四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

嘉陵一中高2023級高二上期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘，滿分150分注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出給定直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.直線的斜率，則該直線的傾斜角為.故選：B.2.已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓的公共弦所在直線的特點，兩圓方程相減即可得解.圓：，圓：兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：.故選：B3.平面內(nèi)，動點的坐標(biāo)滿足方程，則動點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.由題意，點到兩個定點，的距離之和等于常數(shù)，故根據(jù)橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且，，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】充分必要條件的判斷：把兩個命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.當(dāng)時，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；當(dāng)與直線平行時，，則∴或，當(dāng)時顯然成立，當(dāng)時，，，整理后與重合，故舍去，∴，滿足必要條件；∴“”是“直線與直線平行”的充要條件故選：C5.已知是橢圓的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（）A.3 B.4 C.6 D.10【答案】C【解析】【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選：C6.如圖，已知正方體的棱長為，為的中點，則點到平面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用點面距的向量公式，可得答案.由題意建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，A1,0,0，，，取，，，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，，所以平面的一個法向量，點到平面的距離.故選：C.7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點滿足，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（）A.的方程為B.在上存在點，使得到點的距離為3C.在上存在點，使得D.上的點到直線的最小距離為1【答案】C【解析】【分析】對A：設(shè)點Px,y，由兩點的距離公式代入化簡判斷；對B：根據(jù)兩點間的距離公式求得點到圓上的點的距離的取值范圍，由此分析判斷；對C：設(shè)點Mx,y，求點M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對D：結(jié)合點到直線的距離公式求得C上的點到直線的最大距離，由此分析判斷.對A：設(shè)點Px,y∵，則，整理得，故C的方程為，故A正確；對B：的圓心，半徑為，∵點到圓心的距離，則圓上一點到點的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點D，使得D到點的距離為9，故B正確；對C：設(shè)點Mx,y∵，則，整理得，∴點M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點，∴在C上不存在點M，使得，C不正確；對D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點到直線的最小距離為，故D正確；故選：C.【點睛】思路點睛：利用點與圓的位置關(guān)系來判定B，利用圓與圓的位置關(guān)系來判定C，結(jié)合數(shù)形思想即可.8.，函數(shù)的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點之間的距離及點到直線的距離公式計算即可.設(shè)點，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時取得等號.故選：C二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.對于隨機(jī)事件和事件，，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若與相互獨立，則 D.若與相互獨立，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算可得.對于A：若與互斥，則，故A錯誤；對于B：若與互斥，則，故B正確；對于C：若與相互獨立，則，故C正確；對于D：若與相互獨立，則，故D錯誤.故選：BC10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.若直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，則B.若空間中任意一點O，有，則四點共面C.若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角D.若空間向量，，則在上的投影向量為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面法向量的定義分析A，由空間向量基本定理分析B，由向量平行的性質(zhì)分析C，由投影向量分析D．】對于A：若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，易得，即，則有，A正確；對于B：在中，由于，故四點共面，B正確；對于C：當(dāng)，反向共線時，也成立，但與夾角不為鈍角，C錯誤；對于D，在上的投影向量為，D正確．故選：ABD．11.伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.異面直線與所成角的余弦值為D.點到直線的距離是【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量的線性運算計算A選項即可；建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解判斷BCD即可.由題可知，,故選項A正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得，,,,，由題可知，，平面的一個法向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為，選項B正確；由題可知,，所以,所以異面直線與所成角的余弦值為，故選項C錯誤；易知，,，設(shè)點到直線的距離為，則，故選項D正確.故選：ABD三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，，若，則______.【答案】2【解析】【分析】由題意可得，由向量的數(shù)量積公式求解即可.因為，所以，即，所以，解得.故答案為：13.已知兩點，，過點的直線與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．