專題04三角函數必考題型分類訓練-沖刺2023年高考數學熱點重難點題型解題方法與策略真題演練（新高考專用）

專題04三角函數必考題型分類訓練【二年高考真題練】一．選擇題（共15小題）1．（2021?全國）已知tanx＝2，則＝（）A．3 B． C． D．【分析】由已知把要求值的式子化弦為切求解．【解答】解：由tanx＝2，得cosx≠0，∴＝．故選：B．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查同角三角函數基本關系式的應用，是基礎題．2．（2021?乙卷）把函數y＝f（x）圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數y＝sin（x﹣）的圖像，則f（x）＝（）A．sin（﹣） B．sin（+） C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）【分析】由題意利用函數y＝Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律，得出結論．【解答】解：∵把函數y＝f（x）圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數y＝sin（x﹣）的圖像，∴把函數y＝sin（x﹣）的圖像，向左平移個單位長度，得到y(tǒng)＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的圖像；再把圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，可得f（x）＝sin（x+）的圖像．故選：B．【點評】本題主要考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律，屬基礎題．3．（2022?甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，CD⊥AB．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：s＝AB+．當OA＝2，∠AOB＝60°時，s＝（）A． B． C． D．【分析】由已知求得AB與CD的值，代入s＝AB+得答案．【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，∵C是AB的中點，D在上，CD⊥AB，∴延長DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，∴s＝AB+＝2+＝2+＝．故選：B．【點評】本題考查扇形及其應用，考查運算求解能力，是基礎題．4．（2021?全國）函數y＝cos2x+sinxcosx圖像的對稱軸是（）A．x＝+（k∈Z） B．x＝﹣（k∈Z） C．x＝kπ+（k∈Z） D．x＝kπ﹣（k∈Z）【分析】利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化積，然后結合正弦函數的性質求解．【解答】解：y＝cos2x+sinxcosx＝＝＝．由2x+＝，k∈Z，得x＝，k∈Z．∴函數y＝cos2x+sinxcosx圖像的對稱軸是x＝+（k∈Z）．故選：A．【點評】本題考查三角函數的恒等變換應用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數的圖象與性質，是基礎題．5．（2021?新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，則＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】由題意化簡所給的三角函數式，然后利用齊次式的特征即可求得三角函數式的值．【解答】解：由題意可得：＝＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查同角三角函數基本關系，三角函數式的求值等知識，sin2A+cos2A＝1是解題的關鍵，屬于中等題．6．（2021?新高考Ⅰ）下列區(qū)間中，函數f（x）＝7sin（x﹣）單調遞增的區(qū)間是（）A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）【分析】本題需要借助正弦函數單調增區(qū)間的相關知識點求解．【解答】解：令，k∈Z．則，k∈Z．當k＝0時，x∈[，]，（0，）?[，]，故選：A．【點評】本題考查正弦函數單調性，是簡單題．7．（2021?甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，則tanα＝（）A． B． C． D．【分析】把等式左邊化切為弦，再展開倍角公式，求解sinα，進一步求得cosα，再由商的關系可得tanα的值．【解答】解：由tan2α＝，得，即，∵α∈（0，），∴cosα≠0，則2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝，則cosα＝＝，∴tanα＝．故選：A．【點評】本題考查三角函數的恒等變換與化簡求值，考查倍角公式的應用，是基礎題．8．（2021?乙卷）cos2﹣cos2＝（）A． B． C． D．【分析】法一、直接利用二倍角的余弦化簡求值即可．法二、由誘導公式即二倍角的余弦化簡求值．【解答】解：法一、cos2﹣cos2＝＝＝．法二、cos2﹣cos2＝cos2﹣sin2＝cos＝．故選：D．【點評】本題考查三角函數的化簡求值和二倍角的余弦，是基礎題．9．（2022?全國）已知函數f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，則φ＝（）A．2kπ+（k∈Z） B．2kπ+（k∈Z） C．2kπ﹣（k∈Z） D．2kπ﹣（k∈Z）【分析】由題意，可得函數f（x）的一條對稱軸為x＝0，即φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．再檢驗選項，可得結論．【解答】解：∵函數f（x）＝sin（2x+φ），f（）＝f（﹣）＝，∴函數f（x）的一條對稱軸為x＝0，即sinφ＝1或sinφ＝﹣1，故φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．