考向15等比數(shù)列-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題

考向15等比數(shù)列1．（2016·上海高考真題（理））已知無窮等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，且.下列條件中，使得恒成立的是.A．B．C．D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意得：，所以，所以對一切正整數(shù)恒成立，當(dāng)時，不恒成立，舍去；當(dāng)時，，因此選B.【考點(diǎn)】數(shù)列的極限、等比數(shù)列求和【名師點(diǎn)睛】本題解答時確定不等關(guān)系是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確分類討論是關(guān)鍵，易錯點(diǎn)是在建立不等關(guān)系之后，不知所措或不能恰當(dāng)?shù)胤诸愑懻?本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等.2．（2017·上海高考真題）在數(shù)列中，，，則A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在【答案】B【詳解】數(shù)列中，，則，故選B.3．（2014·上海高考真題（理））設(shè)無窮等比數(shù)列{}的公比為q，若，則q=______.【答案】【解析】由題意，即，∵，∴.【考點(diǎn)】無窮遞縮等比數(shù)列的和.4．（2010·上海高考真題）定義域?yàn)镽，且對任意實(shí)數(shù)都滿足不等式的所有函數(shù)組成的集合記為M，例如，函數(shù)．（1）已知函數(shù)，證明：；（2）寫出一個函數(shù)，使得，并說明理由；（3）寫出一個函數(shù)，使得數(shù)列極限【詳解】本題開考查分段函數(shù)、不等式與數(shù)列極限.1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比數(shù)列中的基本量.(2)分類討論思想：如求和時要分q＝1和q≠1兩種情況討論，判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論.1.等比數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)如果三個數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項(xiàng)，其中G＝±eq\r(xy).2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.4數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某個常數(shù)（即無限地接近于0），那么就說數(shù)列以為極限記作．（注：不一定是中的項(xiàng)）5.幾個重要極限：（3）（2）（C是常數(shù)）（4）6．極限問題的基本類型：分式型，主要看分子和分母的首項(xiàng)系數(shù)；指數(shù)型(型），通過變形使得各式有極限；根式型(型)，通過有理化變形使得各式有極限；7.數(shù)列極限的運(yùn)算法則:如果那么8．無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和（1）公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和，當(dāng)n無限增大時的極限，叫做這個無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，記做（2）一、單選題1．（2020·上海高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列，下列判斷一定正確的是（）A．若對任意正整數(shù)n，都有成立，則為等比數(shù)列B．若對任意正整數(shù)n，都有成立，則為等比數(shù)列C．若對任意正整數(shù)m，n，都有成立，則為等比數(shù)列D．若對任意正整數(shù)n，都有成立，則為等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和判定方法逐一判斷.【詳解】對于A，若，則，，則，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比不一定是常數(shù)，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，滿足，但數(shù)列不為等比數(shù)列，故B錯誤；對于C，由可得，則，所以，故為公比為2的等比數(shù)列，故C正確；對于D，由可知，則，如1，2，6，12滿足，但不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明或判斷等比數(shù)列的方法，（1）定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列為等比數(shù)列；（2）等比中項(xiàng)法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列為等比數(shù)列；（3）通項(xiàng)公式法：若（均是不為0的常數(shù)），則數(shù)列為等比數(shù)列；（4）特殊值法：若是選擇題、填空題可以用特殊值法判斷，特別注意的判斷.2．（2020·上海市南洋模范中學(xué)高三期中）已知函數(shù)各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個命題：（1）存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則對恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對恒成立，其中真命題的序號是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即時，，對于（1），，即可判斷；對于（2），運(yùn)用等比數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對于（3），運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；【詳解】由題意得，所以是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即函數(shù)在上也是增函數(shù)，設(shè)若，則，，即若，則，，即所以時，，對于（1），取，，故（1）正確；對于（2），，又令，則又，知，則，則，，又在上單減，，即，，即，則，由的任意性可知，，又，所以，故（2）正確；對于（3），數(shù)列是等差數(shù)列，若，則；若，即，又是奇函數(shù)也是增函數(shù)有，可得；同理：若，可得；若，可得；相加可得：若，可得，即；同理若，可得，即，故（3）正確；故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查真假命題的判斷，關(guān)鍵是要理解新定義的函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的問題，考查了等差等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.3．（2020·上海楊浦區(qū)·復(fù)旦附中高三期末）用表示個實(shí)數(shù)的和，設(shè)，，其中，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求，再利用二項(xiàng)式定理求解，之后根據(jù)的范圍求極限即可.