2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理五組合數(shù)的綜合應(yīng)用課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE五組合數(shù)的綜合應(yīng)用(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A,B,C三個(gè)班級(jí)中,要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人,則甲被分到A班的分法種數(shù)為()A.6B.12C.24D.36【解析】選B.甲和另一個(gè)人一起分到A班有QUOTE=6種分法,甲一個(gè)人分到A班的方法有:QUOTE=6種分法,共有12種分法.【發(fā)散·拓】解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”“辨別”“分類”“分步”的角度入手.(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論,哪些是“對(duì)象”,哪些是“位置”.(2)“辨別”就是辨別是排列還是組合,對(duì)某些對(duì)象的位置有、無限制等.(3)“分類”就是將較困難的應(yīng)用題中的對(duì)象分成相互排斥的幾類,然后逐類解決.(4)“分步”就是把問題化成幾個(gè)相互聯(lián)系的步驟,而每一步都是簡潔的排列、組合問題,然后逐步解決.2.某密碼鎖共設(shè)四個(gè)數(shù)位,每個(gè)數(shù)位的數(shù)字都可以是1,2,3,4中的任一個(gè).現(xiàn)密碼破譯者得知:甲所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有三個(gè)相同;乙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有兩個(gè)相同,另兩個(gè)也相同;丙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有兩個(gè)相同;丁所設(shè)的四個(gè)數(shù)字互不相同.則上述四人所設(shè)密碼最平安的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選C.甲共有QUOTE=48種不同設(shè)法,乙共有QUOTE=36,丙共有QUOTE=144,丁共有QUOTE=24,所以丙最平安.3.設(shè)集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿意條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為()A.60 B.90 C.120 D.130【解題指南】題設(shè)條件1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3意味著x1,x2,x3,x4,x5有4個(gè),3個(gè),2個(gè)元素為0.【解析】選D.集合A中元素為有序數(shù)組(x1,x2,x3,x4,x5),題中要求有序數(shù)組的5個(gè)數(shù)中僅1個(gè)數(shù)為±1、僅2個(gè)數(shù)為±1或僅3個(gè)數(shù)為±1,所以共有QUOTE×2+QUOTE×2×2+QUOTE×2×2×2=130個(gè)不同數(shù)組.4.在同一個(gè)袋子中含有不同標(biāo)號(hào)的紅、黑兩種顏色的小球共有8粒,從紅球中選取2粒,從黑球中選取1粒,共有30種不同的選法,其中黑球至多有()A.2粒B.4粒C.3粒D.5?！窘馕觥窟xC.設(shè)黑球有x粒,則紅球有(8-x)粒,則QUOTE=30,由于0<x<7,x∈N*,所以簡潔檢驗(yàn),當(dāng)x=2,3時(shí),等式QUOTE=30成立.【類題·通】(1)組合問題的常見題型有“必選問題”“不選問題”“恰選問題”“至多問題”“至少問題”“既有……,又有……問題”,在解題時(shí)應(yīng)加以區(qū)分,正確解答.(2)“至多問題”“至少問題”“既有……,又有……問題”一般都有干脆法和間接法兩種做法,應(yīng)依據(jù)詳細(xì)狀況進(jìn)行選擇.二、填空題(每小題5分,共10分)5.直角坐標(biāo)平面xOy上,平行直線x=n(n=0,1,2,…,5)與平行直線y=n(n=0,1,2,…,5)組成的圖形中,矩形共有________個(gè).

【解析】在垂直于x軸的6條直線中任取2條,在垂直于y軸的6條直線中任取2條,四條直線相交得出一個(gè)矩形,所以矩形總數(shù)為QUOTE=15×15=225(個(gè)).答案:2256.現(xiàn)支配甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參與廈門市華僑博物院志愿者服務(wù)活動(dòng),每人從事禮儀、導(dǎo)游、翻譯、講解四項(xiàng)工作之一,每項(xiàng)工作至少有一人參與.甲、乙不會(huì)導(dǎo)游但能從事其他三項(xiàng)工作,丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作,則不同支配方案的種數(shù)是________.(用數(shù)字作答)