∴sin（+φ）＝sin（﹣+φ）＝①．不妨k＝0時，φ＝時，①不成立；當φ＝﹣時，①成立，故φ＝2kπ﹣（k∈Z），故選：D．【點評】本題主要考查正弦函數的圖象和性質，屬于中檔題．10．（2022?新高考Ⅰ）記函數f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T．若＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關于點（，2）中心對稱，則f（）＝（）A．1 B． C． D．3【分析】由周期范圍求得ω的范圍，由對稱中心求解ω與b值，可得函數解析式，則f（）可求．【解答】解：函數f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T，則T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的圖像關于點（，2）中心對稱，∴b＝2，且sin（+）＝0，則+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，則f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故選：A．【點評】本題考查y＝Asin（ωx+φ）型函數的圖象與性質，考查邏輯思維能力與運算求解能力，是中檔題．11．（2022?甲卷）將函數f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則ω的最小值是（）A． B． C． D．【分析】由題意，利用函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象和性質，求得ω的最小值．【解答】解：將函數f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，則C對應函數為y＝sin（ωx++），∵C的圖象關于y軸對稱，∴+＝kπ+，k∈Z，即ω＝2k+，k∈Z，則令k＝0，可得ω的最小值是，故選：C．【點評】本題主要考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象和性質，屬于中檔題．12．（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，則（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1【分析】解法一：由已知結合輔助角公式及和差角公式對已知等式進行化簡可求α﹣β，進而可求．解法二：根據已知條件，結合三角函數的兩角和公式，即可求解．【解答】解：解法一：因為sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，即sin（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，所以sin（）＝0，所以＝kπ，k∈Z，所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由題意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosα+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故選：C．【點評】本題主要考查了輔助角公式，和差角公式在三角化簡求值中的應用，解題的關鍵是公式的靈活應用，屬于中檔題．13．（2022?甲卷）設函數f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]【分析】由題意，利用正弦函數的極值點和零點，求得ω的取值范圍．【解答】解：當ω＜0時，不能滿足在區(qū)間（0，π）極值點比零點多，所以ω＞0；函數f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故選：C．【點評】本題主要考查正弦函數的極值點和零點，屬于中檔題．14．（2021?乙卷）函數f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分別是（）A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2【分析】化簡函數的表達式，再利用三角函數的周期，正弦函數的最值求解即可．【解答】解：∵f（x）＝sin+cos＝sin（+），∴T＝＝6π．當sin（+）＝1時，函數f（x）取得最大值；∴函數f（x）的周期為6π，最大值．故選：C．【點評】本題考查了輔助角公式、三角函數的周期性與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15．（2022?甲卷）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，則（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b【分析】構造函數f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函數線可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．【解答】解：設f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），則f′（x）＝x﹣sinx，設g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）單調遞增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上單調遞增，所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，利用三角函數線可得x）時，tanx＞x，∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．綜上：c＞b＞a，故選：A．