數(shù)學素材：冪函數(shù)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥思考與討論(1）解：①定義域為R，圖象都經(jīng)過（－1,1），（0，0)，(1,1)三點；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù);③函數(shù)在(－∞,0］上為減函數(shù)，在[0，＋∞）上為增函數(shù)．（2）解：①定義域、值域為R,圖象都過（－1,－1），（0，0)，(1,1)三點；②函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,即函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)在R上單調(diào)遞增．（3)解：無論α＞1還是0＜α＜1，函數(shù)y＝xα在[0，＋∞)上的圖象都是單調(diào)遞增的,但前者比后者在[0，1]上增得慢，在(1，＋∞)上增得快．習題3－3A1．（1)解:圖象如圖①所示．（2)圖象如圖②所示．由圖象可以得出：①冪函數(shù)圖象都經(jīng)過(1，1)點．②當y＝xα中α＞0時，在第一象限內(nèi)，圖象上升;當α＜0時，在第一象限內(nèi)，圖象下降．2．解:（1）函數(shù)f(x)＝x2＋x－2的定義域為{x∈R｜x≠0}，它是偶函數(shù)；(2）函數(shù)f（x）＝x＋的定義域為R,它是非奇非偶函數(shù)；(3）函數(shù)f(x)＝2x＋的定義域為R,它是奇函數(shù);（4）函數(shù)f（x）＝2x－4＋的定義域為(0，＋∞）,它是非奇非偶函數(shù)．3．解：函數(shù)的圖象如圖所示．其性質(zhì)如下:定義域為R，值域為R，奇函數(shù)，在R上為增函數(shù),過點（0，0），(1,1)和（－1，－1)．4．解：函數(shù)y＝(x＋2)－2的定義域為{x∈R|x≠－2｝，單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－2）,單調(diào)減區(qū)間為(－2,＋∞）．習題3－3B1．解：（1)冪函數(shù)在（0，＋∞）上為增函數(shù)，又2。3＜2.4,所以；（2）冪函數(shù)在（0，＋∞)上為增函數(shù)，又0.31＜0。35，所以;(3）冪函數(shù)，在（0，＋∞)上為減函數(shù)，又eq\r（2)＜eq\r(3）,所以；（4）冪函數(shù)在(0,＋∞)上為減函數(shù)，又1.1＞0.9，∴。2．解:函數(shù)的圖象如圖所示.x0eq\f（1,2）123…y00。3512.835。20…定義域：[0，＋∞）．值域：[0，＋∞）．單調(diào)性：在[0，＋∞）上為增函數(shù)，圖象過點（0，0)和（1,1）．證明：設(shè)x1＜x2∈[0，＋∞）,則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝y(tǒng)2－y1＝＝eq\f（x\o\al(3,2)－x\o\al(3,1)，\r(x\o\al（3,2））＋\r(x\o\al(3,1）））＝eq\f（Δx(x\o\al（2,2)＋x1x2＋x\o\al(2,1)）,(\r（x2））3＋（\r（x1))3)＝eq\f(Δx\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(x1,2）))2＋\f（3，4)x\o\al(2,1））)，(\r(x2））3＋（\r(x1）)3）?！擀＞0,（eq\r（x2）)3＋(eq\r(x1）)3＞0，eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2＋\f（x1，2））)2＋eq\f(3,4)xeq\o\al(2，1)＞0，∴Δy＞0。∴函數(shù)在[0，＋∞)上為增函數(shù)．奇函數(shù)：非奇非偶函數(shù)．∵定義域不關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．3．解：函數(shù)y＝x－2和函數(shù)y＝（x－3)－2的圖象如圖．由圖(1)可知，函數(shù)y＝x－2的定義域為｛x|x∈R且x≠0｝;單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0),單調(diào)減區(qū)間為（0,＋∞）；由圖（2)可知，函數(shù)y＝（x－3）－2的定義域為｛x｜x∈R且x≠3};單調(diào)增區(qū)間為(－∞，3)，單調(diào)減區(qū)間為（3，＋∞)．4．解：(1)在同一坐標系中畫出y＝eq\r（x)和y＝x－1的圖象，如圖．由圖象可知，兩圖象的交點坐標約為（2。6,1。6），所以方程eq\r(x）＝x－1的解為x≈2。