32函數(shù)與方程不等式之間的關系-2022-2023學年高一數(shù)學知識梳理考點(人教B版2019)

第三章函數(shù)3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關系知識梳理1.函數(shù)的零點一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點．函數(shù)的零點方程的根函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標兩函數(shù)交點的橫坐標2．二次函數(shù)的零點及其與對應方程、不等式解集之間的關系一般地，由一元二次方程解集的情況可知，對于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：（1）當Δ＝b2－4ac＞0時，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有兩個元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的兩個零點，f(x)的圖像與x軸有兩個公共點(x1，0)，(x2，0)；（2）當Δ＝b2－4ac＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一個元素x0，且x0是f(x)唯一的零點，f(x)的圖像與x軸有一個公共點；（3）當Δ＝b2－4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，此時f(x)無零點，f(x)的圖像與x軸沒有公共點．3.零點存在性定理（判定函數(shù)零點的）如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根。注意：=1\*GB3①不滿足的函數(shù)也可能有零點.=2\*GB3②若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)曲線，則是在區(qū)間內有零點的充分不必要條件.4.用二分法求函數(shù)零點近似值在函數(shù)零點存在定理的條件滿足時，即f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，且f(a)·f(b)＜0，給定近似的精確度ε，可用二分法求零點x0的近似值x1，常見考點考點一求函數(shù)的零點典例1．函數(shù)的零點為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】【分析】令，求出方程的解，即可得到函數(shù)的零點.【詳解】解：令，即，解得，所以函數(shù)的零點為；故選：D變式11．二次函數(shù)的零點是（

）A．， B．，1C．， D．，【答案】A【解析】【分析】函數(shù)的零點轉化為方程的根，求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)的零點就是的解，解得，或，故選：A．變式12．函數(shù)f（x）＝﹣x2+5x﹣6的零點是（）A．（﹣2，3） B．2，3 C．（2，3） D．﹣2，﹣3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點的概念，令求出的值即為答案.【詳解】解：由﹣x2+5x﹣6＝0得x＝2或x＝3．所以函數(shù)的零點為2或3．故選：B．變式13．函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令即得解.【詳解】令.所以函數(shù)的零點是.故選：B考點二判斷函數(shù)零點的個數(shù)典例2．函數(shù)在區(qū)間(1，3)內的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】先證明函數(shù)的單調遞增，再證明，即得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間(1，3)內都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間(1，3)內都是增函數(shù)，又所以，所以函數(shù)在區(qū)間(1，3)內的零點個數(shù)是1.故選B【點睛】本題主要考查零點定理，考查函數(shù)單調性的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.變式21．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】將函數(shù)的零點問題轉化為方程的解的問題，通過對方程求解，得出函數(shù)的零點.【詳解】當時，令，解得或（舍）；當時，令，解得或（舍）∴或為函數(shù)的零點，則函數(shù)有個零點.故選：B.變式22．方程在內實根的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【詳解】試題分析：令，由得或；由得；又f（0）=7＞0，f（2）=1＜0，∴方程在（0，2）內有且只有一實根．故選B．考點：函數(shù)的零點．變式23．已知函數(shù)，則函數(shù)零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】當時和時，分別化簡函數(shù)的解析式可直接判斷零點的個數(shù).【詳解】當時，，所以不存在零點；當時，，也不存在零點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為0.故選：A.考點三判斷零點所在區(qū)間典例3．已知函數(shù)的零點所在區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分別驗證選項中區(qū)間端點處的符號，由零點存在定理可得結果.【詳解】當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；由零點存在定理可知：單調遞增函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：B.變式31．函數(shù)的零點所在區(qū)間為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點存在性定理即可判斷求解.