【點評】本題考查了三角函數不等式的證明與應用，考查了運算能力，屬難題．二．多選題（共1小題）（多選）16．（2022?新高考Ⅱ）已知函數f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖像關于點（，0）中心對稱，則（）A．f（x）在區(qū)間（0，）單調遞減 B．f（x）在區(qū)間（﹣，）有兩個極值點 C．直線x＝是曲線y＝f（x）的對稱軸 D．直線y＝﹣x是曲線y＝f（x）的切線【分析】直接利用函數的對稱性求出函數的關系式，進一步利用函數的性質的判斷A、B、C、D的真假．【解答】解：因為f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關于點（，0）對稱，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因為0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）單調遞減，A正確；x∈（﹣，），2x+∈（，），根據函數的單調性，故函數f（x）在區(qū)間（﹣，）只有一個極值點，故B錯誤；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C顯然錯誤；f（x）＝sin（2x+），求導可得，f'（x）＝，令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），故函數y＝f（x）在點（0，）處的切線斜率為k＝，故切線方程為y﹣，即y＝，故D正確．故選：AD．【點評】本題考查的知識要點：三角函數關系式的求法，函數的性質的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）17．（2022?全國）若tanθ＝3，則tan2θ＝．【分析】由已知直接利用二倍角的正切求解．【解答】解：由tanθ＝3，得tan2θ＝．故答案為：．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查倍角公式的應用，是基礎題．18．（2021?甲卷）已知函數f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則f（）＝﹣．【分析】根據圖象可得f（x）的最小正周期，從而求得ω，然后利用五點作圖法可求得φ，得到f（x）的解析式，再計算f（）的值．【解答】解：由圖可知，f（x）的最小正周期T＝（﹣）＝π，所以ω＝＝2，因為f（）＝0，所以由五點作圖法可得2×+φ＝，解得φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（2x﹣），所以f（）＝2cos（2×﹣）＝﹣2cos＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查由y＝Acos（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查數形結合思想與運算求解能力，屬于基礎題．19．（2022?乙卷）記函數f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T．若f（T）＝，x＝為f（x）的零點，則ω的最小值為3．【分析】由題意，結合余弦函數的周期和零點，建立相關的方程求解即可．【解答】解：函數f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T＝，若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，則φ＝，所以f（x）＝cos（ωx+）．因為x＝為f（x）的零點，所以cos（+）＝0，故+＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，因為ω＞0，則ω的最小值為3．故答案為：3．【點評】本題主要考查余弦函數的圖象和性質，考查了方程思想，屬于基礎題．20．（2021?甲卷）已知函數f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則滿足條件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整數x為2．【分析】觀察圖像，，即周期為π，將需要求解的式子進行周期變換，變換到附近，觀察圖像可知x＞，即最小正整數為2．【解答】解：由圖像可得，即周期為π，∵，T＝π，∴，觀察圖像可知當，，，∵2∈（），且，∴x＝2時最小，且滿足題意，故答案為：2．【點評】該題考查了三角函數的周期性，以及如何通過圖像判斷函數值的大小，題型靈活，屬于中等題．四．解答題（共1小題）21．（2021?浙江）設函數f（x）＝sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）求函數y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函數y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．【分析】（Ⅰ）由y＝[f（x+）]2，可得y＝1﹣sin2x，然后利用周期公式求出周期；（Ⅱ）y＝f（x）f（x﹣）＝sin（2x﹣）+，由x∈[0，]，得到的取值范圍，再利用整體法求出y＝f（x）f（x﹣）的最大值．【解答】解：函數f（x）＝sinx+cosx＝，（Ⅰ）函數y＝[f（x+）]2＝[2＝2cos2（x+）＝1+cos[2（x+）]＝1+cos（2x+）＝1﹣sin2x，則最小正周期為T＝；（Ⅱ）函數y＝f（x）f（x﹣）＝＝sinx+cosx）sinx＝＝＝sin（2x﹣）+，因為x，所以2x﹣，所以當2x﹣，即x＝時，ymax＝1+．【點評】本題考查了三角函數的圖像性質，涉及求解函數的周期以及最值問題，考查了運算能力，屬于基礎題．【二年自主招生練】一．選擇題（共4小題）1．（2022?山西自主招生）已知A＝{y|y＝sin（ωn+φ），n∈Z}，若存在φ使得集合A中恰有3個元素，則ω的取值不可能是（）A． B． C． D．【分析】利用賦值法逐項寫出一個周期中的元素，結合誘導公式判斷是否存在φ使得集合A中恰有3個元素，再確定ω的取值．