第16講復(fù)數(shù)的幾何意義和實(shí)系數(shù)一元二次方程（練習(xí)）

第16講復(fù)數(shù)的幾何意義和實(shí)系數(shù)一元二次方程（練習(xí)）夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2021·長(zhǎng)沙市·湖南師大附中高一月考）已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求得.【詳解】，.故選：B2．（2021·湖南長(zhǎng)沙市·長(zhǎng)沙一中高一月考）歐拉公式(是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由歐拉公式得，結(jié)合誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)值或直接根據(jù)輻角所在的象限，即可判斷其所在象限.【詳解】由題意知：，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第二象限.故選：B.3．（2020·全國(guó)高一）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算后，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選:D.4．（2021·江蘇高一單元測(cè)試）設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z﹣1|=1，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則（）A．(x+1)2+y2=1 B．(x﹣1)2+y2=1C．x2+(y﹣1)2=1 D．x2+(y+1)2=1【答案】B【分析】設(shè)z=x+yi(x，y∈R)，代入|z﹣1|=1，由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解：設(shè)z=x+yi(x，y∈R)，由|z﹣1|=1，得|(x﹣1)+yi|=1.∴(x﹣1)2+y2=1.故選：B.5．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上三點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5＋2i，則由A，B，C所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】先根據(jù)題意寫(xiě)出點(diǎn)，再計(jì)算三邊邊長(zhǎng)，判斷，即得結(jié)果.【詳解】依題意，復(fù)平面上三點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5＋2i，則，故|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，即，是直角三角形.故選：A．6．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=2i,則f(z1z2)=()A． B．5C． D．5【答案】D【詳解】由題意得，所以，故選D．7．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則A．1 B．0 C． D．2【答案】C試題分析：由得，，．故選C．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．二、填空題8．（2021·江蘇蘇州市·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）已知(i為虛數(shù)單位)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故答案為?9．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高一月考）若復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)條件先分析的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，根據(jù)象限內(nèi)坐標(biāo)的特點(diǎn)列出關(guān)于的不等式組，由此求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，所以，解得，即，故答案為：.10．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）以下四個(gè)命題：①滿(mǎn)足的復(fù)數(shù)只有±1，±i；②若a、b是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則(a－b)＋(a＋b)i是純虛數(shù)；③|z＋|＝2|z|；④復(fù)數(shù)z∈R的充要條件是z＝，其中正確的有_____.【答案】④【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模逐一判斷即可.【詳解】①令z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，若＝，則有a－bi＝，即a2＋b2＝1＝|z|2，錯(cuò)誤；②(a－b)＋(a＋b)i＝2ai，若a＝b＝0，(a－b)＋(a＋b)i＝0，不是純虛數(shù)，錯(cuò)誤；③若z＝i，|i－i|≠2|i|，錯(cuò)誤；④z＝，則其虛部為0，正確，綜上所述，正確的命題為④.故答案為：④11．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，若z1(1－i)＝3－i，則|z2|＝______.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義可得z2＝＝2－i，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求解.【詳解】∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i，∵A與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，∴z2＝＝2－i，∴|z2|＝.故答案為：12．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,則|z1z2|為_(kāi)_______.【答案】2【詳解】由復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義知,以復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊的平行四邊形為正方形,所以.13．（2020·上海大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根為、，若、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】由題意兩個(gè)虛數(shù)根，是共軛復(fù)數(shù)，可得橢圓的短軸長(zhǎng)：，焦距為，然后求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)．【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，，，為虛數(shù)，所以，即，解得．由，為共軛復(fù)數(shù)，知，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以橢圓短軸在軸上，又由橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加，減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長(zhǎng)，焦距，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故答案為：．三、解答題14．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z＝a＋i(a>0，a∈R)，i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)(m＋z)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類(lèi)即求解.（2）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閦＝a＋i(a>0)，所以z＋＝a＋i＋＝a＋i＋＝a＋i＋＝，由于復(fù)數(shù)z＋為實(shí)數(shù)，所以1－＝0，因?yàn)閍>0，解得a＝1，因此，z＝1＋i.