2025年高考數(shù)學一輪復習講義(知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測)專題43直線的方程(新高考專用)(原卷版+解析)

專題43直線的方程（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】直線的傾斜角與斜率 4【考點2】求直線的方程 5【考點3】直線方程的綜合應用 6【分層檢測】 7【基礎篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 9考試要求：1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系.知識梳理知識梳理1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計算公式①經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標系中的點集.設是中兩點間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．二、填空題6．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為．考點突破考點突破【考點1】直線的傾斜角與斜率一、單選題1．（2022·貴州畢節(jié)·三模）曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·全國·專題練習）已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點 B．直線與圓相交C．當直線平分圓時， D．當點到直線距離最大值時，4．（2024·江西·模擬預測）已知集合，，則下列結論正確的是（

）A．， B．當時，C．當時， D．，使得三、填空題5．（2023·江蘇·模擬預測）設，直線，直線，記分別過定點，且與的交點為，則的最大值為.6．（2022高二·全國·專題練習）已知兩點、，給出下列曲線方程：①；②；③；④．則曲線上存在點P滿足的方程的序號是．反思提升：(1)斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.(2)傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調性.【考點2】求直線的方程一、單選題1．（2023·江蘇淮安·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線通過原點，是的一個法向量，則直線傾斜角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知曲線在點處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題3．（2023·浙江寧波·一模）已知直線：與圓：相交于兩點，與兩坐標軸分別交于兩點，記的面積為，的面積為，則（

）A． B．存在，使 C． D．存在，使4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點C．當時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線三、填空題5．（2024·天津河東·一模）已知過點的直線（不過原點）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為.6．（2023·江西南昌·一模）函數(shù)在x＝1處的切線平行于直線x－y－1＝0，則切線在y軸上的截距為．反思提升：(1)求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程.②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程.(2)在求直線方程時，應選擇適當?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用.【考點3】直線方程的綜合應用一、單選題1．（2022·安徽黃山·二模）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，為線段的中點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西商洛·三模）已知是圓上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點C．當時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線4．（2021·江蘇常州·模擬預測）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調遞減，上單調遞增B．的最小值為，沒有最大值C．存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象關于直線對稱D．方程的實根個數(shù)為2三、填空題5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線，若直線l在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)k的值為；若直線l不經過第三象限，則k的取值范圍是.6．（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知?分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.反思提升：1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，能夠看出“動中有定”.若直線的方程為y＝k(x－1)＋2，則直線過定點(1，2).2.求解與直線方程有關的面積問題，應根據(jù)直線方程求解相應坐標或者相關長度，進而求得多邊形面積.3.求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數(shù)的單調性或基本不等式求解.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·河南信陽·三模）動點P在函數(shù)的圖像上，以P為切點的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·重慶·三模）當點到直線l：的距離最大時，實數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．23．（2024·山東青島·二模）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2020高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy(O為坐標原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．二、多選題5．（2024·全國·模擬預測）已知直線與圓，則下列結論正確的是（

）A．直線恒過定點B．直線與圓相交C．若，直線被圓截得的弦長為D．若直線與直線垂直，則6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知圓，直線．則以下幾個結論正確的有（

）A．直線l與圓C相交B．圓C被y軸截得的弦長為C．點C到直線l的距離的最大值是D．直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為7．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點是點，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是三、填空題8．（2024·天津南開·二模）過圓C：上的點作圓C切線l，則l的傾斜角為.9．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為A，點B在C上.若，則直線AB的方程為.10．（2024·山西朔州·模擬預測）已知A，B分別為曲線和直線上的點，則的最小值為.四、解答題11．（23-24高二上·山東德州·期中）已知直線：和直線：，其中m為實數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若點在直線上，直線l過P點，且在x軸上的截距與在y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．12．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.(1)已知直線與直線相交，交點坐標為，求的值；(2)已知直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程.【能力篇】一、單選題1．（2022·四川南充·三模）設O為坐標原點，點，動點P在拋物線上，且位于第二象限，M是線段PA的中點，則直線OM的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·江蘇南通·模擬預測）設拋物線的焦點為，是上的一個動點，則下列結論正確的是（