【解答】解：對A，當時，，函數的周期T＝，在一個周期內對n賦值，當n＝0時，y＝sinφ，當n＝1時，，當n＝2時，，當n＝3時，，當n＝4時，，當n＝5時，，當n＝6時，，令時，，所以，，，所以存在φ使得n＝1時的y值等于n＝6時的y值，n＝2時的y值等于n＝5時的y值，n＝3時的y值等于n＝4時的y值，但當n＝0，1，2，3時，不存在φ使得這個y值中的任何兩個相等，所以當時，集合A中至少有4個元素，故A錯誤；對B，當時，y＝sin（+φ），函數的周期T＝，在一個周期內對n賦值，當n＝0時，y＝sinφ，當n＝1時，y＝sin（），當n＝2時，y＝sin（），當n＝3時，y＝sin（）＝sin（﹣），當n＝4時，y＝sin（）＝sin（﹣），令φ＝，sin＝1，sin（）＝sin（﹣）＝cos，sin（）＝sin（﹣）＝cos，所以時，符合題意，故B正確；對于C，當時，，函數的周期，在一個周期內對n賦值，當n＝0時，y＝sinφ，當n＝1時，y＝sin（）＝cosφ，當n＝2時，y＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，當n＝3時，，令φ＝0，則sin0＝﹣sin0＝0，cos0＝1，﹣cos0＝﹣1，所以當時，符合題意，故C正確；對于D，當時，，函數的周期為，在一個周期內對n賦值，當n＝0時，y＝sinφ，當n＝1時，，當n＝2時，，令φ＝0，sin0＝0，，，所以當時，符合題意，故D正確；故選：A．【點評】本題一共有三個變量：ω，n，φ屬于多變量題目，對于該題，要先確定一個變量，再對第二個變量賦值，然后再對第三個變量賦值，以此分類討論即可，屬于難題．2．（2022?上海自主招生）對?x∈R恒成立，則ω的最小值為（）A． B．1 C． D．【分析】由余弦函數的最值和相應自變量的取值，令k＝0，可得所求最小值．【解答】解：對?x∈R恒成立，可得f（x）的最大值為f（），且為1，則﹣＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k+，k∈Z，由ω＞0，可得k＝0時，ω的最小值為．故選：D．【點評】本題考查三角函數的最值和不等式恒成立問題解法，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．3．（2022?上海自主招生）＝（）A． B． C．2 D．1【分析】由兩角差的正弦公式、正切公式，結合特殊角的三角函數值，計算可得所求值．【解答】解：tan15°+2sin15°＝tan（45°﹣30°）+2sin（45°﹣30°）＝+2×＝2﹣+﹣1＝1．故選：D．【點評】本題考查三角函數的求值，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題．4．（2022?山西自主招生）已知函數f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx，則f（x）的最大值為（）A．4 B． C．6 D．5+2【分析】先將f（x）化為f（x）＝2（cosx+1）（sinx+2）﹣4，然后利用基本不等式和輔助角公式、正弦函數的最值，可得所求f（x）的最大值．【解答】解：f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx＝2sinxcosx+4cosx+2sinx＝2cosx（sinx+2）+2sinx＝2（cosx+1）（sinx+2）﹣4，顯然sinx+2＞0，由于要求f（x）的最大值，所以只需考慮cosx+1＞0的情況即可，當cosx+1＞0時，2（cosx+1）（sinx+2）﹣4≤2（）2﹣4＝2[]2﹣4≤2×﹣4＝，當且僅當，即x＝2kπ+（k∈Z）時等號成立，因此當x＝2kπ+（k∈Z）時，f（x）取得最大值．故選：B．【點評】本題考查三角函數的最值和基本不等式的應用，考查轉化能力和運算求解能力，屬于中檔題．二．填空題（共2小題）5．（2022?北京自主招生）若tanα＝3tanβ（0≤β＜α≤），則α﹣β的最大值為．【分析】由題意利用兩角差的正切公式求得tan（α﹣β）的表達式，再利用基本不等式求得它的最大值，可得α﹣β的最大值．【解答】解：設x＝α﹣β，則0≤x＜，tanx＝tan（α﹣β）＝＝＝≤＝，當且僅當cotβ＝3tanβ，即β＝時，tanx取最大值，此時α＝，于是x的最大值是，故答案為：．【點評】本題主要考查兩角差的正切公式、基本不等式的應用，屬于中檔題．6．（2022?山西自主招生）已知直線y＝m與函數f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的圖象相交，若自左至右的三個相鄰交點A，B，C滿足2|AB|＝|BC|，則實數m＝1或2．【分析】根據題意將條件轉化為直線y＝m﹣與函數y＝sin（ωx+）的圖象相交，由三角函數的周期性結合已知得出|AB|的長并用A和B的橫坐標之差表示，再結合A和B的中點函數值取最值即可求解．【解答】解：由題知，直線y＝m與函數f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的圖象相交，等價于直線y＝m﹣與函數y＝sin（ωx+）的圖象相交，設A（x1，m﹣），B（x2，m﹣），C（x3，m﹣），所以|AC|＝，又由2|AB|＝|BC|得，|AB|＝|AC|＝，即x2﹣x1＝，化簡得ωx2﹣ωx1＝，①由題知點A和點B的中點坐標為（，m﹣），當直線y＝m﹣與y＝sin（）的交點在x軸上方時，，即，化簡得，k∈Z，②由①②聯立得，所以，即m﹣＝，解得m＝2；當直線y＝m﹣與y＝sin（）的交點在x軸下方時，，即，化簡得，k∈Z，③由①③聯立得，所以，即，解得m＝1，所以m＝1或2，故答案為：1或2．【點評】本題考查了三角函數的圖象與性質，用到了分類討論的思想，屬于難題．三．解答題（共5小題）7．（2022?南京自主招生）若α，β∈（0，π），求滿足cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝的α，β的值．【分析】構造向量＝（1﹣cosβ，sinβ），＝（cosα，sinα），則可求?，||2?||2，由（?）22≤||2?||2，整理得（cosβ﹣）2≤0，解得cosβ，結合范圍即可得解．