廣東省佛山市順德區(qū)普通高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一 含解析

2024學(xué)年順德區(qū)普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題2024.11本試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必填寫(xiě)答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.請(qǐng)考生保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，最后再計(jì)算其模.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：A3.“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】由可得，由可得，由可得，所以由“，”推得出“”，故充分性成立；由“”推不出“，”，如，，滿(mǎn)足，但是，故必要性不成立；所以“，”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知單位向量，滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.向量在向量上的投影向量為 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可求出，從而判斷A，再根據(jù)判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷C，計(jì)算，即可判斷D.【詳解】單位向量，滿(mǎn)足，則，所以，所以，又，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以向量在向量上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.

故選：D5.函數(shù)是（）A.偶函數(shù)，且最小值為－2 B.偶函數(shù)，且最大值為2C.周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D.非周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判定方式以及函數(shù)的最值判斷A，B；根據(jù)周期性判斷，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C，D.【詳解】定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，所以為偶函數(shù)，又，令，，，當(dāng)時(shí)，即，有最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值，最大值為2，故A錯(cuò)誤，故B正確；因?yàn)?，所以為周期函?shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上先減后增，在上單調(diào)遞增；故C，D錯(cuò)誤，故選：B.6.印度數(shù)學(xué)家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴風(fēng)雨，他看到路邊寫(xiě)有3025的一塊牌子被劈成了兩半，一半上寫(xiě)著30，另一半上寫(xiě)著25.這時(shí)，他發(fā)現(xiàn)，，即將劈成兩半的數(shù)加起來(lái)，再平方，正好是原來(lái)的數(shù)字.數(shù)學(xué)家將3025等符合上述規(guī)律的數(shù)字稱(chēng)之為雷劈數(shù)（或卡普列加數(shù)）.則在下列數(shù)組：92，81，52，40，21，14中隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，其中恰有一個(gè)數(shù)是雷劈數(shù)的概率是（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】找出這6個(gè)數(shù)中的雷劈數(shù)，結(jié)合組合數(shù)公式求相應(yīng)的概率.【詳解】因?yàn)?，所以是雷劈?shù).其余的不是雷劈數(shù).記：“從6個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，其中恰有一個(gè)數(shù)是雷劈數(shù)”為事件，則.故選：C7.已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分段求函數(shù)值域，根據(jù)原函數(shù)值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，所以；因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，結(jié)合得.若，則的值域?yàn)?；若，在上，函?shù)單調(diào)遞減，所以（）；在上，函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，所以；所以函數(shù)的值域不可能為；若，則函數(shù)在上，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（）；在上，函數(shù)單調(diào)遞增，，此時(shí)函數(shù)的值域不可能為.綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?故選：D8.記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，已知，若，則的最小值是（）A.999 B.1000 C.1001 D.1002【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積滿(mǎn)足，可求得是等差數(shù)列，并求得的通項(xiàng)，進(jìn)而得到的通項(xiàng)，再由，即可求得正整數(shù)的最小值.【詳解】∵為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，，∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，又，∴，即，∴是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，且.由，得若，則，∴所以，正整數(shù)的最小值為1001.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：；乙組數(shù)據(jù)為：，若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 B.乙組數(shù)據(jù)的極差為C.乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為 D.乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)及百分位數(shù)的定義判斷即可.【詳解】不妨設(shè)甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，則乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，則，又，所以，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；乙組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故C正確；乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.在三棱臺(tái)中，側(cè)面是等腰梯形且與底面垂直，，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.三棱臺(tái)的體積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)面面垂直證明線面垂直，再證線線垂直，可判斷A的真假；根據(jù)兩個(gè)同高的三棱錐的體積之比等于它們的底面積之比，可判斷BC的真假；根據(jù)臺(tái)體的體積公式求出臺(tái)體體積，判斷D的真假.【詳解】如圖：對(duì)于A：在中，,，所以，即.由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，且∽，所?又三棱錐和的高相同，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槿馀_(tái)的高為1，所以三棱臺(tái)的體積為：，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，即可判斷.