【詳解】∵f(x)定義域為R，且f(x)在R上單調遞增，又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，∴f(x)在(1，2)上存在唯一零點.故選：B.變式32．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)解析式判斷單調性，再應用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間.【詳解】因為在R上單調遞減，且，所以的零點所在區(qū)間為．故選：A變式33．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)零點存在定理說明．【詳解】解：因為，所以，故選：C.【點睛】本題考查零點存在定理，屬于基礎題．考點四根據(jù)函數(shù)零的個數(shù)求參數(shù)的范圍典例4．如果二次函數(shù)有兩個不同的零點，那么的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】首先根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】因為二次函數(shù)有兩個不同的零點，所以，解得或.故選：C【點睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，屬于簡單題.變式41．已知二次函數(shù)在上有且只有一個零點,則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題可知：本題可以轉化為方程在上有唯一實根問題.利用一元二次方程的判別式以及二次函數(shù)的相關知識分類討論,可以求出實數(shù)的取值范圍【詳解】當方程在上有兩個相等的實數(shù)根時，有，此時無解.當方程有兩個不相等的實數(shù)根時,分下列三種情況討論:①有且只有一根在上時,有,即,解得.②當時,,方程化為，解得，,滿足題意；③當時,,方程可化為解得,,滿足題意.綜上所述:實數(shù)m的取值范為.故選D.【點睛】本題考查了已知二次函數(shù)在閉區(qū)間有唯一零點求參數(shù)取值范圍問題,考查了分類討論思想.變式42．函數(shù)f(x)＝|x|－k有兩個零點，則()A．k＝0 B．k>0C．0≤k<1 D．k<0【答案】B【解析】【分析】令，變?yōu)椋嫵龊偷膱D像，有兩個交點的地方即是的取值范圍.【詳解】令，變?yōu)?，畫出和的圖像如下圖所示，由圖可知可以取任何的正數(shù)，故選B.【點睛】本小題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷.將原來一個函數(shù)，變?yōu)閮蓚€函數(shù)，然后分別畫出兩個函數(shù)的圖像，有兩個交點的地方即原函數(shù)有兩個零點.屬于基礎題.變式43．已知函數(shù)若函數(shù)有2個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的性質畫出函數(shù)圖像，將問題化為與有2個交點，數(shù)形結合求的范圍.【詳解】由題意，與有2個交點，當時，遞增且值域為；當時，在上遞減，上遞增且值域為；所以的圖像如下：由圖知：時，有2個零點.故選：A考點五二分法求零點近似值典例5．下面關于二分法的敘述，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值B．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位C．二分法無規(guī)律可循D．只有在求函數(shù)零點時才用二分法【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二分法的概念對進行判斷,可以排除,從而選B.【詳解】只有函數(shù)的圖象在零點附近是連續(xù)不斷且在該零點左右兩側函數(shù)值異號，オ可以用二分法求函數(shù)的零點的近似值，故A錯；二分法有規(guī)律可循，可以通過計算機來進行，故C錯；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯.故選B.【點睛】本題考查了二分法的概念,屬于基礎題.變式51．下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)能用二分法求函數(shù)零點的條件進行判斷可知.【詳解】只有的圖象是連續(xù)不斷的，且在零點左右兩側函數(shù)值異號，オ能利用二分法求零點，選項C中恒成立.因此不能用二分法求零點.故選C.【點睛】本題考查了二分法求函數(shù)零點的條件,屬于基礎題.變式52．下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)用二分法求函數(shù)零點的條件逐個分析判斷可得.【詳解】在A和D中，函數(shù)雖有零點，但在零點左右兩側函數(shù)值同號，因此它們都不能用二分法求零點；在B中，函數(shù)無零點；在C中，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且圖象與x軸有交點并且其零點左右兩側函數(shù)值異號，所以C中的函數(shù)能用二分法求零點.故選C【點睛】本題考查了用二分法求函數(shù)零點的條件,屬于基礎題.變式53．用二分法研究的零點時，第一次經(jīng)過計算，，可得其中一個零點________，第二次計算________，以上橫線應填的內容分別是（

）A．； B．；C．； D．；【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二分法思想分析可得.【詳解】的圖像在上連續(xù)并且，，可得其中一個零點，使得.根據(jù)二分法思想可知在第二次計算時，應計算，故選A.【點睛】本題考查了二分法求函數(shù)零點的步驟,屬于基礎題.鞏固練習練習一求函數(shù)的零點1．函數(shù)零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接求出函數(shù)的零點即可求解.【詳解】令可得，因為，所以函數(shù)零點所在的區(qū)間是，故選：A.2．函數(shù)的零點是（