）A．點到的距離比到軸的距離大2B．點到直線的最小距離為C．以為直徑的圓與軸相切D．記點在的準線上的射影為，則不可能是正三角形三、填空題3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知圓，直線，為直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則直線過定點.四、解答題4．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點為F，點為C上一點．(1)求直線的斜率；(2)經過焦點F的直線與C交于A，B兩點，原點O到直線的距離為，求以線段為直徑的圓的標準方程．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知過原點的直線與雙曲線交于兩點，點在第一象限且與點關于軸對稱，，直線與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·河南信陽·模擬預測）太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉化，相互統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠將圓的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”下列有關說法中正確的是（

）A．對圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；B．函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)；C．存在圓，使得是圓的太極函數(shù)；D．直線所對應的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù)．三、填空題3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）正三棱柱內切球（球與上下底面和側面都相切）的半徑是為棱上一點，若二面角為，則平面截內切球所得截面面積為成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題43直線的方程（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 7【考點1】直線的傾斜角與斜率 7【考點2】求直線的方程 12【考點3】直線方程的綜合應用 16【分層檢測】 21【基礎篇】 21【能力篇】 29【培優(yōu)篇】 33考試要求：1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系.知識梳理知識梳理1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計算公式①經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標系中的點集.設是中兩點間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．二、填空題6．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為．參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點，從而可得當時，AB的最小，結合勾股定理代入計算，即可求解.【詳解】因為直線，即，令，則，所以直線過定點，設，將圓化為標準式為，所以圓心，半徑，當時，AB的最小，此時.故選：C2．C【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，結合圖形分析求解即可.【詳解】對任意給定，則，且，可知，即，再結合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點間距離最大值；陰影部分面積.故選：C.【點睛】方法點睛：數(shù)形結合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．3．D【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.故選：D.4．C【分析】結合等差數(shù)列性質將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，AB最小，，此時.

故選：C5．B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

6．45/【分析】先求出圓心坐標，從而可求焦準距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直線的距離.【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即或，故原點到直線的距離為，故答案為：考點突破考點突破【考點1】直線的傾斜角與斜率一、單選題1．（2022·貴州畢節(jié)·三模）曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·全國·專題練習）已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點 B．直線與圓相交C．當直線平分圓時， D．當點到直線距離最大值時，4．（2024·江西·模擬預測）已知集合，，則下列結論正確的是（