【解析】依據(jù)題意,分狀況探討,①甲乙一起參與除了導(dǎo)游的三項(xiàng)工作之一:QUOTE×QUOTE=18種;②甲乙不同時(shí)參與一項(xiàng)工作,進(jìn)而又分為2種小狀況:(1)丙、丁、戊三人中有兩人擔(dān)當(dāng)同一份工作,有QUOTE×QUOTE×QUOTE=3×2×3×2=36種;(2)甲或乙與丙、丁、戊三人中的一人擔(dān)當(dāng)同一份工作:QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=72種.由分類加法計(jì)數(shù)原理,可得共有18+36+72=126種.答案:126三、解答題(每小題10分,共20分)7.對(duì)于各數(shù)互不相等的正整數(shù)組(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整數(shù)),假如在p>q時(shí)有ip>iq,則稱ip和iq是該數(shù)組的一個(gè)“好序”,一個(gè)數(shù)組中“好序”的個(gè)數(shù)稱為此數(shù)組的“好序數(shù)”,例如,數(shù)組(1,3,4,2)中有好序“1,3”,“1,4”,“1,2”,“3,4”,其“好序數(shù)”等于4.若各數(shù)互不相等的正整數(shù)組(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“好序數(shù)”等于2,求(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序數(shù)”.【解題指南】對(duì)應(yīng)于含有n個(gè)數(shù)字的數(shù)組中,首先做出任取兩個(gè)數(shù)字時(shí)可以組成的數(shù)對(duì),減去逆序的個(gè)數(shù),得到結(jié)果.【解析】因?yàn)楦鲾?shù)互不相等的正整數(shù)組(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“好序數(shù)”等于2,(a6,a5,a4,a3,a2,a1)中任取兩個(gè)的組合有QUOTE=15個(gè),所以(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序數(shù)”是15-2=13.8.有8名男生和5名女生,從中任選6人.(1)有多少種不同的選法?(2)其中有3名女生,有多少種不同的選法?(3)其中至多有3名女生,有多少種不同的選法?(4)其中有2名女生,4名男生,分別負(fù)責(zé)6種不同的工作,共有多少種不同的分工方法?(5)其中既有男生又有女生,有多少種不同的選法?【解析】(1)適合題意的選法有QUOTE=1716種.(2)第1步,選出女生,有QUOTE種;第2步,選出男生,有QUOTE種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,適合題意的選法有QUOTE×QUOTE=560種.(3)至多有3名女生包括:沒有女生,1名女生,2名女生,3名女生四類狀況.第1類沒有女生,有QUOTE種;第2類1名女生,有QUOTE×QUOTE種;第3類2名女生,有QUOTE×QUOTE種;第4類3名女生,有QUOTE×QUOTE種.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,適合題意的選法共有QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=1568種.(4)第1步,選出適合題意的6人,有QUOTE×QUOTE種;第2步,給這6人支配6種不同的工作,有QUOTE種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,適合題意的分工方法共有QUOTE×QUOTE×QUOTE=504000種.(5)用間接法,解除掉全是男生的狀況和全是女生的狀況即是符合題意的選法.而由題意知不行能6人全是女生,所以只需解除全是男生的狀況,所以有QUOTE-QUOTE=1716-28=1688種選法.(15分鐘·30分)1.(5分)在200件產(chǎn)品中有3件次品,現(xiàn)從中隨意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有()A.QUOTE種B.QUOTE種C.QUOTE種 D.QUOTE種【解析】選D.依據(jù)題意,“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種狀況,“有2件次品”的抽取方法有QUOTE種,“有3件次品”的抽取方法有QUOTE種,則共有QUOTE+QUOTE種不同的抽取方法,故選D.【加練·固】用黃、藍(lán)、白三種顏色粉刷6間辦公室,一種顏色粉刷3間,一種顏色粉刷2間,一種顏色粉刷1間,則粉刷這6間辦公室,不同的支配方法有()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.選固定一種粉刷方法,如黃色粉刷3間,藍(lán)色粉刷2間,白色粉刷1間.則有QUOTE種,三種顏色互換有QUOTE種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,不同的方案有QUOTE種.2.(5分)中國足球超級(jí)聯(lián)賽的計(jì)分規(guī)則是:勝一場得3分,平一場得1分,負(fù)一場得0分.某賽季甲球隊(duì)打完15場競賽后,球隊(duì)積分是30分,則該隊(duì)勝、負(fù)、平的狀況共有()A.3種B.4種C.5種D.6種【解題指南】首先該球隊(duì)勝x場、平y(tǒng)場、負(fù)z場,則x,y,z是非負(fù)整數(shù),依據(jù)題意可得方程組QUOTE然后依據(jù)取值范圍,結(jié)合x,y,z是非負(fù)整數(shù)即可求得結(jié)論.【解析】選A.設(shè)該球隊(duì)勝x場、平y(tǒng)場、負(fù)z場,則x,y,z是非負(fù)整數(shù),且滿意QUOTE由②得y=3QUOTE,代入①得z=2x-15,又因?yàn)?≤y≤15,0≤z≤15,所以QUOTE所以7.5≤x≤10,因?yàn)閤,y,z是非負(fù)整數(shù),所以x的值為8,9,10,當(dāng)x=8時(shí),y=6,z=1;當(dāng)x=9時(shí),y=3,z=3;當(dāng)x=10時(shí),y=0,z=5;所以競賽結(jié)果是:勝8場、平6場、負(fù)1場,勝9場、平3場、負(fù)3場,或是勝10場、平0場、負(fù)5場,故共有3種狀況.3.(5分)(2024·日照高二檢測)為做好社區(qū)新冠肺炎疫情防控工作,需將六名志愿者安排到甲、乙、丙、丁四個(gè)小區(qū)開展工作,其中甲小區(qū)至少安排兩名志愿者,其他三個(gè)小區(qū)至少安排一名志愿者,則不同的安排方案共有________種.(用數(shù)字作答)