【詳解】解：∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式系數(shù)和、二項(xiàng)式定理和極限，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題4．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，若對任意的，均有恒成立，則的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，由題中條件，得到，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，分別判定其單調(diào)性，得出最大值和最小值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，，顯然單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，所以；?dāng)為偶數(shù)時，，顯然單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，又，所以，綜上，對任意的，都有，所以，，則，所以，即，因此對任意的，都有；為使對任意的，均有恒成立，只需，，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出后，利用分類討論的方法，根據(jù)的單調(diào)性，求的最值，進(jìn)而即可求解.5．（2020·上海高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)列在軸的投影為，且點(diǎn)滿足，直線的斜率．則多邊形的面積為____．【答案】【分析】根據(jù)題意，得出，運(yùn)用累加法和等比數(shù)列的求和公式，求出，得出第個梯形的面積，最后利用分組求和法以及等比數(shù)列的求和公式，即可求出多邊形的面積.【詳解】解：由題可知，直線的斜率，即，可得，則，，，，，累加后，得，即，而，可以求得，則，根據(jù)題意，可以將該多邊形分成個直角梯形來算，且從左往右，第個梯形的面積為：，得，，，，所以多邊形的面積為：，則即，所以多邊形的面積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式和利用分組求和法對數(shù)列進(jìn)行求和，進(jìn)而求出多邊形的面積，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.三、解答題6．（2020·上海高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且，記，．（1）求；（2）判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（3）求．【答案】（1）；（2）是等比數(shù)列，證明詳見解析；（3）【分析】（1）利用數(shù)列的遞推公式可計(jì)算出、；（2）證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求出數(shù)列的前項(xiàng)和，利用極限的運(yùn)算法則可計(jì)算出所求極限值.【詳解】（1），，；（2），所以，，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列；（3）由（2）知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)，同時也考查了等比數(shù)列的證明以及數(shù)列極限的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.7．（2020·上海高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足條件：，且是公比為的等比數(shù)列，設(shè).（1）求出使不等式成立的的取值范圍；（2）求和，其中；（3）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.【答案】（1）；（2）；（3）數(shù)列有最大值；數(shù)列有最小值.【分析】(1)利用數(shù)列滿足條件:，，且是公比為的等比數(shù)列，可得公比的不等式，故可求q的取值范圍；(2)先考慮相鄰項(xiàng)的關(guān)系,可知比值為常數(shù)，故可知數(shù)列是等比數(shù)列，由于公比不定，故要進(jìn)行分類討論；(3)先求數(shù)列的通項(xiàng)，再利用單調(diào)性,研究其最值.【詳解】(1)由題意得，則不等式即為，由題設(shè)，，故從上式可得

,，故；(2)由（1）得，所以，，所以，，所以是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列，所以，

當(dāng)時，，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；，(3)從上式可知,設(shè)，當(dāng)時,遞減，，當(dāng)時，遞減,，，所以當(dāng)時，數(shù)列有最大值；當(dāng)時，數(shù)列有最小值.【點(diǎn)睛】本題以等比數(shù)列為依托，考查數(shù)列的和的極限，考查數(shù)列中的最大與最小項(xiàng)，綜合性強(qiáng)，關(guān)鍵在于由遞推項(xiàng)之間的關(guān)系得出所求數(shù)列的通項(xiàng)，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性求最值，屬于難題.一、單選題1．（2021·上海浦東新·華師大二附中高三）若無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為4，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為4，得到，求得，進(jìn)而得到求解.【詳解】因?yàn)闊o窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為4，所以，解得，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)得：，故選：D二、填空題2．（2020·上海市建平中學(xué)）已知公比為的等比數(shù)列滿足，則__________________．【答案】1【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，化簡整理，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，所以，即，解得，故答案為：13．（2020·上海）設(shè)f（n）＝2+24+27+210+???+23n+1（n∈N*），則f（n）＝_____．【答案】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式直接求解．【詳解】解：，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（2020·寶山·上海交大附中高三期中）在首項(xiàng)為21，公比為的等比數(shù)列中，最接近于1的項(xiàng)是第________項(xiàng)【答案】5【分析】先求出等比數(shù)列的通項(xiàng)，再列舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，比較即得解.