【解答】解：原等式化為（1﹣cosβ）cosα+sinβsinα＝﹣cosβ①構造向量＝（1﹣cosβ，sinβ），＝（cosα，sinα），則?＝（1﹣cosβ）cosα+sinβsinα＝﹣cosβ，||2?||2＝[（1﹣cosβ）2+sin2β]?[cos2α+sin2α]＝2﹣2cosβ，因（?）22≤||2?||2，于是有（﹣cosβ）2≤2﹣2cosβ，整理得（cosβ﹣）2≤0，∴cosβ＝．又β∈（0，π），∴β＝．同理可得α＝．【點評】對于某些三角問題，若能合理地構造向量，利用向量來解，往往可使問題得到快捷方便地解決，本題主要考查了平面向量及應用，三角函數恒等變換的應用，屬于難題．8．（2021?上海自主招生）求由曲線，x2+y2≥2圍成的面積．【分析】由曲線，x2+y2≥2圍成的面積S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC），由此能求出結果．【解答】解：如圖，S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC），∵OE＝OD＝，OA＝＝OC，∴?h＝，由余弦定理得cos∠AOC＝﹣1，由題意得，∴S扇形OAB＝＝arcsin（），∴由曲線，x2+y2≥2圍成的面積為：S＝2π﹣4arcsin（）﹣2＝4arccos（）﹣2．【點評】本題考查曲線圍成的圖形面積的求法，考查余弦定理、三角形面積公式、扇形面積公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬中檔題．9．（2022?北京自主招生）y＝sinx在區(qū)間[t﹣1，t]上的最大值為M（t），最小值為N（t），若t∈[，]，求M（t）﹣N（t）的最大值．【分析】結合函數y＝sinx的圖象，根據單調性，確定表達式M（t）﹣N（t），再利用兩角和差公式化簡即可．【解答】解：函數y＝sinx的周期為6，函數y＝sinx在[，]上遞減，當t∈[，]時，[t﹣1，t]?[，]，M（t）﹣N（t）＝sin﹣sin＝sin﹣cos﹣sin＝﹣sin（+）≤1．當+＝，即t＝時取最大值1．【點評】本題考查三角函數的性質，屬于中檔題．10．（2021?上海自主招生）已知△ABC中，tanC＝﹣3tanA，求tanB最大值．【分析】通過tanB＝tan[（A+B）﹣A]利用公式展開，把tan（A+B）＝2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，進而根據等號成立的條件求得tanB的值，即可得出結果．【解答】解：∵tanC＝﹣3tanA，∴可得3tanA＝tan（A+B），∴tanB＝tan（A+B﹣A）＝＝＝，∴A，B均為銳角，∴tanA＞0，且≥2，當且僅當＝3tanA，即tanA＝時取“＝”號，∴0＜tanB＝≤，∴tanB最大值是，此時B＝A＝，C＝．【點評】本題主要考查了兩角和與差的正切函數和運用基本不等式求最值的問題，考查了學生對基礎知識的綜合運用和基本的運算能力，屬于中檔題．11．（2021?廣東自主招生）求函數的取值范圍．【分析】考慮函數g（x）＝6x﹣3x2﹣4x3（﹣1?x?1）的單調性和取值情況，得到6cosx﹣3cos2x﹣4cos3的最值情況，進一步觀察可發(fā)現同樣在x＝π和x＝時取得最小值和最大值，由此求出f（x）的最大值和最小值，即可得到取值范圍．【解答】解：令g（x）＝6x﹣3x2﹣4x3（﹣1?x?1），則g′（x）＝﹣6（2x2+x﹣1）＝﹣6（2x﹣1）（x+1），當x∈[﹣1，）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；x∈（，1]時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，則，則6cosx﹣3cos2x﹣4cos3在x＝π時取最小值﹣5，在時取最大值．另一方面，我們注意到在x＝π時取最小值，在時取最大值．這說明，所以．【點評】本題考查了三角函數的最值問題，構造合適的函數是解題的關鍵，屬于中檔題．【最新模擬練】一．選擇題（共9小題）1．（2023?湖北模擬）設，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據三角函數的誘導公式即可求得．【解答】解：由題意得，∵，∴，故選：B．【點評】本題主要考查了誘導公式的應用，屬于基礎題．2．（2023?湖南模擬）已知函數在上單調遞減，則實數ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】根據余弦函數的性質，可得單調區(qū)間長度小于等于半周期，可得﹣2≤ω＜0，再利用整體代換法，即可求得，取k＝0即可得出結果．【解答】解：函數的最小正周期，所以，即﹣2≤ω＜0，當時，，依題意知，k∈Z，解得，又﹣2≤ω＜0，∴當k＝0時成立，．故選：A．【點評】本題主要考查余弦函數的圖象與性質，屬于基礎題．3．（2023?屯昌縣二模）將函數的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數為（）A． B． C． D．【分析】根據三角函數圖象的變換關系，求解即可得出答案．【解答】解：函數的周期為，圖象向右平移個周期，即平移后，所得圖象對應的函數為，即，故選：D．【點評】本題考查三角函數的圖象變換，考查轉化思想，屬于基礎題．4．（2023?河南模擬）已知函數，其圖象的兩相鄰對稱中心間的距離為4，若，則（）A． B．f（x）圖象的對稱軸方程為 C．f（x）在上單調遞減 D．不等式f（x）≥2的解集為【分析】根據條件可得出f（x）的周期為8，從而求出，再根據及|φ|可求出，從而得出；解，k∈Z即可得出f（x）的對稱軸方程；根據即可得出的范圍，從而判斷選項C是否正確；由f（x）≥2可得出，解出x的范圍即可判斷D的正誤．【解答】解：∵f（x）圖象的兩相鄰對稱中心的距離為4，∴f（x）的周期為8，∴，，又，∴，且|φ|，∴，∴，解得f（x）的對稱軸方程為：，k∈Z，時，，∴f（x）在上沒有單調性，f（x）≥2即：，即，∴，解得，k∈Z．故選：D．【點評】本題考查了三角函數的周期的計算公式，正弦函數的圖象，正弦函數的對數中心和對稱軸，考查了計算能力，屬于基礎題．5．（2023?