141用空間向量研究直線平面的位置關系精練（3大題型）

用空間向量研究直線、平面的位置關系【題型1求平面的的法向量】1、（2022秋·北京昌平·高二北京市昌平區(qū)第二中學校考階段練習）若向量，，則平面的一個法向量可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設平面的法向量為，因為向量，，所以，取，得，故選：C.2、（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）空間直角坐標系中，已知點，，，則平面的一個法向量可以是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得：，設平面的法向量為，則，令，則，即.對A：若，由，可得：與不共線，故不是平面的法向量，A錯誤；對B：若，由，可得：與不共線，故不是平面的法向量，B錯誤；對C：若，則，即與共線，故是平面的法向量，C正確；對D：若，由，可得：與不共線，故不是平面的法向量，D錯誤；故選：C.3、（2022秋·安徽阜陽·高二?？茧A段練習）已知平面經過三點，求平面的一個法向量是;【答案】（答案不唯一）【解析】因為，所以，，設平面α的法向量為，則有，即得，令，則，所以平面的一個法向量為.故答案為：（答案不唯一）．4、（2022·高二課時練習）四邊形是直角梯形，，，平面，，，建立適當的空間直角坐標系，并求平面和平面的法向量．

【答案】作圖見解析，是平面的一個法向量，是平面的一個法向量．【解析】因為，平面，平面，所以又，，所以所以以為原點，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以是平面的一個法向量．因為，設平面的一個法向量，則

，取，得，所以是平面的一個法向量．5、（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學?？计谥校┤鐖D，在棱長為3的正方體中，點在棱上，且．以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．求平面的一個法向量.

【答案】（答案不唯一）【解析】因為正方體的棱長為3，，所以，，，則，，設是平面的法向量，則，，所以，取，則，，故，于是是平面的一個法向量（答案不唯一）．【題型2利用空間向量證明平行關系】1、（2023·全國·高二專題練習）已知正方體中，棱長為2a，M是棱的中點.求證：平面.【答案】證明見解析【解析】以點D為原點，分別以?與的方向為x?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.則???????，M是棱的中點得，.設面的一個法向量為，，，則令，則.又，因為平面，所以平面.2、（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.【答案】證明見解析【解析】如圖所示，以點為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，若，則，，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面平面的其中一個法向量為，所以，即，又因為平面，所以平面.3、如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，、分別為、的中點，證明：平面平面.【答案】證明見解析【解析】連接、，，，是等邊三角形，為的中點，，又，為的中點，，又平面平面，平面平面，平面，平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，，則，，，，，，，，，，設是平面的法向量，是平面的法向量，由，得，令，則，，，由，得，令，可得，，，，因此，平面平面.4、（2023春·高二課時練習）在正方體中，分別是的中點，試建立適當的空間直角坐標系，求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】證明:如圖，以為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．設正方體的棱長為1，則有，，，，，，于是，，，，顯然有，，所以，，由，平面，平面，平面，同理平面，平面，，所以平面平面【題型3利用空間向量證明垂直關系】1、（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在直棱柱中，，，分別是，，的中點．求證：；【答案】證明見解析【解析】因為三棱柱是直三棱柱，所以面，又面，故，因為，所以，則兩兩垂直，故以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，故，所以，所以，故.2、（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.（1）證明：AP⊥BC；（2）若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）由題意知AD⊥BC，如圖，以O為坐標原點，以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz.則，可得，∵∴，即AP⊥BC.（2）由（1）可得，∵M是AP上一點，且AM＝3，∴，可得，設平面BMC的法向量為，則，令b＝1，則，即，顯然，故∥，∴AM⊥平面BMC.3、（2022·高二課時練習）已知：如圖，在空間直角坐標系中有長方體，，，，點E是的中點．求證：平面平面．【答案】證明見解析.【解析】由題意知，，因為E是的中點，所以，則，所以，，所以，，即，，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.4、（2023·江蘇·高二專題練習）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【答案】證明見解析【解析】由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為坐標原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，，設平面AA1C1C的法向量為＝(x，y，z)，則，即令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)．設平面AEC1的法向量為＝(a，b，c)，則，即,令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)．因為＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.5、（2022·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面.證明：平面平面.【答案】證明