0,4）.

設(shè)CF=/i①>0）,則/（2,4,〃）.

則麗=(2,0,0)是平面ADE的法向量，又而=(0,4,小,可得而.存=0.

又：直線BFZ平面ADE,8/〃平面ADE；

(2)依題意，BD=(-2,2,0),BE=(-2,0,4),CE=(-2,^,4).

設(shè)為=(x,y,z)為平面的法向量,

萬(wàn)?2。=-尤+y=0

則，令z=1,得為=（2,2,1）.

n-BE=-x+2z=0

CEn4

4

直線CE與平面3DE所成角的正弦值為g；

(3)設(shè)歷=(%，M，zJ為平面3D尸的法向量,

m-JD=-x.+y.=0(4、

則一，取必=1,可得沆=U,-不，

m-BF=4%+/iZ]=0Ih)

由題意，k°s(成㈤|二講^==:，

H何3x：田/3

解得力=”.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意....線段CF的長(zhǎng)為學(xué).

77

20.(本題12分)如圖，四棱錐尸-ABC。的底面為正方形，底面ABCD設(shè)平面E4O與平面PBC的交

線為I.

(1)證明：△平面PDC；

(2)已知PZ)=A￡)=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面。。所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

3

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證得平面PDC,利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證

得AD1/1,從而得到平面PDC；

(2)方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)。(m,0,1),之后求得平

面QCO的法向量以及向量方的坐標(biāo)，求得卜os＜云而＞|的最大值，即為直線PB與平面QCD所成角的正弦

值的最大值.

【詳解】(1)證明：

在正方形ABCD中，AD//BC,因?yàn)锳D＜Z平面PBC,3Cu平面P8C,

所以AD〃平面P3C,又因?yàn)锳Du平面PAD,平面上M>c平面P8C=/,

所以ADHI,因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，底面A8CD是正方形，所以，DC，OC,且尸/〃平面ABCD,

所以_LPD,尸口，

因?yàn)椤！?gt;「尸￡>=。，所以平面P￡?C.

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法

因?yàn)镈P,ZM,DC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖所示：

因?yàn)镻D=AD=1,設(shè)0(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),

設(shè)Q(m,0,1),則有成=(0,1,0),DQ=(m,0,l),PB=,

設(shè)平面QCD的法向量為n=(x,y,z),

=0fy=0

，即,c，

=0[mjc+z=0

令光=1,則JZ=F,所以平面。。。的一個(gè)法向量為元=（1,0,-機(jī)），則

nPB_1+0+m

cos<n,PB>=

MMA/3-Vm2+1

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB

與平面QCD所成角的正弦值等于Icos<n,PB>|=B.J1+2ffl+m-

V3-Vm-+13V療+i

=—+--Jl+4^^—-^+1=->當(dāng)且僅當(dāng)根=1時(shí)取等號(hào)，所以直線PB與平面所

3Vm~+l3Vm2+l33

成角的正弦值的最大值為逅.

3

［方法二］:定義法

如圖2,因?yàn)?u平面PBC,Qwl,所以Qe平面P3C.

在平面PQC中，設(shè)尸BnQC=E.

在平面P4D中，過(guò)尸點(diǎn)作尸尸，。D,交。。于尸，連接收.

因?yàn)锽D_L平面ABCRDCu平面A3C。，所以。C_LPD.

又由￡>。_14),4?！甘?=。尸￡><=平面上40,ADu平面PAD,所以DCL平面PAD.又Pbu平面上4D,

所以DCJ.PR.又由尸尸_LQr>,QDnr>C=D,QDu平面QOC,。Cu平面Q。C,所以尸尸，平面QDC,從

而ZFEP即為PB與平面QCD所成角.

由VPQE與A3EC相似，得第=毀=?，可得p￡=包.

EBBC1〃+1

［方法三］:等體積法

如圖3,延長(zhǎng)CB至G,使得BG=PQ,連接G。，GD,則尸5//0G,過(guò)G點(diǎn)作平面QOC,交平面

QOC于M,連接Q",則NGQM即為所求.

設(shè)=在三棱錐Q-OCG中，VQ_DCG=\pD^-CD{CB+BG}=y(1+x).

326

2

在三棱錐G—QDC中，Vrnnr=-GM-CD-QD=-GM--71+%.

卬3232

由VQ—DCG=VG—QDC得1(l+x)Jl+]2,

o32

解得6"=^=件3=二三6'

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立.

在咫中，易求PBf=QG,所以直線尸8與平面QCO所成角的正弦值的最大值為

?A/2A/6

sinZ.MQG=—j==.

【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一:根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,直線尸5與平面QCO所成角的正弦值即為平面QCQ

的法向量■與向量方的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即卜OS＜，麗再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的

通性通法，也是最優(yōu)解；

方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線尸8與平面。。所成角，再利用解三角形以及基本不等

式即可求出；

方法三：巧妙利用M//QG,將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點(diǎn)面距，利用直線PB與平面QC。所成角的

正弦值即為點(diǎn)面距與線段長(zhǎng)度的比值的方法，即可求出.

21.(本題12分)已知三棱柱ABC-AB?中，ZACS=90°,A.B1ACt,AC=A4(=4,BC=2.

(1)求證：平面AACG，平面ABC；

⑵若ZAAC=60。，在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使二面角2-4尸-C的平面角的余弦值為正？若存在,

4

確定點(diǎn)尸的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

___3__,

(2)存在，AP=-AC,理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）連接AC,由線面垂直的判定有AG，平面ACB,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)AG，BC,最后根據(jù)

線面垂直、面面垂直的判定證結(jié)論.

（2）構(gòu)建空間坐標(biāo)系，假設(shè)存在Q=兄W1）使題設(shè)條件成立，進(jìn)而求得面BAP、面4PC的法向

量，根據(jù)已知二面角余弦值及空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求4,即可判斷存在性.

【詳解】（I）由AC=AA知：四邊形A4CC為菱形.

連接AC,則又A3LAC且AcnAB=A，

AC],平面ACB,BCu平面4CB,則AC|_LBC；

又ZACB=90。，即3CLAC,而ACcAG=A,

3cl平面AACG,而3Cu平面ABC,

平面AACC」平面ABC.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線。、CB為x、y軸的正向，平面AACQ上過(guò)C且垂直于AC的直線為z軸,

AC（0,0,0）,3（020）,A（4,0,0）,A（2,0,2』）.

設(shè)在線段AC上存在一點(diǎn)尸，滿(mǎn)足Q=2/（04241）,使二面角B-AJ-C的余弦值為手，則

Q=（-4X,0,0）,

所以而=麗+存=(4,—2,0)+(TX,0,0)=(4—44—2,0),下=9+麗=(2-4彳,0,-26).

設(shè)平面A41P的一個(gè)法向量為正=(占,％,zj,

由匕阿=(4-4”-24，取華,得討2一2小；

加YP=(2—44)玉一2任］=0IV3)

平面4PC的一個(gè)法向量為為=(0,1,0).

|2-2川乖＞

小伍砌=品=43

由…+下、尸解得'或4="

3

因?yàn)?W4W1,則4=一.

4

故在線段AC上存在一點(diǎn)尸，滿(mǎn)足/，使二面角B-A7-C的平面角的余弦值為3.

44

22.(本題12分)已知四棱錐T-ABCD的底面是平行四邊形，平面a與直線A。，TA,TC分別交于點(diǎn)尸,

口APTQCR

Q,R且---=---=---=x點(diǎn)M在直線上，N為。。的中點(diǎn)，且直線MN〃平面a.

ADTA