安陽模擬）已知函數在[0，π]上有且僅有2個零點，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】利用兩角和與差的正弦，余弦公式將函數化簡，然后根據變量的取值范圍和余弦函數的性質即可求解．【解答】解：＝，當x∈[0，π]時，，∵f（x）在[0，π]內有且僅有2個零點，∴，∴，∴ω的取值范圍是．故選：A．【點評】本題主要考查余弦函數的圖象，屬于基礎題．6．（2023?梅河口市校級一模）函數f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分圖象如圖所示，為了得到f（x）的圖象，只需將g（x）＝cos3x的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【分析】由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．【解答】解：根據函數f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，的圖象，可得，∴ω＝3，再根據五點法作圖，可得，∴，，故把圖象向右平移個單位長度，可得到的圖象．故選：D．【點評】本題主要考查了三角函數的圖象變換，屬于基礎題．7．（2023?成都模擬）下列函數中，以π為周期且在上單調遞增的是（）A．f（x）＝cos2x﹣sin2x B．f（x）＝2sinxcosx C．f（x）＝|sinx| D．f（x）＝|cos2x|【分析】由f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x判斷A；由f（x）＝2sinxcosx＝sin2x判斷B；作出函數f（x）＝|sinx|的圖象判斷C；作出f（x）＝|cos2x|的圖象判斷D．【解答】解：對于A，∵f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴T＝＝π，由x∈（），得2x∈（π，2π），∴f（x）單調遞增，故A正確；對于B，f（x）＝2sinxcosx＝sin2x，則T＝＝π，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∴f（x）不單調，故B錯誤；對于C，f（x）＝|sinx|，其圖象如圖：由圖象知T＝π，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∵y＝|sinx|不單調，故C錯誤；對于D，f（x）＝|cos2x|，其圖象如下：由圖象知，T＝，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∵y＝|cos2x|不單調，故D錯誤．故選：A．【點評】本題考查三角函數的圖象和性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．8．（2023?浙江模擬）已知函數在上單調遞增，且，則ω＝（）A． B． C． D．【分析】根據復合函數的單調性，解三角方程，建立不等式與方程，即可求解．【解答】解：∵x∈（0，），又ω＞0，∴∈（，），又在上單調遞增，∴，∴ω∈（0，1]，又，∴sin（+）＝sin（πω+），∴或，k∈Z，∴ω＝4k或ω＝+，k∈Z，又ω∈（0，1]，∴ω＝，故選：D．【點評】本題考查復合函數的單調性，解三角方程，屬中檔題．9．（2023?南關區(qū)校級二模）函數f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖，BC∥x軸，當時，不等式f（x）≥m﹣sin2x恒成立，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．（﹣∞，1]【分析】利用函數f（x）的圖象，求出對稱軸方程，從而求出函數f（x）的周期，由此求得ω的值，再利用特殊點求出φ的值，得到函數f（x）的解析式，然后利用參變量分離以及正弦函數的性質，即可求出m的取值范圍．【解答】解：因為BC∥x軸，所以f（x）圖象的一條對稱軸方程為x＝×（+）＝，所以＝﹣＝，則T＝π，所以ω＝＝2，又2×+φ＝π+kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），因為當x∈[0，]時，不等式f（x）≥m﹣sin2x恒成立，所以m≤f（x）+sin2x＝sin（2x+）+sin2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），因為x∈[0，]，則2x+∈[，]，所以g（x）＝sin（2x+）的最小值為，所以m≤，即m的取值范圍是（﹣∞，]．故選：A．【點評】本題考查了三角函數的綜合應用，涉及了三角函數圖象的應用，三角函數對稱性、周期性的運用，同時考查了不等式恒成立問題，要掌握不等式恒成立問題的一般求解方法：參變量分離法、數形結合法、最值法等，屬于中檔題．二．多選題（共2小題）（多選）10．（2023?菏澤一模）已知函數（n∈N*），下列命題正確的有（）A．f1（2x）在區(qū)間[0，π]上有3個零點 B．要得到f1（2x）的圖象，可將函數圖象上的所有點向右平移個單位長度 C．f4（x）的周期為，最大值為1 D．f3（x）的值域為[﹣2，2]【分析】，根據x的范圍得出f1（2x）的零點，即可判斷A項；根據已知得出平移后的函數解析式，即可判斷B項；由已知化簡可得，即可判斷C項；由已知可得，，換元根據導函數求解在[﹣1，1]上的值域，即可判斷D項．【解答】解：對于A項，由已知可得，，因為0≤x≤π，所以，當或時，即或時，有f1（2x）＝0，所以f1（2x）在區(qū)間[0，π]上有2個零點，故A項錯誤；對于B項，將函數圖象上的所有點向右平移個單位長度得到函數，故B項正確；對于C項，由已知可得，＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x＝＝，所以，f4（x）的周期，最大值為，故C項正確；對于D項，＝＝．令，則﹣1≤t≤1，所以，則，解g'（t）＝0，可得，解g'（t）＞0，可得，所以g（t）在上單調遞增，解g'（t）＜0，可得或，所以g（t）在上單調遞減，在上單調遞減，且，，，，所以當時，g（t）有最小值﹣1；當時，g（t）有最大值1，所以f3（x）的值域為[﹣1，1]，故D項錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查了三角函數的圖象和性質，屬于中檔題．