專題06與三角函數(shù)有關(guān)的恒成立與有解問題

專題06與三角函數(shù)有關(guān)的恒成立與有解問題例1．（嵊州市2022屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）已知，設(shè)函數(shù)，，若當(dāng)對(duì)恒成立時(shí)，的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以時(shí)，必取到最值，當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦函數(shù)對(duì)稱性得，此時(shí)或者，此時(shí)由，設(shè)時(shí)對(duì)應(yīng)解為，由上分析可知當(dāng)，或，時(shí)，滿足的最大值為，所以，即，所以.或，即或，故選：A.例2．（湖北省荊門市龍泉中學(xué)等四校2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題）設(shè)且，若對(duì)恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，即在恒成立，當(dāng)時(shí)，上，不滿足題設(shè)，所以，此時(shí)在上遞減，遞增，要使不等式恒成立，則，即，綜上.故選：D例3．（貴州省貴陽市五校（貴州省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、貴陽二中、貴陽八中、貴陽九中、貴陽民中）2022屆高三年級(jí)聯(lián)合考試（六）數(shù)學(xué)（文）試題）已知，關(guān)于k的不等式在時(shí)恒成立，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題設(shè)，，即，其中不落在坐標(biāo)軸上，令，，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．若，即，所以，可得的范圍為.故選：C．例4．（重慶市2022屆高三下學(xué)期第七次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則.（1）當(dāng)時(shí)，則，令，.故.（2）當(dāng)時(shí)，則，令①當(dāng)時(shí)，，則②當(dāng)時(shí)，，則故（3）當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，故.綜上所述：故選：A.例5．（上海市金山區(qū)2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題）設(shè)，若存在，使成立的最大正整數(shù)為9，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】依題意（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)草圖如下圖所示,此時(shí),,則

滿足條件;（2）當(dāng)時(shí),函數(shù)草圖如下圖所示,此時(shí),,則無解（3）當(dāng)時(shí),函數(shù)草圖如下圖此時(shí),,,則,無解;（4）當(dāng)時(shí),函數(shù)草圖如下圖所示,此時(shí),,,則解得,滿足條件故答案為：例6．（湖南省湘潭市第一中學(xué)2022屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）若不等式對(duì)于任意的都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】【解析】因當(dāng)時(shí)，，因此，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞遞減，，依題意，，則有，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：例7．（浙江省十校聯(lián)盟20212022學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)任意，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）若為奇函數(shù)，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，則.（2），，所以，設(shè)在的值域?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)椋瑒t．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，（舍）當(dāng)時(shí)，，即，若在單調(diào)遞減，只需；若，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，只需得；若，，所以只需，即綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．例8．（2022·浙江·杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)高二期中）已知.(1)求的極大值點(diǎn)；(2)若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，由可得，，即，由可得，，即，所以的極大值點(diǎn)為；（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，由，可得或，因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴，則，即，所以；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，則，∴，即，所以；綜上，a的取值范圍為.例9．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)對(duì)任意的，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，可得所求切線的方程為，即．（2）由，得，所以，其中，令，，得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，，所以，即a的取值范圍為．例10．（2022·四川·成都七中高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)，.(1)己知恒成立，求a的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，不等式（），求a的取值范圍.【解析】（1）由已知，函數(shù)，，即，令，，①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以此時(shí)不恒成立；②當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上取得極小值，即，要使在上恒成立，即滿足，令，所以，又因?yàn)?，所以：?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因此，所以要使恒成立，a的值為1.（2）由已知，，，令，所以，，①當(dāng)時(shí)，，所以，而，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故；②當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，可證得，由（1），、所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上所述，對(duì)任意時(shí)，.（3）當(dāng)時(shí)，不等式（），不妨設(shè)，即，因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，由于函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，解得，下面證明當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，由（2）問可知，當(dāng)時(shí)，，令，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，合乎題意.綜上所述，.例11．（2022·安徽省太和中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），由是函數(shù)的極值點(diǎn)，可得，可得.解法一：有，令.可得.可得.可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，又由，，可得存在，使得.由上知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)為0，一個(gè)為；解法二：當(dāng)時(shí)，存，有.有，.