【解析】若甲小區(qū)安排3人,甲小區(qū)有QUOTE種狀況,剩下的3個(gè)小區(qū)有QUOTE種狀況,此時(shí)有QUOTE=120種安排方法,若甲小區(qū)安排2人,甲小區(qū)有QUOTE種狀況,剩下的3個(gè)小區(qū)有QUOTE種狀況,此時(shí)有QUOTE=540種安排方法,則有120+540=660種不同的安排方法.答案:6604.(5分)工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí),須要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺絲,首先隨意擰一個(gè)螺絲,接著擰它對(duì)角線上的(距離它最遠(yuǎn)的,下同)螺絲,再隨意擰第三個(gè)螺絲,第四個(gè)也擰它對(duì)角線上的螺絲,第五個(gè)和第六個(gè)以此類推,則不同的固定方式有________種.

【解析】先隨意擰一個(gè)螺絲,接著擰它對(duì)角線上的,有QUOTE種方法,再隨意擰第三個(gè)螺絲和其對(duì)角線上的,有QUOTE種方法,然后隨意擰第五個(gè)螺絲和其對(duì)角線上的,有QUOTE種方法,所以總共的固定方式有QUOTE=48種.答案:485.(10分)有五張卡片,它們的正、反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9.將其中隨意三張并排放在一起組成三位數(shù),共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?【解析】依0與1兩個(gè)特別值分析,可分三類:(1)取0不取1,可先從另四張卡片中選一張作百位,有QUOTE種方法;0可在后兩位,有QUOTE種方法;最終需從剩下的三張中任取一張,有QUOTE種方法;又除含0的那張外,其他兩張都有正面或反面兩種可能,故此時(shí)可得不同的三位數(shù)有QUOTE·22個(gè).(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位數(shù)有QUOTE·22·QUOTE個(gè).(3)0和1都不取,有不同三位數(shù)QUOTE·23·QUOTE個(gè).綜上所述,不同的三位數(shù)共有QUOTE·22+QUOTE·22·QUOTE+QUOTE·23·QUOTE=432(個(gè)).1.集合S={1,2,3,…,20}的4元子集T={a1,a2,a3,a4}中,隨意兩個(gè)元素的差的肯定值都不為1,這樣的4元子集的個(gè)數(shù)為________個(gè).

【解題指南】不妨設(shè)a1<a2<a3<a4,有a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,a1,a2-1,a3-2,a4-3相當(dāng)于從1,2,3,4,…,17中隨意選出4個(gè),全部的取法共有QUOTE,運(yùn)算求得結(jié)果.【解析】不妨設(shè)a1<a2<a3<a4,由于隨意兩個(gè)元素的差的肯定值都不為1,故有a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,將a2,a3,a4分別減去1,2,3,這時(shí)a1,a2-1,a3-2,a4-3相當(dāng)于從1,2,3,4,…,17中隨意選出4個(gè),全部的取法共有QUOTE=2380種不同的取法.答案:23802.(2024·廣州高二檢測)如圖,從左到右有5個(gè)空格.(1)若向這5個(gè)格子中填入0,1,2,3,4五個(gè)數(shù),要求每個(gè)數(shù)都要用到,且第三個(gè)格子不能填0,則一共有多少不同的填法?(2)若給這5個(gè)空格涂上顏色,要求相鄰格子不同色,現(xiàn)有紅黃藍(lán)3種顏色可供運(yùn)用,問一共有多少種不同的涂法?(3)若向這5個(gè)格子中放入7個(gè)不同的小球,要求每個(gè)格子里都有球,問有多少種不同的放法?【解題指南】(1)依據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①分析0;②將其余的4個(gè)數(shù)字全排列,支配在其他四個(gè)格子中,由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案;(2)依據(jù)題意,依次分析5個(gè)格子的涂色方法數(shù)目,由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案;(3)依據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①將7個(gè)小球分成5組,有2種分法,分組時(shí),留意平均分組問題;②將分好的5組全排列,對(duì)應(yīng)5個(gè)空格,由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【解析】(1)依據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①第三個(gè)格子不能填0,則0有4種選法;②將其余的4個(gè)數(shù)字全排列,支配在其他四個(gè)格子中,有QUOTE種狀況,則一共有4Q