（多選）11．（2023?2月份模擬）圖改編自李約瑟所著的《中國科學技術史》，用于說明元代數學家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算．圖中的，，，都是以O為圓心的圓弧，CMNK是為計算所做的矩形，其中M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB．記α＝∠AOB，β＝∠AOC，γ＝∠BOD，δ＝∠COD，則（）A．sinβ＝sinγcosδ B．cosβ＝cosγcosδ C． D．【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質定理證得CM⊥OD，CK⊥OA，結合條件中MN⊥OB，KN⊥OB，從而在各直角三角形中得到α，β，γ，δ的正余弦表示，對選項逐一分析判斷即可．【解答】解：因為在矩形MNKC中，KN⊥MN，又KN⊥OB，MN∩OB＝N，MN，OB?面BOD，所以KN⊥面BOD，又OD?面BOD，所以KN⊥OD，因為在矩形MNKC中，CM∥KN，所以CM⊥OD，即CM⊥MO，因為MN⊥OB，KN⊥MN，KN∩OB＝N，KN，OB?面BOA，所以MN⊥面BOA，又在矩形MNKC中，MN∥CK，所以CK⊥面BOA，又OA?面BOA，所以CK⊥OA，同時，易知在矩形MNKC中，CM＝KN，CK＝MN，對于A，在Rt△CKO中，sinβ＝，在Rt△MNO中，sinγ＝，在Rt△CMO中，cosδ＝，所以sinγcosδ＝?＝＝＝sinβ，故A正確；對于B，在Rt△CKO中，cosβ＝，在Rt△MNO中，cosγ＝，在Rt△CMO中，cosδ＝，又cosδ＝，且在Rt△KNO中，OK為斜邊，故有ON≠OK，所以cosγ?cosδ＝?＝≠＝cosβ，故B錯誤；對于C，在Rt△KNO中，sinα＝，在Rt△CMO中，sinδ＝，又cosβ＝≠0，所以＝?＝＝＝sinα，故C正確；對于D，在Rt△KNO中，cosα＝，又cosβ＝≠0，cosγ＝，cosδ＝，所以cosα?cosβ＝?＝，cosγ?cosδ＝?＝，所以cosα?cosβ＝cosγ?cosδ，即cosα＝，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查了線面垂直的判斷及性質定理，關鍵點是利用線面垂直的判定定理與性質定理證得CM⊥OD，CK⊥OA，從而得α，β，γ，δ的正余弦表示，從而得解，屬于難題．三．填空題（共3小題）12．（2023?焦作一模）已知f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）為奇函數，若對任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，滿足f（α）+f（β）＝0，則實數α的取值范圍是[﹣，]．【分析】由題意，先求出f（x）的解析式，再求出α+β＝0，結合β范圍，求出α的取值范圍．【解答】解：∵f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）為奇函數，∴φ＝0，f（x）＝sin3x，且定義域關于原點對稱．若對任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，滿足f（α）+f（β）＝0，∴3α＝﹣3β，即α＝﹣β．∵β∈[﹣，α]，∴α＝﹣β∈[﹣α，]，∴﹣α≥﹣，即α≤．綜上可得，實數α的取值范圍[﹣，]，故答案為：[﹣，]．【點評】本題主要考查三角函數的奇偶性，不等式的性質，屬于中檔題．13．（2023?碑林區(qū)校級模擬）將函數和直線g（x）＝x﹣1的所有交點從左到右依次記為A1，A2，A3，An?，若P點坐標為（0，2），則＝5．【分析】根據題意作出兩函數的圖象，結合余弦函數的中心對稱性化簡各個向量的和，求模長即可．【解答】解：由題意作出兩函數的圖象，如圖所示，則兩函數圖象共有5個交點，根據余弦函數的中心對稱性可知，A1和A5，A2和A4，關于A3對稱，所以，+＝+＝2+，∴++++＝5＝5＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了余弦函數的圖象與性質的應用問題，也考查了平面向量的運算和模長計算問題，是中檔題．14．（2023?雙臺子區(qū)校級一模）已知函數f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在區(qū)間上恰有3個零點，則ω的取值范圍是（6，10）．【分析】由題意，利用正弦函數的周期性、零點和最值，分類討論，求得ω的范圍．【解答】解：∵函數f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，∴f（）＝1，∴+φ＝2kπ+，k∈Z，∴φ＝2kπ+﹣，k∈Z．結合φ的范圍，可得k＝0或k＝1．①當k＝0時，φ＝﹣，由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（0，2）．∵y＝f（x）在區(qū)間上恰有3個零點，ωx+φ∈（φ，+φ），∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，即＜≤，即20＜ω≤28．綜合可得，ω∈?．②當k＝1時，φ＝2π+﹣＝﹣，由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（6，10）．∵y＝f（x）在區(qū)間上恰有3個零點，ωx+φ∈（φ，ωπ+φ），∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，即4＜ω≤12．綜合可得，此時，ω∈（6，10）．綜上，結合①②可得，ω∈（6，10），故答案為：（6，10）．【點評】本題主要考查了正弦函數的周期性、零點和最值，屬中檔題．四．解答題（共9小題）15．（2023?和平區(qū)校級一模）已知函數f（x）＝x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．