【詳解】由題得等比數(shù)列的通項(xiàng)為所以與1最接近.所以最接近于1的項(xiàng)是第5項(xiàng).故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5．（2020·上海嘉定·高三）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______．【答案】63.【分析】先由,求出等比數(shù)列的公比，再和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出【詳解】由，得．故答案為:63【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于容易題.6．（2021·上海）無窮等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則，則________．【答案】【分析】由題意可知，由無窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和可得，解方程可得．【詳解】由于公比為的等比數(shù)列前項(xiàng)和的極限存在，則，且，由題意可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查無窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2021·上海交大附中高三開學(xué)考試）已知無窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則此無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和是_________．【答案】【分析】首先根據(jù)和之間的關(guān)系求得，，從而，求極限即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，根據(jù)題意時也滿足，所以，所以，所以，此無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和是，故答案為：8．（2021·上海浦東新·華師大二附中高三月考）在數(shù)列中，若對一切都有且，則的值為__________【答案】【分析】由遞推關(guān)系可知數(shù)列和均為等比數(shù)列，由等比數(shù)列求和公式和極限的思想可構(gòu)造方程求得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得.【詳解】若，則，不合題意，；，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，，解得：，.故答案為：.9．（2021·上海高三）在無窮等比數(shù)列中，，，記，則___________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義求得通項(xiàng)，從而代入，利用等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】由題知，，則，則故答案為：10．（2021·上海黃浦·高三）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，則___________.【答案】【分析】首先求出等比數(shù)列的其前項(xiàng)和記為，最后再求極限即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，所以前項(xiàng)和記為，.故答案為：11．（2021·上海長寧·高三）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_____【答案】3【分析】由，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，然后求和即可.【詳解】由，得，∴，得，即，由，得，所以，所以，所以.故答案為：．三、解答題12．（2021·上海靜安·高三）將正奇數(shù)1，3，5，7，按上小下大、左小右大的原則排成如下的數(shù)陣，已知由上往下數(shù)，從第2行開始，每一行所有的正整數(shù)的個數(shù)都是上一行的2倍．設(shè)是位于這個數(shù)陣中第行（從上往下數(shù)）、第列（從左往右數(shù)）的數(shù)．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求、的值；（3）若記這個數(shù)陣中第行各數(shù)的和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求極限的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由已知，這個數(shù)陣的第n行有個數(shù)，然后求出前行的個數(shù)，然后可得答案；（2）令，然后可求出答案；（3）依次求出、，然后由極限的知識可得答案.【詳解】（1）由已知，這個數(shù)陣的第n行有個數(shù)，所以前行一共有個數(shù)（2）令，滿足不等式的最大整數(shù)為10．解得所以（3）由題意，，所以所以，一、填空題1．（2021·上海高三）設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則________【答案】【分析】由題意判斷得公比滿足且，化簡，可得關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合的范圍求解得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是無窮等比數(shù)列，且存在，所以公比滿足且，由，所以，所以，所以，又，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的極限存在判斷得公比的取值范圍，然后再化簡計(jì)算得關(guān)于公比的二次方程求解.2．（2021·上海金山·高三）若首項(xiàng)為1、公比為的無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為，表示該數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為_______．【答案】；【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，根據(jù)無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式求出，再分組求和求出，最后利用極限知識可求出結(jié)果.【詳解】依題意得，，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，掌握無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式以及數(shù)列極限知識是解題關(guān)鍵.3．（2021·上海復(fù)旦附中高三）已知無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為1，則首項(xiàng)的取值范圍是__________.【答案】【分析】由無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和可得：，且，然后通過不等式的知識可得答案．【詳解】解：由題意可得：，且，故可得，由可得，且故，且，2且，故答案為：，，4．（2021·上海普陀·高三）設(shè)Pn(xn，yn)是直線3x+y=(n∈N*)與圓x2+y2=5在第四象限的交點(diǎn)，則極限=___________.