第07講 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）

第07講函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【人教A版2019】模塊一模塊一函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)定義法；(2)圖象法；(3)簡單函數(shù)單調(diào)性；(4)單調(diào)性的四則運(yùn)算：增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減；(5)復(fù)合函數(shù)：函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.2．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的主要應(yīng)用有以下幾個(gè)方面：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.3．利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的方法(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).(2)借助常見函數(shù)(如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等)的單調(diào)性求解.需注意，若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.4．利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在解決比較函數(shù)值的問題時(shí)，要注意將對(duì)應(yīng)的自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.

5．利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法解關(guān)于的不等式時(shí)，可利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，轉(zhuǎn)化不等式，進(jìn)行求解即可.6．求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】【例1.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)fx=?x2?ax?5,x≤1aA．?∞,?2 B．?∞,0 C．【例1.2】（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx在3,+∞上單調(diào)遞減，且fx的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則a=f0.2，A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【變式1.1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且f(2)=5，則關(guān)于x的不等式f(x)+f(4?3x)<6的解集為（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．?∞，【變式1.2】（23-24高一下·河北石家莊·開學(xué)考試）定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足：對(duì)?x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x1?x2【題型2函數(shù)的最值問題】【例2.1】（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)fx=x2?1,x≤1axA．112,+∞C．112,1【例2.2】（23-24高一上·重慶·期末）已知函數(shù)f(x)=x+4x(x>0)，記該函數(shù)在區(qū)間[t?1,t](t>1)上的最大值與最小值的差值為g(t)，則g(t)A．17?2 B．1 C．13 【變式2.1】（2024高一上·浙江寧波·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=?2x2+bx+c(1)求實(shí)數(shù)b?c的值；(2)設(shè)0<m<n，若當(dāng)m≤x≤n時(shí)，fx的最小值為1n，最大值為1m，求m【變式2.2】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時(shí)有f(x)=x(1)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間（不要證明）；(2)解不等式f(x)≥3；(3)求函數(shù)f(x)在[?m,m]上的最大值和最小值．模塊二模塊二函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：定義偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).非奇非

偶函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).定義域

特征定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間.等價(jià)

形式設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，則有f(x)是偶函數(shù)?x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函數(shù)?x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特別地，若f(x)≠0，還可以判斷是否成立.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）①奇函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).②偶函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).2．函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.(3)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．(4)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．(5)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．3．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的主要應(yīng)用有三個(gè)方面：(1)利用函數(shù)的奇偶性求值、求解析式：根據(jù)題目條件，利用函數(shù)的奇偶性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解；(2)利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)：①若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對(duì)稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程；②一般化策略：對(duì)x取定義域內(nèi)的任一個(gè)值，利用f(-x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值.(3)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.【題型3函數(shù)奇偶性的判斷】【例3.1】（23-24高一上·北京·期中）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A．y=x B．C．y=x2+1【例3.2】（23-24高一上·陜西寶雞·期中）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)y=2B．函數(shù)y=xC．函數(shù)y=x2，D．函數(shù)y=(x?1)【變式3.1】（2024·西藏·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=x?xA．fx+1?2 B．fx?1?2 C．【變式3.2】（23-24高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x+y)?[f(x)+f(y)]=2023，則下列說法正確的是（

）A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)+2023是偶函數(shù) D．f(x)+2023是奇函數(shù)【題型4函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】【例4.1】（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，且滿足f(x)+f(8?x)=2，其中f(5)=?1，則f(2025)=（