可得或，又由，可知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí).若不等式恒成立，可得恒成立.令，存.①當(dāng)時(shí)，由，有.可得.②當(dāng)時(shí)，令，有，可知函數(shù)單調(diào)遞增.又由，I）當(dāng)時(shí)，，可得此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.又由.可得，滿足題意；II）當(dāng)吋.由，又當(dāng)時(shí)，，必定存在.使得.且當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，無得，不合題意.由上知當(dāng)時(shí).若不等式恒成立.則實(shí)數(shù)的取值范圍為例12．（2022·江西九江·三模（理））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，試比較與0的大??；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）∵，∴，下證當(dāng)時(shí)，，∵，∴，令，要證，只需證，①當(dāng)時(shí)，，由（1）知，，②當(dāng)時(shí)，，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，，∴，，使得，∴當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而，∴當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，綜上所述，的取值范圍是.例13．（2022·吉林一中高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，.(1)求在處的切線方程；(2)求證：.(3)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)?，則，，，所以，在處的切線方程為.(2)要證明，即證：，即證：，（*）設(shè)，則，所以，在內(nèi)單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)時(shí)，，所以要證（*）成立，只需證，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則，則，即，故成立，所以原命題得證.(3)由題得在上恒成立，即，恒成立，因?yàn)?，①若，，在上單調(diào)遞增，，符合題意；②若，令，，則，所以在單調(diào)遞增，且，（i）若，，在上單調(diào)遞增，，符合題意；（ii）若，，當(dāng)時(shí)，，則，取，則，則存在，使得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意；綜上，.例14．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市麓山濱江實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試）設(shè).(1)求在上的極值；(2)若對(duì)，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由，得的單調(diào)減區(qū)間是，，同理，的單調(diào)增區(qū)間是.故的極小值為，極大值為.（2）由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則即為.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故在上恒成立.方法一：（含參討論）設(shè)，則，，解得.，，.①當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；此時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，符合條件.②當(dāng)時(shí)，同①，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；∵，，∴由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知，，.于是，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.∵，，∴，符合條件.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法二：（參變分離）由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則即為.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故在上恒成立.∵，∴在上恒成立，.設(shè)，，則，.設(shè)，，則，.由，，得在，上單調(diào)遞增；由，，得在，上單調(diào)遞減.故時(shí)；時(shí).從而，，，又時(shí)，，故，，，單調(diào)遞減，，.于是，.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例15．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)∵，∴，令，即，則，，解得，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，．(2)由已知得當(dāng)時(shí)，，即恒成立，設(shè)，∴，令，則，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上為增函數(shù)，∴，∴，解得，∴a的取值范圍為．例16．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））已知函數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且關(guān)于x的不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由題意得在上恒成立，即，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，，；(2)由題意得，所以，令，則，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，故時(shí)，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，即，令，則，故，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.故，即恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則；即的取值范圍為.例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】(1)，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，∴在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．∵，∴時(shí)，，時(shí)，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)時(shí)，恒成立，，，，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∵，若，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，恒成立；若，∵，∴，∴，，，∴在有唯一解，設(shè)為，且，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴與恒成立矛盾，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（其中e是自然底數(shù)，）(1)求證：；(2)求證：當(dāng)；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，；當(dāng)，．所以，即當(dāng)，．(2)依題意，即證：當(dāng)時(shí)，恒成立，由（1）即證：，即證：．而，，故顯然成立．(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，即，時(shí)恒成立．令，則，，由（2）知：，即在上單調(diào)遞增．所以，當(dāng)，則，即，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，，，則存在，使得，，即，這顯然與題意矛盾．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．例19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像與直線相切.