解：點，，過點的直線與線段有公共點，直線的斜率或，的斜率為，的斜率為，直線的斜率或，即，故答案為：．14.已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線為切點，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過定點.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點.由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當(dāng)垂直直線時，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當(dāng)時，，故直線過定點.故答案為：；.四、解答題：（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知直線的方程為．（Ⅰ）直線與垂直，且過點（1，-3），求直線的方程；（Ⅱ）直線與平行，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線的方程．【答案】（1）（2）直線的方程為：或【解析】試題分析：（1）由直線與垂直，可設(shè)直線的方程為：，將點代入方程解得，從而可得直線的方程；(2)由直線與平行，可設(shè)直線的方程，由直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得可得直線的方程.試題解析：（1）設(shè)直線的方程為：直線過點（1，-3），解得直線的方程為：．(2)設(shè)直線的方程為：令x=0，得；令，得則，得直線的方程為：或．16.某居民小區(qū)為了提高小區(qū)居民的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)讀書者進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天中40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，40,50，50,60，60,70，，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計這40名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)；（2）估計這40名讀書者年齡的眾數(shù)和第80百分位數(shù)；（3）從年齡在區(qū)間上的讀書者中任選兩名，求這兩名讀書者年齡在區(qū)間上的人數(shù)恰為1的概率.【答案】（1）30（2）眾數(shù)為55；第80百分位數(shù)為66（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)的計算方法可得答案；（2）最高矩形中點橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；根據(jù)百分位數(shù)定義可求得樣本的第80百分位數(shù)；（3）計算抽取的人中，位于的有2人，記為，數(shù)學(xué)成績位于的有4人，記為，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【小問1】由頻率分布直方圖知，年齡在區(qū)間上的頻率為：所以40名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)為：【小問2】由頻率分布直方圖可知，40名讀書者年齡的眾數(shù)約為55；年齡在區(qū)間上的頻率為：年齡在區(qū)間上的頻率為：，故第80百分位數(shù)位于60,70之間，設(shè)為，所以，解得，所以這40名讀書者年齡的第80百分位數(shù)約為66.【小問3】由頻率分布直方圖知：年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，從上述6人中選出2人，則有，共15種情況；其中恰有1人在的情況有，共8種情況；所以恰有1人在的概率為.17.已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是，端點A在圓上運動，M是線段AB的中點，（1）求點M的軌跡方程；（2）記（1）中所求軌跡為曲線C，過定點的直線l與曲線C交于P，Q兩點，曲線C的中心記為點C，求面積的最大值，并求此時直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)點，根據(jù)題意得到，代入圓，即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，求得圓心到直線距離為，得到，結(jié)合基本不等式，求得最小值，進(jìn)而求得直線的方程.【小問1】解：設(shè)點，由點的坐標(biāo)為，且是線段的中點，則，可得，即，因為點在圓上運動，所以點點坐標(biāo)滿足圓的方程，即，整理得，所以點的軌跡方程為.【小問2】解：過點定點1,0的直線與曲線交于兩點，則直線的斜率一定存在且不為，設(shè)直線，即，則圓心到直線的距離為，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以時，取得最大值，此時，解得或，所以取得最大值，此時直線的方程為或.18.如圖，在四棱錐中，平面，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在點（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明過程見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1】因為平面平面，所以，又因為，所以，而平面，所以平面；【小問2】因為平面平面，所以，而，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，則有，設(shè)平面與平面夾角為，；【小問3】設(shè)，設(shè)，于是有，，由（2）可知平面的法向量為，假設(shè)與平面所成角的正弦值為，則有，或舍去，即.19.圓冪是指平面上任意一點到圓心的距離與半徑的平方差：在平面上任給兩個不同心的圓，則兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸.已知圓與圓（1）求圓C與圓M的根軸l；（2）已知點P為根軸l上的一動點，過點P作圓C的切線，切點為A，B，當(dāng)最小時，求直線的方程；（3）給出定點，設(shè)N，Q分別為根軸和圓M上的動點，求的最小值及此時點N的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）；（3）最小值為，此時.【解析】【分析】（1）先求出圓C和圓M的圓心C和M以及半徑和，接著由列式化簡即可得解.（2）先由題意求得，進(jìn)而結(jié)合求得取得最小值時亦即PC取得最小值時，接著求出此時的點P坐標(biāo)，再求出以線段為直徑的圓的方程，從而求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即可得解.（3）先求出關(guān)于根軸對稱的點，接著得，從而得與圓M和根軸l相交的點和使得最小，進(jìn)而求得的最小值，再由聯(lián)立根軸的方程即可求出.【小問1】由題圓的圓心為，半徑為；圓圓心為，半徑為，設(shè)點為圓C與圓M的根軸l上的任意一點，則由題可得，即，整理得，即圓C與圓M的根軸l為直線.【小問2】由題意可知且，，設(shè)與相交于點H，則，又，所以，所以取得最小值時即為取得最小值時，又，所以取得最小值時亦即PC取得最小值時，而PC取得