（2）由題意(m＋z)2＝(m＋1＋i)2＝(m＋1)2－1＋2(m＋1)i＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，由于復(fù)數(shù)(m＋z)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，解得m>0.因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，＋∞).15．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量及在復(fù)平面內(nèi)分別與復(fù)數(shù)z1＝5＋3i及復(fù)數(shù)z2＝4＋i對(duì)應(yīng)，試計(jì)算z1－z2，并在復(fù)平面內(nèi)表示出來(lái)【答案】z1－z2＝1＋2i，作圖見(jiàn)解析.【分析】先計(jì)算z1－z2，表示點(diǎn)和向量，再描點(diǎn)作圖即可.【詳解】解:z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i，，則即為z1－z2所對(duì)應(yīng)的向量，如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量,的終點(diǎn)，并指向被減數(shù)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).16．（2020·上海市第二中學(xué)高二期末）若z是關(guān)于x的方程的一個(gè)虛根，求的值．【答案】.【分析】先設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根的情況及系數(shù)關(guān)系判斷，得到，再計(jì)算即可【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)閦是關(guān)于x的方程的一個(gè)虛根，所以其共軛復(fù)數(shù)也是該方程的根，根據(jù)兩根之積，可知，故.能力提升1．滿(mǎn)足+=2n的最小自然數(shù)為(）A．1B．2C．3D．4【難度】★★【答案】C2．（2021·上海市建平中學(xué)高二期末）已知復(fù)數(shù)﹑滿(mǎn)足，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足或者，且對(duì)任意成立，則正整數(shù)n的最大值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】用向量表示，根據(jù)題意，可得，因?yàn)榛蛘?，根?jù)其幾何意義可得的終點(diǎn)的軌跡，且滿(mǎn)足條件的終點(diǎn)個(gè)數(shù)即為n，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.【詳解】用向量表示，因?yàn)?，所以，又滿(mǎn)足或者，則可表示以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以A為圓心，半徑為r的圓上的向量，或終點(diǎn)在以B為圓心，半徑為r的圓上的向量，則終點(diǎn)可能的個(gè)數(shù)即為n，因?yàn)?，所以在同一個(gè)圓上的兩個(gè)點(diǎn)，形成的最小圓心角為，如圖所示，則最多有10個(gè)可能的終點(diǎn)，即n=10.故選：C【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件的幾何意義，得到的終點(diǎn)軌跡，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合，即可得答案，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.3．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，且，則復(fù)數(shù)＝【難度】★★【答案】由已知可得，得，數(shù)形結(jié)合可知4.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則.【難度】★★【答案】，同理得，兩式相加，再結(jié)合，得，得，，求得，所以所求原式5．（2021·寶山區(qū)·上海交大附中高二期末）設(shè)復(fù)數(shù)z，滿(mǎn)足，，，則____________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到對(duì)應(yīng)向量的表示，再結(jié)合向量的平行四邊形法則以及余弦定理求解出的值.【詳解】設(shè)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的向量為，對(duì)應(yīng)的向量為，如下圖所示：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又，故答案為?【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的幾何意義：（1）復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)平面向量.6．（2020·上海松江區(qū)·高二期末）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（其中i是虛數(shù)單位）的最小值為_(kāi)___________.【答案】1【分析】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足為虛數(shù)單位），設(shè)，，．利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式與三角函數(shù)求值即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)滿(mǎn)足為虛數(shù)單位），設(shè)，，．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式及其三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量為，把依逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)新向量為．若對(duì)應(yīng)一個(gè)純虛數(shù)，當(dāng)取最小正角時(shí)，這個(gè)純虛數(shù)是________．【答案】【分析】確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，旋轉(zhuǎn)后在軸的正半軸上，計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)最小正角時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在軸的正半軸上，，故純虛數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.8．設(shè)，已知，，，求的值.【難度】★★【答案】同理，所以，故，。9．若關(guān)于的方程至少有一個(gè)模為1的根，求實(shí)數(shù)的值．【難度】★★【答案】或10．設(shè)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，若是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則．【難度】★★【答案】11．若關(guān)于的方程有純虛數(shù)根，求的最小值．【難度】★★【答案】將代入原方程，整理得：，12．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程．【難度】★★【答案】把原方程化為，，解得，，．13．關(guān)于的二次方程中，均是復(fù)數(shù)，且，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根滿(mǎn)足，求的最大值和最小值?！倦y度】★★【答案】，化簡(jiǎn)得，動(dòng)點(diǎn)軌跡是復(fù)平面上以為圓心，以為半徑的圓，數(shù)形結(jié)合可知14．已知△頂點(diǎn)為直角坐標(biāo)分別為，，．若虛數(shù)（）是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，且是鈍角，求的取值范圍．【難度】★★【答案】由已知，虛數(shù)也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以，解得，，則、的坐標(biāo)為，，所以，，因是鈍角，故，