【答案】【分析】當(dāng)時，，求出其與圓在第四象限的交點(diǎn)無限靠近，由的幾何意義結(jié)合圓的切線的斜率求解．【詳解】當(dāng)時，，直線與圓在第四象限的交點(diǎn)無限靠近，而可看作點(diǎn)，與連線的斜率，其值會無限接近圓在點(diǎn)處的切線的斜率，其斜率為，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查極限思想、圓的切線的斜率、斜率計(jì)算公式，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5．（2021·上海黃浦·格致中學(xué)）若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為5，____________.【答案】【分析】先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令可求，結(jié)合已知常數(shù)項(xiàng)的值可求，然后利用等比數(shù)列的和對已知式子求和，即可求解極限.【詳解】由題意二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令可得，所以，則.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)，一般利用展開式的通項(xiàng)分析求解.6．（2021·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，，則的公比的取值范圍是______．【答案】【分析】首先討論和時不符合題意，可得，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，由即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，若，則與矛盾，，若，則與矛盾，所以，因?yàn)椋瑒t所以，可得，故答案為：.7．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，若對任意的，均有恒成立，則的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，由題中條件，得到，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，分別判定其單調(diào)性，得出最大值和最小值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，，顯然單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，所以；?dāng)為偶數(shù)時，，顯然單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，所以，綜上，對任意的，都有，所以，，則，所以，即，因此對任意的，都有；為使對任意的，均有恒成立，只需，，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出后，利用分類討論的方法，根據(jù)的單調(diào)性，求的最值，進(jìn)而即可求解.8．（2021·上海高三）已知數(shù)列、均為正項(xiàng)等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)積，且，則的值為___________.【答案】【分析】推導(dǎo)出數(shù)列、為等差數(shù)列，由此可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則（常數(shù)），所以，數(shù)列為等差數(shù)列，同理可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，因?yàn)?，同理可得，因此?故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，則.9．（2021·上海交大附中高三開學(xué)考試）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則．類比等差數(shù)列的上述結(jié)論，對等比數(shù)列，若，則當(dāng)時可以得到_________．【答案】【分析】運(yùn)算類比：差類比商，積類比乘方，商類比開方，由此有【詳解】設(shè)，則，，所以，故答案為：．10．（2021·上海外國語大學(xué)附屬大境中學(xué)高三月考）36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?，所?6的所有正約數(shù)之和為，參照上述方法，可求得4000的所有正約數(shù)之和為_____________【答案】9828【分析】先將分解為的冪與的冪相乘的形式，即為，再根據(jù)正約數(shù)之和為求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以的所有正約數(shù)之和為，故答案為：.11．（2021·上海外國語大學(xué)附屬大境中學(xué)高三月考）已知，函數(shù)的圖像與y軸相交于點(diǎn)，與函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，，的面積為，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則____________【答案】12【分析】先作出圖像，然后分別考慮當(dāng)時所趨近的點(diǎn)，由此可計(jì)算出的值.【詳解】依據(jù)題意作出大致圖像如下圖，因?yàn)榍?，，?dāng)時，趨近于，趨近于，當(dāng)時，函數(shù)的圖像趨近于漸近線，趨近于，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于通過圖像分別考慮時的極限，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解結(jié)果.二、解答題12．（2020·上海楊浦·高三）設(shè)數(shù)列與滿足：的各項(xiàng)均為正數(shù)，.（1）設(shè)，若是無窮等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè).求證：不存在遞減的數(shù)列，使得是無窮等比數(shù)列；（3）當(dāng)時，為公差不為0的等差數(shù)列且其前的和為0；若對任意滿足條件的數(shù)列，其前項(xiàng)的和均不超過，求正整數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）最大值為8.【分析】（1）運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公比，所求通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用反證法證明，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和余弦函數(shù)的值域，可得矛盾，即可得證；（3）運(yùn)用等差數(shù)列的等差中項(xiàng)的性質(zhì)和求和公式，解不等式可得所求最大值．【詳解】（1）解：，，公比為由解得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）證明：反證法，設(shè)存在則，此時公比，考慮不等式當(dāng)時，即時，有(其中表示不超過x的最大整數(shù))，這與的值域?yàn)槊芗僭O(shè)不成立，得證（3）解：，由等差數(shù)列性質(zhì)即，特別地，，現(xiàn)考慮的最大值為使取最大值，應(yīng)有，否則在中將替換為，且，將得到一個更大的由可知，特別地，；于是解得，所以的最大值為8.