）A．， B．當時，C．當時， D．，使得三、填空題5．（2023·江蘇·模擬預測）設，直線，直線，記分別過定點，且與的交點為，則的最大值為.6．（2022高二·全國·專題練習）已知兩點、，給出下列曲線方程：①；②；③；④．則曲線上存在點P滿足的方程的序號是．參考答案：1．D【分析】根據(jù)直線過定點的求法可求得直線恒過；由曲線方程可確定圖形，采用數(shù)形結合的方式可確定直線斜率的取值范圍，由此可構造不等式求得的取值范圍.【詳解】由得：，令，解得：，直線恒過定點；由得：，由此可得曲線的圖形如下圖所示，由圖形可知：當直線過點時，直線斜率為，若直線與曲線有兩個不同交點，則直線斜率的取值范圍為，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.2．C【分析】根據(jù)題意可知直線恒過定點，根據(jù)斜率公式結合圖象分析求解.【詳解】因為直線恒過定點，如圖.又因為，，所以直線的斜率k的范圍為.故選：C.3．ACD【分析】對于A，將直線方程變形即可進一步判斷；對于B，舉反例即可判斷；對于C，將圓心坐標代入直線方程即可驗算參數(shù)；對于D，當點到直線距離最大值時，有，結合它們的斜率關系即可判斷.【詳解】對于A，即，令，有，所以直線恒過定點，故A正確；對于B，圓的圓心、半徑為，點到直線的距離為，從而，取，則此時有，故B錯誤；對于C，當直線平分圓時，有點在直線上，也就是說有成立，解得，故C正確；對于D，點到直線距離滿足，等號成立當且僅當，而的斜率為，所以當?shù)忍柍闪r有，解得，故D正確.故選：ACD.4．AB【分析】對于A：根據(jù)直線方程分析判斷；對于B：根據(jù)題意求直線交點即可；對于C：根據(jù)空集的定義結合直線平行運算求解；對于D：根據(jù)直線重合分析求解.【詳解】對于選項A：因為表示過定點，且斜率不為0的直線，可知表示直線上所有的點，所以，故A正確；對于選項B：當時，則，，聯(lián)立方程，解得，所以，B正確；對于選項C：當時，則有：若，則；若，可知直線與直線平行，且，可得，解得；綜上所述：或，故C錯誤；對于選項D：若，由選項C可知，且，無解，故D錯誤．故選：AB．5．4【分析】根據(jù)題意得到直線恒過定點，直線恒過定點，以及直線與的斜率，得到，求得，結合，即可求解.【詳解】由直線，可化為，可直線恒過定點，直線，可化為，可得直線恒過定點，又由直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以，因為與的交點為，所以，又由，所以，即，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.6．②③/【分析】首先可根據(jù)得出點P在線段的中垂線上，然后求出線段的中垂線方程為，最后依次判斷四個曲線是否與有交點即可得出結果.【詳解】因為點P滿足，所以點P在線段的中垂線上，線段中點坐標為，，中垂線的斜率，故線段的中垂線方程為，即，因為曲線上存在點P滿足，所以曲線與有交點，對于①：與，平行，故不滿足題意；對于②：圓的圓心為，半徑為，圓心到的距離，故圓與相交，滿足題意；對于③：聯(lián)立，整理得，方程有解，滿足題意；對于④：聯(lián)立，整理得0=1，不成立，故不滿足題意.故答案為：②③.反思提升：(1)斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.(2)傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調性.【考點2】求直線的方程一、單選題1．（2023·江蘇淮安·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線通過原點，是的一個法向量，則直線傾斜角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知曲線在點處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題3．（2023·浙江寧波·一模）已知直線：與圓：相交于兩點，與兩坐標軸分別交于兩點，記的面積為，的面積為，則（