）A．3 B．?3 C．1 D．?1【例4.2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知fx=2x+m,x>0nx+1,x<0為奇函數(shù)，則A．1 B．2 C．0 D．?1【變式4.1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數(shù)fx=xA． B．C． D．【變式4.2】（24-25高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若定義在R上的奇函數(shù)fx在?∞,0上單調(diào)遞減，且f2=0，則滿足xfA．?1,1∪3,+∞C．?1,0∪0,+∞模塊模塊三函數(shù)的周期性與對(duì)稱性1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);2．對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.【題型5函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用】【例5.1】（23-24高二下·浙江麗水·期末）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx的圖象關(guān)于1,0中心對(duì)稱，f2x+2A．f0=0 B．f12=0【例5.2】（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)y=fx與y=gx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且函數(shù)y=g2x?1+1為奇函數(shù)，則函數(shù)A．?1,?1 B．?1,1 C．3,1 D．3,?1【變式5.1】（2024高二上·安徽阜陽·競賽）已知函數(shù)fx在定義域R上單調(diào)遞減，且函數(shù)y=fx?1的圖象關(guān)于點(diǎn)A1,0對(duì)稱．若實(shí)數(shù)t滿足ft2A．12,+∞ B．?∞,1【變式5.2】（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）已知fx是定義在R上的函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，且f2=0，函數(shù)y=fx+2的圖象關(guān)于點(diǎn)?2,0A．?∞,?1∪C．?1,1∪3,+∞【題型6對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用】【例6.1】（24-25高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知定義在R上的函數(shù)fx，對(duì)?x∈R，都有fx+4=?fx+4，若函數(shù)fx?1的圖象關(guān)于直線A．?2 B．?1 C．2 D．1【例6.2】（24-25高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且f2x?1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，f3x+2A．f72 B．f2024 C．f【變式6.1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx?2=?fx，且函數(shù)A．fxB．fxC．fxD．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)2025,0【變式6.2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f2x+6=f?2x，且①f(2024)=1；②fx的圖象關(guān)于直線x=?3③fx④k=12025其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)】【例7.1】（23-24高一下·貴州遵義·期末）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+y=fA．f0=0 B．函數(shù)C．若f2=2，則f2024=?2 D．函數(shù)【例7.2】（2024·廣西玉林·三模）函數(shù)fx對(duì)任意x，y∈R總有fx+y=fx+fy，當(dāng)x<0A．fx是偶函數(shù) B．fC．fx在?6,6上的最小值為?2 D．若fx+fx?3【變式7.1】（23-24高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知fx定義域?yàn)镽，對(duì)任意x,y∈R都有fx+y=fx+fy(1)試判斷fx在R(2)解不等式：f【變式7.2】（23-24高一上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)?1,1，若對(duì)任意的x,y∈?1,1，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時(shí)，f(x)<0（1）判斷f(x)的奇偶性；（2）討論f(x)的區(qū)間?1,1上的單調(diào)性；（3）設(shè)f(1)=?4，若f(x)<m2?2am+1，對(duì)所有x∈[?1,1]，a∈[?1,1]【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例8.1】（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)fx(1)求f3(2)當(dāng)a>0時(shí)，試運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義判定fx(3)設(shè)gx=fx?2，若gx≥2【例8.2】（23-24高一上·山東青島·期中）已知函數(shù)fx=ax+b(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)當(dāng)a>0時(shí)，用單調(diào)性定義判斷函數(shù)fx在區(qū)間1,+(3)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)gx=mx2?2x+2?m，若對(duì)任意的x1∈【變式8.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)fx=x+bx(1)求函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx(3)設(shè)gx=fx?1+2，當(dāng)?x【變式8.2】（23-24高一上·遼寧大連·期末）若函數(shù)f(x)在定義域R上滿足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0時(shí)f(x)>0,定義域?yàn)?2,2的(1)求證：函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間?1,1上，f(x)+g(x)=?x2+x+1；g(x)（i）求函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)在區(qū)間?2,（ii）若關(guān)于x的不等式g(x1)?g(x2)af(x1)?af(x一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)y=x33x4?1的圖象大致是（

C． D．2．（24-25高三上·山東青島·開學(xué)考試）設(shè)fx=x+a2,x≤0x+1x+a,x>0A．?1,0 B．?1,2 C．?2,?1 D．?2,03．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+2)為奇函數(shù)，f(2x+1)為偶函數(shù)，則（

）A．f(?1)=0 B．f(?12)=0 C．f(1)=04．（24-25高三上·四川瀘州·開學(xué)考試）已知分段函數(shù)fx=x2?2x，x≥0A．?∞,0 C．?1,0 D．?5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義域?yàn)?∞,+∞的奇函數(shù)，滿足f2?x=f2+xA．－2 B．0 C．2 D．46．（23-24高一下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）定義在(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)滿足：?x1,x2∈(0,+∞A．(12,+∞) B．(0,12) C．(0,4) 7．（23-24高二下·吉林長春·期末）已知fx，gx是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，滿足fx+gx=axA．0,+∞C．?34,8．（24-25高二上·江蘇·開學(xué)考試）若函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且fx+2=?fx，A．fB．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0C．fx的圖象關(guān)于直線x=1D．f二、多選題9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x+axa>0在2,4A．4 B．12 C．6?42 D．10．（23-24高二下·山東威?！て谀┮阎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，f(2)=4，則（

）A．f(5)=10 B．f(