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1），設(shè)切點(diǎn)為，所以有，因?yàn)槭乔芯€，所以有，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以有，當(dāng)時(shí)，，所以無實(shí)數(shù)根，因此當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)根，即，于是有，因此有；（2）令，則在恒成立.若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，由得，所以在單調(diào)遞增，又，所以在恒成立；當(dāng)時(shí)，所以.所以在恒成立.若即時(shí)，，則存在，使得在單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，矛盾，舍綜上所述，的取值范圍時(shí).例20．（2022·北京朝陽·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)．若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，與的變化情況如表所示：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為偶函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，,所以函數(shù)的最大值為．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，．對(duì)任意，存在，使得成立，等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，不合題意．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則，解得或，所以．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則，解得，所以.綜上所述，的取值范圍是．例21．（2022·遼寧·一模）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：存在，使得不等式有解（e是自然對(duì)數(shù)的底）.【解析】(1)的定義域?yàn)镽，，，①當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根為：，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；(2)不等式等價(jià)于，所以只需證的最大值大于1，因?yàn)?，，又，所以，時(shí)等號(hào)成立，所以，設(shè)函數(shù)，，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，因?yàn)椋源嬖?，使不等式有?例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且．【解析】(1)由得，則在上單調(diào)遞增，在上最小值為若，成立，則必有由，得故實(shí)數(shù)的取值范圍為(2)在上單調(diào)遞增，且恒成立，最小正周期，在上最小值為由此可知在恒為正值，沒有零點(diǎn).下面看在上的零點(diǎn)情況.，，則即在單調(diào)遞增，，故在上有唯一零點(diǎn).綜上可知，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).令，則，令，則即在上單調(diào)遞減，故有例23．（2022·山西·長(zhǎng)治市第八中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．(1)證明：曲線在點(diǎn)處的切線l恒過定點(diǎn)；(2)若存在使得，求k的取值范圍．【解析】（1）證明：由得，則，故切線l為，即，恒過定點(diǎn)．（2）即，設(shè)，令，則時(shí)，時(shí)，，所以，即，故當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，，單調(diào)遞增，，故存在唯一．使得，時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)于有，則對(duì)任意的，都有成立．綜上，k的取值范圍是．例24．（2022·全國(guó)·高三期中）已知函數(shù)，.（1）討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）若存在，使得成立，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，，所以，對(duì)任意的，，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，，所以，函?shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）由得，令，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以，存在，使得，變形可得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，其中，對(duì)于函數(shù)，，，所以在遞減，則，故，所以成立.例25．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式有解，求證：．【解析】（1），

令，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式有解，所以當(dāng)時(shí)，不等式有解，令，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以單調(diào)遞增，所以，所以．例26．（2022·江蘇鹽城·高三期中）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：存在正實(shí)數(shù)，使得總成立.【解析】（1），，即，，令，，則，，時(shí)，，時(shí)，，故在上遞減；在上遞增，因此，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）取，則，令，，則在上單調(diào)遞增.又，故時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.①時(shí)，，令，，，故在遞增，因此，所以時(shí)，，即.②時(shí)，，即.③，由（1）可知，，則在遞增，因此，即.因此，時(shí)，總成立，即題意得證.例27．（2022·重慶市墊江中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知存在極值，若對(duì)，都，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），，由題意，，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知：若存在極值，則，且，故原題轉(zhuǎn)化為：，使得成立，即在有解，則在有解，令，，則，在上單調(diào)遞增，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.例28．（2022·江蘇省高郵中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行．①求實(shí)數(shù)a的值：②證明：函數(shù)在內(nèi)只有唯一極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，都有．【解析】（1）①由題意得，∵，∴，即

②證明：由①可知，，則，0+↘極小值↗此時(shí)，由零點(diǎn)定理結(jié)合單調(diào)性可知，存在唯一的，使得0+↘極小值↗∴函數(shù)在內(nèi)只有唯一極值點(diǎn)，且取得極小值，故原命題得證（2）證明：要證對(duì)于區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，都有，即證由（1）可知，在上單調(diào)遞增，且∴∵，∴以下，對(duì)的正負(fù)進(jìn)行分類討論：①當(dāng)，即時(shí)，由在上單調(diào)遞增，則．∴在上單調(diào)遞減，∴，命題得證；②當(dāng)，即時(shí)，由（1）②可知：x+↘極小值↗∵∴命題得證綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)于區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，都有．例29．（2022·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若時(shí)，試判斷f（x）在區(qū)間（，0）的單調(diào)性，并予以證明；(2)從下面兩個(gè)條件中任意選一個(gè)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.①函數(shù)在區(qū)間[0，]上有