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和推理能力，以及反證法的應(yīng)用．13．（2021·上海高三）若數(shù)列滿足：從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)不小于它的前一項(xiàng)的（）倍，則稱該數(shù)列具有性質(zhì).（1）已知數(shù)列，，具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）刪除數(shù)列，，，，中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，，第項(xiàng)，，余下的項(xiàng)按原來順序組成一個新數(shù)列，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列具有性質(zhì)，試求實(shí)數(shù)的最大值；（3）記（），如果（），證明：“”的充要條件是“存在數(shù)列具有性質(zhì)，且同時滿足以下三個條件：（Ⅰ）數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且互異；（Ⅱ）存在常數(shù)，使得數(shù)列收斂于；（Ⅲ）（，這里）”.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）利用新定義列出不等式組，求解即可；（2）通過令，，，分別利用新定義，列出不等關(guān)系式，求解的最大值；（3）令，驗(yàn)證條件Ⅰ，利用數(shù)列收斂于，判斷條件Ⅱ，通過，得，即可證明.【詳解】（1）由題意可知，，得；（2）當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，，綜上，的最大值為.（3）證明：令，顯然具有性質(zhì)，且滿足條件（Ⅰ），當(dāng)，滿足條件（Ⅱ），，即，所以，所以，即證.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義與數(shù)列的斂散性問題，注意利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式代入求解判斷，判斷數(shù)列的斂散性需要結(jié)合數(shù)列的極限值判斷出數(shù)列收斂于某個確定的值.14．（2022·上海）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．?dāng)?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且對任意正整數(shù)都有成立．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列中有無窮多項(xiàng)在數(shù)列中；（3）是否存在二次函數(shù)和實(shí)數(shù)，使得為數(shù)列中連續(xù)4項(xiàng)？若存在，請寫出一個滿足條件的的解析式和對應(yīng)的實(shí)數(shù)a的值；若不存在，說明理由．【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【分析】（1）由，，可得，從而可求出，進(jìn)而可得，由可求出公比，從而可求出；（2）令得，所以，取，則可得能夠被3整除，從而可得結(jié)論；（3）設(shè)，設(shè)，則，，，代入函數(shù)中化簡得，則可得，所以不存在這樣的二次函數(shù)【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列公差為d，則，，所以．設(shè)數(shù)列公比為q，由條件得，解得，從而．（2）令得，所以，取，則所以能夠被3整除，所以此時，即時，是數(shù)列中的項(xiàng)，從而數(shù)列中有無窮多項(xiàng)在數(shù)列中．（3）設(shè)，若為數(shù)列中連續(xù)4項(xiàng)，設(shè)，則，，，所以于是于是，所以，矛盾．所以不存在二次函數(shù)和實(shí)數(shù)，使得為數(shù)列中連續(xù)4項(xiàng)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)與數(shù)列的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，第3問解題的關(guān)鍵是假設(shè)為數(shù)列中連續(xù)4項(xiàng)，設(shè)，則，，，從而有，化簡后得到矛盾，從而可得結(jié)論，屬于較難題15．（2021·上海交大附中高三開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，若對任意的，均有（k是常數(shù)且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”？若存在，求出符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式及對應(yīng)的k的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.【分析】（1）由定義可知，，再利用數(shù)列與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由定義，利用數(shù)列與的關(guān)系，得，，可知，再由定義變形推得矛盾.【詳解】解：（1）數(shù)列為“數(shù)列”，則，所以，兩式相減得：，又時，，所以，故對任意的恒成立，即，故數(shù)列為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．（2）假設(shè)存在這樣的數(shù)列，則有，故有，兩式相減得，，則又．同理，由是“數(shù)列”可得，，所以對任意的恒成立，所以，即①又，即②①②兩式矛盾，故不存在數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“物列”．一、單選題1．（2021·山東高考真題）在等比數(shù)列中，，，則等于（）A． B．5 C． D．9【答案】D【分析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴．故選：D2．（2021·全國高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.3．（2015·上海高考真題（理））設(shè)是直線（）與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得：因?yàn)榕c圓在第一象限的交點(diǎn)為，所以，又由得選A.考點(diǎn)：極限4．（2015·上海高考真題（文））設(shè)是直線與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限.A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槭侵本€與圓在第一象限的交點(diǎn)，而是經(jīng)過點(diǎn)與的直線的斜率，由于點(diǎn)在圓上.因?yàn)椋?考點(diǎn)：圓的切線，極限.5．（2021·浙江高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于中等題.二、解答題6．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列