福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）命題人:漳平一中葉建誼連城一中陳益興上杭一中賴偉英一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)兩集合，再求即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以或，所?故選：B2.命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】存在性命題為假等價(jià)于“”為真，應(yīng)用參變分離求解即可.【詳解】解：因?yàn)槊}“”為假命題等價(jià)于“”為真命題，所以，所以只需.設(shè)，則在上單增，所以.所以，即.故選：A3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的值為（）A.64 B.14 C.10 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，從而求得.【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可知：，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”可知：，所以.故選：C.4.已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】由解出a，代入，進(jìn)行適當(dāng)變形，應(yīng)用基本不等式求最小值即可.【詳解】解：因正數(shù)a，b滿足，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：D5.人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義余弦相似度為，余弦距離為.已知點(diǎn)，若P，Q的余弦距離為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，根據(jù)所給定義可得，再由二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以，，，所以，則，的余弦距離為，所以，所以.故選：D6.已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與不等式的性質(zhì)，分析出成立的充要條件，進(jìn)而判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，成立時(shí)，有，結(jié)合，得，即qn?1q2①當(dāng)時(shí)，可得，所以，即；②當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，，可得，所以，為奇數(shù)時(shí)，，可得，所以，因此不存在滿足成立，綜上所述，成立的充要條件是，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】問題等價(jià)于在單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的等價(jià)條件求解即可.【詳解】解：設(shè).由對(duì)任意，都有，即，也就是，所以在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，又因?yàn)?，所以，所以只需即可，所以或，所?在單調(diào)遞增，還應(yīng)該滿足，即或，又因?yàn)?，所?故選：A8.已知，定義運(yùn)算@:，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若，設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則的最小值為（）A. B. C.e D.2e【答案】B【解析】【分析】對(duì)目標(biāo)不等式進(jìn)行同構(gòu)轉(zhuǎn)化，得到“”.再構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，得到，再分離參數(shù)得到恒成立，只需即可，進(jìn)而求出的最小值.【詳解】解：因?yàn)樗?，即，所以，即?duì)任意，恒成立.設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以對(duì)任意，恒成立.所以對(duì)任意，恒成立.即恒成立.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，.所以對(duì)任意，恒成立，只需即可.故的最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題對(duì)目標(biāo)不等式進(jìn)行同構(gòu)轉(zhuǎn)化，得到“”是解題的關(guān)鍵.再構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，使問題迎刃而解.二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求差向量的模；應(yīng)用兩向量垂直等價(jià)于數(shù)量積為0化簡(jiǎn)；應(yīng)用向量平行的條件求解；應(yīng)用坐標(biāo)形式求投影向量即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，且，所以，即，故B正確；因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意都有，且，，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. D.為偶函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、周期性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】∵，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤；∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，∴，則，即，∴函數(shù)的周期為8，則，故C正確；∵，所以為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.是以為周期的函數(shù)B.存在無窮多個(gè)零點(diǎn)C.的值域?yàn)镈.至少存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)即可判斷A,根據(jù)周期，考慮在區(qū)間上的正負(fù)，分別考率和，即可判斷在上無零點(diǎn)，可判斷BC，結(jié)合函數(shù)的周期性，分別考慮即可求解D.【詳解】對(duì)于A,，則是以為周期的函數(shù)，故A正確.對(duì)于B，C，因?yàn)榈闹芷跒?，所以只需研究在區(qū)間上的正負(fù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且，所以在上恒成?當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有最大值1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為.綜上所述，在上的取值均大于沒有零點(diǎn).故在上沒有實(shí)數(shù)根，即在上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，C正確.對(duì)于D，由，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)為偶函數(shù).由是的周期，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).綜上所述，當(dāng)時(shí)，至少存在這三個(gè)值，使得為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，，得在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，利用換元法得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)滿足，則_____________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法的法則計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，∴.故答案為：.13.已知函數(shù).曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則____________【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，結(jié)合切點(diǎn)，切線方程即可求出參數(shù)，；【詳解】由于，故，，，，，解得，．，故答案：14.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足，則______.（其中表示不超過的最大整數(shù)）【答案】88【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系可得，即可得，利用放縮法可得，結(jié)合裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，又當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，所以，即.故當(dāng)時(shí)，①，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，由①可得，S>1+2×(3?2+所以.故答案為：88四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;（2）將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）應(yīng)用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為的形式，利用公式法求最小正周期，利用整體代換求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）結(jié)合圖象變換規(guī)律求出解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值與最小值.【小問1詳解】解：依題意得，所以的最小正周期為令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】解：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.令，由，可得.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為，最小值為.16.已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.（1）求an和bn（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系求出，利用等差數(shù)列的基本量求解；（2）可分組求和，分別依據(jù)等差數(shù)列求和與錯(cuò)位相減求和.【小問1詳解】解：因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，又，所以.當(dāng)時(shí)，，②①式減去②式得，所以.又，所以，所以an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，因?yàn)?，可得，解得，所以，即bn的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解：因可得則數(shù)列的前2n項(xiàng)和，令，，則，所以，，.17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.（1）求角;（2）如圖，已知為平面內(nèi)一點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）（2）最大值為【解析】【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角恒等變換求解；（2）利用余弦定理及基本不等式求最值即可.【小問1詳解】，由正弦定理可得.因?yàn)椋?，則，且，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，則，可得，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又，所以由余弦定理可得，所以，?因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，所以.在中，由余弦定理可得，所以，所以.由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值，最大值為18.已知函數(shù).（1）求fx的單調(diào)區(qū)間（2）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分情況討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況及函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)題意可得，分別求最大值即可得不等式，解不等式即可求解.【小問1詳解】由，，得.令，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因?yàn)閷?duì)任意，均存在，使得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為0.由（1）得，當(dāng)時(shí)，在]上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得，即.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值.設(shè)，則，單調(diào)遞增，所以s(a)≥s12=ln綜上所述，的取值范圍為.19.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第層球數(shù)比第層球數(shù)多，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an.（1）求數(shù)列an（2）求的最小值；（3）若數(shù)列bn滿足，對(duì)于，證明：.【答案】（1）；（2）0；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1