25簡(jiǎn)單的參數(shù)方程（第2課時(shí)）課件-高二數(shù)學(xué)教學(xué)課件（2020選擇性）

2.5簡(jiǎn)單的參數(shù)方程（第2課時(shí)）第2章圓錐曲線滬教版2020選修第一冊(cè)在求軌跡的方程時(shí)，有時(shí)根據(jù)條件很難直接建立曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）所滿足的方程，但如果引入合適的第三個(gè)變量，分別建立x、y與第三個(gè)變量的聯(lián)系，問題常常會(huì)比較容易得到?jīng)Q．我們先來看一個(gè)熟悉的問題：炮彈被擊發(fā)后的運(yùn)行軌跡的方程？（空氣阻力忽略不計(jì)）即使建立平面直角坐標(biāo)系，炮彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也難以直接用炮彈位置的坐標(biāo)x與y的方程表示出來，但在物理學(xué)中，我們知道炮彈的運(yùn)行軌跡與發(fā)射角α、發(fā)射時(shí)的初速度v０以及運(yùn)行時(shí)間t有關(guān)．其中炮彈發(fā)射后，發(fā)射角α、發(fā)射時(shí)的初速度v０都是常數(shù)，因此炮彈的位置隨時(shí)間t的變化而變化．不妨引入時(shí)間t作為第三個(gè)變量來求運(yùn)動(dòng)軌跡的方程以炮口所在位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)椋S，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖２-５-２．設(shè)炮彈發(fā)射t秒后的位置在點(diǎn)P（x，y）處．由于炮彈的初速度v０

可分解為水平方向和豎直方向的兩個(gè)速度，其中在水平方向上的初速度為v０ｃｏｓα，在豎直方向上的初速度為v０ｓｉｎα，由于忽略了空氣阻力，炮彈運(yùn)動(dòng)過程只在豎直方向受到重力作用，容易求得，炮彈的位置坐標(biāo)（x，y）與間t之間的關(guān)系：其中g(shù)是重力加速度的值．由于v０、α、g都是確定值．炮彈運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條拋物線．在這個(gè)實(shí)際問題中，炮彈運(yùn)動(dòng)的軌跡不可能是整條拋物線．首先，因?yàn)榕趶棑舭l(fā)前是不運(yùn)動(dòng)的，必須x≥０．又因?yàn)榕趶棑糁心繕?biāo)后也不再運(yùn)動(dòng)，所以炮彈運(yùn)動(dòng)軌跡只是x≥０與彈著點(diǎn)之間的一段拋物線．例如，設(shè)彈著點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)在同一水平線上，則恒有x≥０，由上述討論可以看到，在求曲線方程時(shí)，我們可以先分別求出x、y與某個(gè)隨動(dòng)點(diǎn)變化的變量t所滿足的方程x＝f（t）、y＝g（t），得到方程組：其中t在某個(gè)范圍內(nèi)變動(dòng)．如果對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)P（x，y）都在曲線C上；反之，對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，都存在t的某個(gè)允許值使得方程組①成立，那么方程組①就叫做曲線C的參數(shù)方程．變量t叫做參變量或參數(shù)．相對(duì)于參數(shù)方程來說，直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)x、y間關(guān)系的方程F（x，y）＝０叫做曲線的普通方程．如果可以消去參數(shù)方程中的參數(shù)t，就可以將參數(shù)方程化為普通方程．但在不少情況下，由曲線的參數(shù)方程并不一定能夠化為曲線的普通方程．舉一個(gè)通俗的例子．假設(shè)有一個(gè)小蟲在直角坐標(biāo)平面內(nèi)爬行，小蟲的位置坐標(biāo)（x，y）是時(shí)間t的函數(shù)：這揭示了小蟲隨時(shí)間t變化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就是小蟲運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)參數(shù)方程．由于小蟲爬行的軌跡不似炮彈那樣一直向前，可以倒退及自身相交，不可能化為普通方程來表示，這時(shí)，用參數(shù)方程來表示這一復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌跡就成了唯一合理的選擇了。由此可見，用參數(shù)方程來表示一個(gè)曲線，不僅有具體的物理或幾何意義，而且更具有一般性，應(yīng)用起來有時(shí)也更為簡(jiǎn)便．解

如圖２-５-３，設(shè)直線y＝x＋b被橢圓所截得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為x１、x２，線段AB中點(diǎn)M（xM，yM）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程得方程組課本練習(xí)隨堂檢測(cè)1.參數(shù)方程（t為參數(shù)），化為一般方程為_______________．2.設(shè)圓C：(x－1)2＋y2＝1，過原點(diǎn)O作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程．（參數(shù)法）：設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為y＝kx，代入圓的方程，得