（Ⅰ）若函數f（x）為偶函數，求tanθ的值；（Ⅱ）若f（x）在[﹣，1]上是單調函數，求θ的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據函數奇偶性的定義建立方程關系進行求解即可．（Ⅱ）利用一元二次函數的單調性的性質進行判斷即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函數，∴f（﹣x）＝f（x），則x2+4[sin（θ+）]x﹣2＝x2﹣4[sin（θ+）]x﹣2，則sin（θ+）＝0，∵θ∈[0，2π]，∴θ+＝kπ，即θ＝﹣+kπ，∴tanθ＝tan（﹣+kπ）＝﹣．（Ⅱ）∵f（x）＝x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．∴對稱軸為x＝﹣2sin（θ+），若f（x）在[﹣，1]上是單調函數，則﹣2sin（θ+）≥1或﹣2sin（θ+）≤，即sin（θ+）≥或sin（θ+）≤，即2kπ+≤θ+≤2kπ+，或2kπ+≤θ+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ+≤θ≤2kπ+，或2kπ≤θ≤2kπ+，k∈Z，∵θ∈[0，2π]，∴≤θ≤，或0≤θ≤．【點評】本題主要考查函數奇偶性應用以及三角函數的恒等變換，利用條件轉化為函數問題是解決本題的關鍵．16．（2023?渾南區(qū)一模）已知cos（α﹣）＝﹣，sin（﹣β）＝，且α∈（，π），β∈（0，）．求：（1）cos；（2）tan（α+β）．【分析】（1）利用cos＝cos[（α﹣）﹣（﹣β）]，求出相關的三角函數值即可求解；（2）求出相關角的范圍，利用tan（α+β）＝，求解即可．【解答】解：（1）cos（α﹣）＝﹣，且α∈（，π），β∈（0，）．α﹣∈（），∴sin（α﹣）＝＝．sin（﹣β）＝，且α∈（，π），β∈（0，）．﹣β∈（）．cos（﹣β）＝＝．cos＝cos[（α﹣）﹣（﹣β）]＝＝﹣．（2）α∈（，π），β∈（0，）．α+β∈（），∈（），∵cos＝﹣．∴∈（），sin＝＝，tan＝．tan（α+β）＝＝＝＝．【點評】本題考查二倍角公式的應用，同角三角函數的基本關系式的應用，注意角的范圍，考查計算能力．17．（2023?東莞市校級模擬）已知函數．（1）求f（x）的最小正周期及對稱軸方程；（2）時，g（x）＝af（x）+b的最大值為7，最小值為1，求a，b的值．【分析】（1）使用兩角和差的正余弦公式、二倍角公式、輔助角公式進行化簡后，即可求得最小正周期和對稱軸方程；（2）結合正弦函數的圖象和性質，分別對a＞0和a＜0兩種情況進行討論即可．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝，則f（x）的最小正周期為T＝，令，k∈Z，解得x＝，故f（x）的對稱軸方程為x＝；（2）g（x）＝af（x）+b＝，∵，∴，∴，∴，當a＞0時，g（x）＝af（x）+b的最大值為，最小值為﹣a+b，g（x）＝af（x）+b的最大值為7，最小值為1，則，解得，當a＜0時，g（x）＝af（x）+b的最大值為﹣a+b，最小值為，g（x）＝af（x）+b的最大值為7，最小值為1，則，解得，綜上所述，a＝4，b＝5或a＝﹣4，b＝3．【點評】本題主要考查三角函數的最值，考查轉化能力，屬于中檔題．18．（2023?黑龍江一模）已知函數，其中ω＞0，且函數f（x）的兩個相鄰零點間的距離為，（1）求ω的值及函數f（x）的對稱軸方程；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求△ABC周長的取值范圍．【分析】（1）根據降冪公式、輔助角公式，結合正弦型函數的零點性質、周期公式、對稱軸方程進行求解即可；（2）根據正弦定理、輔助角公式、正弦型函數的單調性進行求解即可．【解答】解：（1），，因為函數f（x）的兩個相鄰零點間的距離為，所以函數f（x）的最小正周期為，因為ω＞0，所以，即，令，解得x＝（k∈Z），故對稱軸為x＝（k∈Z）；（2）由，因為A∈（0，π），所以，因為，所以由正弦定理可知：＝，解得b＝2sinB，c＝2sinC，所以三角形的周長為＝＝＝，因為，所以，因此，所以△ABC周長的取值范圍為．【點評】本題主要考查三角函數中恒等變換的應用，考查轉化能力，屬于中檔題．19．（2023?山西模擬）已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分圖象如圖所示．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的單調遞增區(qū)間；（2）若對任意，都有，求實數t的取值范圍．【分析】（1）由圖象可得f（x）的最小正周期，利用正弦函數的周期公式可求ω的值，由圖知f（）＝﹣2，結合，可求，可得函數解析式，進而利用正弦函數的單調性即可求解；（2）由題意利用三角函數恒等變換的應用可求得，可求范圍，利用正弦函數的性質可得，進而即可解得實數t的取值范圍．【解答】解：（1）由圖象可得f（x）的最小正周期，∴，∵由圖知f（）＝2sin（2×+φ）＝﹣2，∴，k∈Z，解得，k∈Z，又∵，∴，∴，∵令，k∈Z，解得，k∈Z，∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為．（2）∵＝＝＝＝＝，又對任意，都有，可得，∴可得，∵，∴，∴，解得，∴實數t的取值范圍為．【點評】本題考查了正弦函數的周期公式，正弦函數的單調性，三角函數恒等變換的應用，考查了函數思想，屬于中檔題．20．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知將函數的圖像向左平移個單位長度后得到函數g（x）的圖像關于原點中心對稱．（1）求函數f（x）的解析式；（2）若三角形ABC滿足是邊BC上的兩點，且，求三角形ABC面積的取值范圍．【分析】（1）根據題意將函數化簡，利用正弦函數的平移變化得到，結合圖象關于原點中心對稱即可求出函數解析式；（2）結合（1）可得BC＝6，結合題意，建立平面直角坐標系得到點A的軌跡方程為（x﹣9）2+y2＝72，再根據幾何關系即可求解．【解答】解：（1）由已知化簡得，∴，由g（0）＝0得，∴ω＝3k﹣1，k∈Z，又