2024-2025學年新教材高中數(shù)學3函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.2第1課時函數(shù)的表示法課后素養(yǎng)落實含解析新人教A版必修第一冊

課后素養(yǎng)落實(十八)函數(shù)的表示法(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元．若每聽2元，用解析法將y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函數(shù)為()A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})D[題中已給出自變量的取值范圍，x∈{1,2,3,4}，故選D.]2．已知函數(shù)y＝f(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，則f(g(2))的值為()x123f(x)230A．3 B．2C．1 D．0B[由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f(g(2))＝f(1)＝2.]3．小明騎車上學，起先時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事務(wù)吻合得最好的圖象是()C[距學校的距離應(yīng)漸漸減小，由于小明先是勻速運動，故前段是直線段，途中停留時距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故應(yīng)選C.]4．假如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則當x≠0,1時，f(x)等于()A.eq\f(1,x) B．eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x) D．eq\f(1,x)－1B[令eq\f(1,x)＝t，則x＝eq\f(1,t)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，故選B.]5．若f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則fA．3x＋2 B．3x－2C．2x＋3 D．2x－3B[設(shè)f(x)＝ax＋b，由題設(shè)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22a＋b－3a＋b＝5，,20·a＋b－－a＋b＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.))所以選B.]二、填空題6．已知f(2x＋1)＝x2－2x，則f(3)＝________.－1[由2x＋1＝3得x＝1，∴f(3)＝1－2＝－1.]7．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．x456f(x)131x123g(x)454則g(f(5))＝________；f(g(2))＝________.43[由題表可知f(5)＝3，g(3)＝4，∴g(f(5))＝g(3)＝4.又g(2)＝5，f(5)＝3，∴f(g(2))＝f(5)＝3.]8．若一個長方體的高為80cm，長比寬多10cm，則這個長方體的體積y(cm3)與長方體的寬x(cm)之間的表達式是________．y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)[由題意可知，長方體的長為(x＋10)cm，從而長方體的體積y＝80x(x＋10)，x>0.]三、解答題9．畫出二次函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖象，并依據(jù)圖象回答下列問題：(1)比較f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)求函數(shù)f(x)的值域．[解]f(x)＝－(x－1)2＋4的圖象如圖所示：(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)>f(0)>f(3)．(2)由圖象可知二次函數(shù)f(x)的最大值為f(1)＝4，則函數(shù)f(x)的值域為(－∞，4]．10．(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿意2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x(2)已知f(x)為二次函數(shù)，且滿意f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；(3)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋1，求f(x)的解析式．[解](1)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因為f(x)為二次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.又因為f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.(3)因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋3，所以f(x)＝x2＋3.1．(多選)已知f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，則f(x)滿意的關(guān)系有()A．f(－x)＝f(x) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝f(x) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝－f(x)ABD[f(－x)＝eq\f(1＋－x2,1－－x2)＝eq\f(1＋x2,1－x2)＝f(x)，故A正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，故B正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2)＝eq\f(1＋\f(1,x2),1－\f(1,x2))＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，故D正確，故選ABD.]2．(多選)已知f(2x－1)＝4x2，則下列結(jié)論正確的是()A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2BD[令t＝2x－1，則x＝eq\f(t＋1,2)，∴f(t)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t＋1,2)))2＝(t＋1)2.∴f(3)＝16，f(－3)＝4，f(x)＝(x＋1)2.]3．已知f(x＋1)＝2x2＋1，則f(x－1)＝________.2(x－2)2＋1[∵f(x＋1)＝2x2＋1，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，∴f(x－1)＝2(x－2)2＋1.]4．已知正方形的周長為x，它的外接圓的半徑為y，則y關(guān)于x的表達式為________，自變量x滿意的條件是________．y＝eq\f(\r(2),8)x{x|x>0}[由題意可知正方形的邊長為eq\f(x,4).∴eq\f(\r(2)x,4)＝2y，即y＝eq\f(\r(2),8)x，其中x>0.]已知函數(shù)f(x)對隨意實數(shù)a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．(1)求f(0)與f(1)的值；(2)求證：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)；(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均為常數(shù))，求f(36)的值．[解](1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令a＝1，b＝0，得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.(2)證明：令a＝eq\f(1,x)，b＝x，得f(1)＝feq\b\