）A． B．存在，使 C． D．存在，使4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點C．當時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線三、填空題5．（2024·天津河東·一模）已知過點的直線（不過原點）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為.6．（2023·江西南昌·一模）函數(shù)在x＝1處的切線平行于直線x－y－1＝0，則切線在y軸上的截距為．參考答案：1．A【分析】設直線的傾斜角為，依題意可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系計算可得.【詳解】因為直線通過原點，是的一個法向量，所以直線的方程為，設直線的傾斜角為，則，又且，解得.故選：A2．B【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，代入點斜式得直線方程，令即可求解.【詳解】由得，所以直線的斜率，又f1=0，所以直線的方程為，令，得，即在軸上的截距為.故選：B3．ABC【分析】運用數(shù)形結合思想，結合面積公式和點到直線距離，兩點間距離，直線與圓弦長公式即可.【詳解】A.直線：，當時，，當時，，所以，因為圓心為，所以圓心到直線的距離，所以根據(jù)直線被圓截得的弦長公式有，解得，所以，當且僅當即，即，解得時取得等號.所以，故A正確.B.直線：，當時，；當時，，所以當時，，故B正確.C.直線：過定點在圓內，因為圓：，圓心為，所以圓心到直線的距離因為，當且僅當時，,所以被截得的弦長最短，所以.故C正確.D.要使，則與重合，此時的直線方程為不過定點，故D錯.故選:ABC.4．ACD【分析】求出直線過的定點判斷A；判斷定點與圓的位置關系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷圓與圓的位置關系判斷D.【詳解】對于A，直線的方程為，由，得，直線過定點，A正確；對于B，又，即定點在圓內，則直線與圓相交，有兩個交點，B錯誤；對于C，當時，直線：，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，且，因此恰有2個點到直線的距離等于1，C正確；對于D，圓化為，圓的圓心為，半徑為4，兩圓圓心距為，兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確.故選：ACD.5．18【分析】確定直線的方程，根據(jù)直線和圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列式求解，即得答案.【詳解】由題意知過點的直線（不過原點）在軸、軸上的截距相等，設該直線方程為，將代入得，即直線方程為，由于該直線與相切，圓心為，半徑為，故，故答案為：186．【分析】由題意，求得，所以，則，進而求出函數(shù)在x＝1處的切線方程，從而得解.【詳解】，由題意，即，所以，則，故函數(shù)在x＝1處的切線方程為，即，則切線在y軸上的截距為．故答案為：．反思提升：(1)求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程.②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程.(2)在求直線方程時，應選擇適當?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用.【考點3】直線方程的綜合應用一、單選題1．（2022·安徽黃山·二模）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，為線段的中點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西商洛·三模）已知是圓上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點C．當時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線4．（2021·江蘇常州·模擬預測）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調遞減，上單調遞增B．的最小值為，沒有最大值C．存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象關于直線對稱D．方程的實根個數(shù)為2三、填空題5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線，若直線l在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)k的值為；若直線l不經過第三象限，則k的取值范圍是.6．（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知?分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.參考答案：1．B【分析】設出點A，B的坐標，利用拋物線定義結合已知求出p，再借助斜率坐標公式計算作答.【詳解】設，拋物線的準線為：，因為線段的中點，則，又，解得，則拋物線C的方程為：，有，，顯然直線l的斜率存在，所以直線的斜率.故選：B2．D【分析】的幾何意義為直線的斜率，再根據(jù)直線與圓得交點即可得出答案.【詳解】設，變形可得，則的幾何意義為直線的斜率，圓化為，所以圓的圓心為，半徑為.因為Px0,所以圓與直線有公共點，即圓的圓心到直線的距離不大于圓的半徑，所以，解得，即的最大為.故選:D.3．ACD【分析】求出直線過的定點判斷A；判斷定點與圓的位置關系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷圓與圓的位置關系判斷D.【詳解】對于A，直線的方程為，由，得，直線過定點，A正確；對于B，又，即定點在圓內，則直線與圓相交，有兩個交點，B錯誤；對于C，當時，直線：，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，且，因此恰有2個點到直線的距離等于1，C正確；對于D，圓化為，圓的圓心為，半徑為4，兩圓圓心距為，兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確.故選：ACD.4．ABD【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用動點到兩定點的距離之和的變化可判定A正確；求出最小值，分析無最大值，可判定B正確；由對稱性的定義，可判定C不正確；由單調性和函數(shù)值的關系，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可理解為動點到兩個定點的距離之和，如圖所示，當時，隨著的增大，越靠近原點時，越小，則越小，即越小，函數(shù)在上單調遞減，當時，隨著的增大，越靠近原點時，越大，則越大，即越大，函數(shù)在上單調遞增，所以A正確；當點與點重合時，取得最小值，點越向左遠離或向右遠離時，越大，無最大值，，即函數(shù)有最小值，無最大值，所以B正確；當點與點重合時，取得最小值，若函數(shù)有對稱軸，則對稱軸的方程為，而，可得，則不是對稱軸，所以存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象關于對稱是錯誤的，所以C不正確；因為與點重合時，，當時，；當時，；當時，，由在上單調遞增，所以存在，使得的實根個數(shù)為2，所以D正確.故選：ABD.5．或；.【分析】分別令和求出直線在兩坐標軸上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析過定點，然后根據(jù)條件結合圖示判斷出直線斜率滿足的不等式，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為直線l在兩坐標軸上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依題意可得，即，解得或；直線的方程可化為，所以，所以，所以直線過定點，所以，由直線可得：，若不經過第三象限，則，故答案為：或；.6．/【分析】利用線段的等量關系進行轉化，找到最小值即為所求.【詳解】由直線與間的距離為得，過作直線垂直于，如圖，