【詳解】對(duì)A：令，則；令，則.所以，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，兩邊求?dǎo)，得即；因數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，故成立，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，所以，未?，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)?，令，則，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，的定義域均為，且，則：（1）若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù).反之也成立.（2）若為周期函數(shù)，則也是周期函數(shù)，且周期相同，反之未必成立.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則=_____________．【答案】【解析】【分析】由已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系，求得，進(jìn)而可得解.【詳解】聯(lián)立，得，因此．故答案為：13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】由已知及是等邊三角形即可求得：,，利用橢圓定義列方程可得：，整理得：，問(wèn)題得解．【詳解】如圖，依據(jù)題意作出圖形，由題可得：，又為等邊三角形，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得：，又計(jì)算可得：,由橢圓定義可得：整理得：所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，還考查了三角形中的邊、角計(jì)算，還考查了橢圓的定義應(yīng)用，考查方程思想及計(jì)算能力，屬于中檔題．14.現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學(xué)，各自寫(xiě)了一封信，然后都投到同一個(gè)郵箱里.若甲、乙、丙3位同學(xué)分別從郵箱里隨機(jī)抽取一封信，則這3位同學(xué)抽到的都不是自己寫(xiě)的信的不同取法種數(shù)是__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】設(shè)甲、乙、丙位同學(xué)的信件分別為、、，對(duì)、、取到的個(gè)數(shù)分四種情況討論，按照分類(lèi)、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】設(shè)甲、乙、丙位同學(xué)的信件分別為、、，若、、都沒(méi)有取到，則有種不同的取法；若、、取到一個(gè)，則有種不同的取法；若、、取到兩個(gè)，則有種不同的取法；若、、取到三個(gè)，則有種不同的取法；綜上可得一共有種不同的取法.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，滿(mǎn)分77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，.（1）求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到，從而得到，再由面積公式計(jì)算可得；（2）由余弦定理得到，從而得到，再由正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理可得，所以，所以；小?wèn)2詳解】因?yàn)?，又，，所以，所以，則，由正弦定理可得，又，所以，顯然，所以，則，又，所以.16.如圖，四棱錐底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，即可得到，設(shè)到平面的距離為，根據(jù)錐體的體積公式求出，即可得到平面，從而得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，又四棱錐的底面是正方形，所以，設(shè)到平面的距離為，則，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面；【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，即，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）求出，再求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線的斜率，從而求出切線方程；（2）由（1）可得，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由，可得必有一個(gè)零點(diǎn)為，再結(jié)合（2）討論可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，，則，所以函數(shù)在處的切線方程為；【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋赜幸粋€(gè)零點(diǎn)為，由（1）可得，當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，當(dāng)時(shí)，則，，，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，（不妨令），且，，即，滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在不存在零點(diǎn)，且一個(gè)零點(diǎn)為，則另一零點(diǎn)不可能大于，此時(shí)不滿(mǎn)足，故舍去；綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.密室逃脫是當(dāng)下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.（1）在某個(gè)游戲環(huán)節(jié)中，需隨機(jī)選擇兩名玩家進(jìn)行對(duì)抗，若是同級(jí)的玩家對(duì)抗，雙方獲勝的概率均為；若是資深玩家與新手玩家對(duì)抗，新手玩家獲勝的概率為，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率；（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號(hào)分別為①和②.密室①有2個(gè)門(mén)，密室②有3個(gè)門(mén)（每個(gè)門(mén)都可以雙向開(kāi)），甲在每個(gè)密室隨機(jī)選擇1個(gè)門(mén)出去，若走出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號(hào)為，求的分布列.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求出7人中隨機(jī)選擇2人的情況數(shù)和包含甲的情況數(shù)，分析得到6種情況中，甲和資深玩家對(duì)抗的情況有3種，和同級(jí)的玩家對(duì)抗情況有3種，分兩種情況，求出甲獲勝的概率，相加即可；（2）設(shè)為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，為甲在密室②，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，分析得到兩個(gè)方程，求出，從而得到和，得到分布列.【小問(wèn)1詳解】7人中隨機(jī)選擇2人，共有種情況，其中含甲的情況有種，6種情況中，甲和資深玩家對(duì)抗的情況有3種，和同級(jí)的玩家對(duì)抗情況有3種，則甲和資深玩家對(duì)抗并獲勝的概率為，和同級(jí)的玩家對(duì)抗并獲勝的概率為，故在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，為甲在密室②，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，考慮，需考慮甲直接從號(hào)門(mén)走出密室或者進(jìn)入密室②且最終從密室①走出密室，故①，考慮，則甲從號(hào)門(mén)進(jìn)行密室①，且從密室①走出密室，故②，聯(lián)立①②，可得，所以，故，故分布列如下：1219.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，（i）當(dāng)，時(shí)，求證：；（ii）求.【答案】（1）（2）（i）