）A．，1 B． C．，1 D．【答案】A【解析】【分析】令函數(shù)值為0，解方程，即可得出結論．【詳解】令，解得或函數(shù)的零點為故選：．3．函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，解方程求得結果.【詳解】由得：，解得：，的零點是.故選：A.【點睛】易錯點睛：函數(shù)零點指的是函數(shù)與軸交點的橫坐標，不可寫成點的坐標的形式.4．函數(shù)零點是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【解析】解方程，即可得出函數(shù)的零點.【詳解】解方程，即，解得或.因此，函數(shù)的零點是和.故選：B.練習二判斷函數(shù)零點的個數(shù)5．方程|x|－＝0(a>0)的零點有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．至少1個【答案】A【解析】【分析】轉化成函數(shù)的交點問題即可.【詳解】令，作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，從圖象可以看出，交點只有1個.故選：A6．函數(shù)的零點的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】將原問題轉化為函數(shù)交點個數(shù)的問題，繪制函數(shù)圖像確定其個數(shù)即可.【詳解】令可得，則原問題等價于考查函數(shù)與的交點的個數(shù)，繪制函數(shù)圖像如圖所示，觀察可得，交點的個數(shù)為2個，即零點個數(shù)為2.故選：C7．方程的解的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】將題意轉化為的圖象與的圖象交點的個數(shù)即可得結果.【詳解】∵，∴.而的圖象如圖，∴的圖象與的圖象總有兩個交點，即方程的解的個數(shù)是2，故選：B.【點睛】本題主要考查了方程根的問題，利用數(shù)形結合思想是解題的關鍵，屬于基礎題.8．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)零點轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出即可．【詳解】本題考查函數(shù)零點個數(shù)的判定，屬于基礎題．函數(shù)的零點個數(shù)即為與的交點個數(shù)在同一坐標系內作出兩函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知與有2個交點，即函數(shù)的零點有兩個．故選：B【點睛】本題主要考查了求函數(shù)零點的個數(shù)，屬于基礎題.練習三判斷零點所在區(qū)間9．已知方程僅有一個正零點，則此零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)根的存在性定理對選項判斷即可．【詳解】設，因為，，所以根據(jù)根的存在性定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，故A選項正確；而，，，所以和，不能根據(jù)根的存在性定理判斷，故B、C、D不正確．故選：A10．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)零點存在定理判斷．【詳解】，，，所以零點在上．故選：D．11．方程的根所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】計算各個區(qū)間的端點的函數(shù)值，根據(jù)零點存在性定理可得結果.【詳解】設，因為，。，，，因為，所以根據(jù)零點存在性定理可得函數(shù)在區(qū)間內存在零點，所以方程的根所在的區(qū)間為.故選：B12．下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，結合零點的存在定理，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，可得，由零點的存在性定理，可得函數(shù)一定存在零點的區(qū)間是.故選：B.練習四根據(jù)函數(shù)零的個數(shù)求參數(shù)的范圍13．函數(shù)．若在內恰有一個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題知為一次函數(shù)，進而根據(jù)零點存在性定理得，再解不等式即可.【詳解】解：當時，函數(shù)為常函數(shù)，沒有零點，不滿足題意，所以為一次函數(shù)，因為在內恰有一個零點，所以，即，解得或.故的取值范圍是.故選：C14．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】將方程有兩個不等的實根轉化為函數(shù)與的圖象有兩個交點，作出圖象，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想即可得出結果.【詳解】方程恰有兩個不等的實根，等價于與的圖象有兩個交點，的圖象如圖所示，平移水平直線可得，故選：B.15．已知函數(shù)若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】畫出的圖象，根據(jù)圖象與有兩個交點來求得的取值范圍.【詳解】當時，，所以函數(shù)在上單調遞減.，.令，得.作出函數(shù)、的大致圖象如圖所示，觀察可知，.故選：D16．函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】令，根據(jù)圖象交點有兩個即可求解參數(shù)．【詳解】由得令，如圖所示：當時，即，有兩個根；當時，即，有兩個根；所以或時，函數(shù)有兩個不同的零點．故選：D練習五二分法求零點近似值17．關于用二分法求函數(shù)零點的近似值，下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)只要有零點，就能用二分法求出其近似值B．零點是整數(shù)的函數(shù)不能用二分法求出其近似值C．多個零點的函數(shù)，不能用二分法求零點的近似解D．一個單調函數(shù)如果有零點，就能用二分法求出其近似值【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二分法求函數(shù)零點的原理依次判斷即可得答案.【詳解】解：根據(jù)二分法求函數(shù)零點的原理，當零點左右兩側的函數(shù)值必須異號才可以求解，故A選項錯誤；對于B選項，二分法求函數(shù)零點與函數(shù)零點的特征沒有關系，故B選項錯誤