則直線的方程為：，將沿著直線往上平移個單位到點，有，連接交直線于點P，過P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線上的點與點距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值為=故答案為：【點睛】思路點睛：（1）合理的利用假設可以探究取值的范圍，嚴謹?shù)乃季S是驗證的必要過程.（2）轉化與劃歸思想是解決距離最值問題中一種有效的途徑.（3）數(shù)形結合使得問題更加具體和形象，從而使得方法清晰與明朗.反思提升：1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，能夠看出“動中有定”.若直線的方程為y＝k(x－1)＋2，則直線過定點(1，2).2.求解與直線方程有關的面積問題，應根據(jù)直線方程求解相應坐標或者相關長度，進而求得多邊形面積.3.求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數(shù)的單調性或基本不等式求解.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·河南信陽·三模）動點P在函數(shù)的圖像上，以P為切點的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·重慶·三模）當點到直線l：的距離最大時，實數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．23．（2024·山東青島·二模）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2020高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy(O為坐標原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．二、多選題5．（2024·全國·模擬預測）已知直線與圓，則下列結論正確的是（

）A．直線恒過定點B．直線與圓相交C．若，直線被圓截得的弦長為D．若直線與直線垂直，則6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知圓，直線．則以下幾個結論正確的有（

）A．直線l與圓C相交B．圓C被y軸截得的弦長為C．點C到直線l的距離的最大值是D．直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為7．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點是點，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是三、填空題8．（2024·天津南開·二模）過圓C：上的點作圓C切線l，則l的傾斜角為.9．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為A，點B在C上.若，則直線AB的方程為.10．（2024·山西朔州·模擬預測）已知A，B分別為曲線和直線上的點，則的最小值為.四、解答題11．（23-24高二上·山東德州·期中）已知直線：和直線：，其中m為實數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若點在直線上，直線l過P點，且在x軸上的截距與在y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．12．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.(1)已知直線與直線相交，交點坐標為，求的值；(2)已知直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程.參考答案：1．C【分析】求出定義域，求導，結合基本不等式得到，求出以P為切點的切線的傾斜角取值范圍.【詳解】令，解得，故的定義域為，，當且僅當，即時，等號成立，故，故以P為切點的切線的傾斜角取值范圍是.故選：C2．B【分析】先求得直線過的定點，再由點P與定點的連線與直線垂直求解.【詳解】直線l：，整理得，由，可得，故直線恒過點，點到的距離，故；直線l：的斜率，故，解得故選：B.3．A【分析】由已知可得，拋物線的焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為，再由點到直線的距離公式即可求得距離.【詳解】由，得焦點坐標為，又雙曲線漸近線方程為，即，則由點到直線的距離公式得.故選：A.4．D【分析】由、的方程可得它們都過定點，，然后可得四邊形OMPN為矩形，且，然后可求出答案.【詳解】將直線的方程變形得，由，得，則直線過定點，同理可知，直線過定點，

所以，直線和直線的交點P的坐標為，易知，直線，如圖所示，易知，四邊形OMPN為矩形，且，設，，則，四邊形OMPN的面積為，當且僅當，即當時，等號成立，因此，四邊形OMPN面積的最大值為，故選：D5．BC【分析】利用點斜式可判定A，利用直線過定點結合點與圓的位置關系可判定B，利用弦長公式可判定C，利用直線的位置關系可判定D.【詳解】對于A，直線，即，則直線恒過定點，故A錯誤；對于B，因為，所以定點在圓內部，所以直線l與圓O相交，故B正確；對于C，當時，直線，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故C正確；對于D，若直線與直線垂直，則或，故D不正確；故選：BC.6．ACD【分析】對于A，，聯(lián)立求定點,根據(jù)定點在圓內即可求解；對于B，令求軸交點縱坐標即可得弦長；對于C，根據(jù)定點到圓心距離即可求解最值，對于D，根據(jù)直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，求直線斜率，進而求出參數(shù)，即可得方程．【詳解】由，則，得，即恒過定點，由到圓心的距離，故定點在圓內，故直線與圓恒相交，故A正確；令，則，可得，故圓被軸截得的弦長為，故B錯誤；點C到直線l的距離的最大值為圓心到定點的距離，故最大值為，C正確，要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，則，所以，可得，故直線為，故D正確．故選：ACD．7．ABD【分析】確定關于直線對稱點，確定關于直線對稱點，利用兩點之間距離最小來判斷.【詳解】對于A，如圖①所示，設點關于直線的對稱點為，由解得，所以將軍在河邊飲馬的地點的坐標為，故A錯誤；對于B，如圖②所示，因為點關于直線的對稱點為，將軍先去河流飲馬，再返回軍營的最短路程是，故B錯誤；對于C，如圖③所示，因為點關于直線的對稱點分別為，；點關于直線的對稱點為，所以將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營的最短路程，故C正確；對于D，如圖④所示，設點關于直線的對稱點分別為，由解得；點關于直線的對稱點為，將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營的最短路程是，故D錯誤.故選：ABD.

8．150°【分析】根據(jù)兩直線垂直和得到直線l的斜率，從而得到l的傾斜角.【詳解】由題意得，直線與直線l垂直，因為，故l的斜率為，故l的傾斜角為150°故答案為：150°9．或【分析】先根據(jù)焦半徑公式求出點坐標，進而可得直線方程.【詳解】設Bx,y，則，則，此時，所以或，又由已知，直線AB的方程為或，整理得或.故答案為：或.10．/【分析】利用數(shù)形結合思想可知切點到直線的距離是最小值，從而利用導數(shù)來求出切點，再用點到直線的距離公式求出最小值即可.【詳解】由題意AB的最小值為曲線上點A到直線距離的最小值，而點A就是曲線與直線相切的切點，因為曲線上其它點到直線的距離都大于AB，對求導有，由可得，即，故.故答案為：.11．(1)或0(2)或．【分析】（1）根據(jù)垂直得到方程，求出m的值；（2）將代入中，解得，設直線l的方程，根據(jù)兩截距相等得到方程，求出或，得到直線l的方程.【詳解】（1）由題意得，解得或0；（2）由在直線上，得，解得，可得，顯然直線l的斜率一定存在且不為0，設直線l的方程為，令，可得，再令，可得，所以，解得或，所以直線l的方程為或，即或．12．(1)；(2)和【分析】（1）利用直線的交點坐標同時在兩直線上解方程組即可得到結果；（2）分直線的斜率存在與否，不存在時，直接驗證即可；存在時利用點斜式設出直線方程，再由點到直線的距離解出斜率，得到直線方程即可.【詳解】（1）由題意得，即解得；（2）顯然直線：滿足條件.此時，直線的斜率不存在.當直線的斜率存在時，設，即.點到直線的距離為，，即，得，得直線綜上所述，直線的方程為和【能力篇】一、單選題1．（2022·四川南充·三模）設O為坐標原點，點，動點P在拋物線上，且位于第二象限，M是線段PA的中點，則直線OM的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·江蘇南通·模擬預測）設拋物線的焦點為，是上的一個動點，則下列結論正確的是（

）A．點到的距離比到軸的距離大2B．點到直線的最小距離為C．以為直徑的圓與軸相切D．記點在的準線上的射影為，則不可能是正三角形三、填空題3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知圓，直線，為直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則直線過定點.四、解答題4．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點為F，點為C上一點．(1)求直線的斜率；(2)經過焦點F的直線與C交于A，B兩點，原點O到直線的距離為，求以線段為直徑的圓的標準方程．參考答案：1．D【分析】根據(jù)給定條件，設出點P的坐標，再求出直線OM的斜率，借助均值不等式求解作答.【詳解】依題意，設點，于是有，直線OM的斜率，當且僅當，即時取“=”，直線OM的斜率的取值范圍為.故選：D2．BC【分析】由拋物線，可得焦點，準線方程為，設，.利用拋物線的定義可得，即可判斷出正誤；.，利用點到直線的距離公式可得點到直線的距離，進而判斷出正誤；.設的中點為，可得，即可判斷出正誤；.，令，可得，，解得，即可判斷出正誤.【詳解】由拋物線，可得焦點，準線方程為，設，因為，因此不正確；因為，則點到直線的距離為，當時取等號，可得點到直線的最小距離為，因此正確；設的中點為，則，于是以為直徑的圓與軸相切，因此正確；，令，則，，解得，此時，是正三角形，因此不正確．故選：BC．3．【分析】