2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)甲卷【文科+理科】試題及答案解析

2023全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科（甲卷答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.中，只有一項是符合題目要求的1.設(shè)全集U12,34,5，集合M14N2,5，則

A.251i322i2

D.2,3,

C.1

D.13.已知向量a3,1b22，則

ab,a

25

23記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若a2a610,a4a845，則S5 231頁/10A. B. C. D.執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的B A. B. C. D.設(shè)F1F2

C: y1

在CPF1

0

PF2 A. B. C. D. 曲線yx1在點 2處的切線方程為 ye4

ye2

yex

yex 5已知雙曲線Ca25

1(a0b0)的離心率為

C的一條漸近線與圓(x2)2(y3)21交于A，B兩點，則|AB|

25

35

456在三棱錐PABC中，ABC是邊長為2的等邊三角形，PAPB2,PC 62頁/10 3A. C. D.3

fxe(

af2,bf3,c

f6

． 2 2 2，則 bc

ba C.cb

D.ca函數(shù)yfx的圖象由函數(shù)ycos2xπ 66 則yfx的圖象與直線y1x1的交點個數(shù)為 A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分記Sn為等比數(shù)列an 前n項和．若8S67S3，則an的公比 若fxx12axsinxπ為偶函數(shù)，則a 2 3x2y若x，y滿足約束條件2x3y3，設(shè)z3x2y的最大值 xy

中點，若該正方體的棱與球O球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍 70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分記ABCAB求bc

a,b,

b2c2

2acosBbcosAb1，求ABC 3頁/10ABC

2020只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭單位：g．試驗結(jié)果如下： （2（?。?頁/10K

n(adabcdacbdPK2kk2fxax

,x0,πcos2

2 當a1fxfxsinx0，求a已知直線x2y10與拋物線C:y22px(p0)交于A,B兩點，且|AB| （1）p（2）FC的焦點，M，NCFMFN0，求△MFN面積的最?。ǘ┻x考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.所做的第一題計分[4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分x2t已知點P(2,1，直線ly1tsin（t為參數(shù)），為l的傾斜角，lx軸，yA，B兩點，且|PA||PB|4（1）求5頁/10[4-5：不等式選講]（10分23.設(shè)a0，函數(shù)f(x2xaafxxyfx與x2，求a6頁/10答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項【1【答案】【2【答案】【3【答案】【4【答案】【5【答案】【6【答案】7頁/10【7【答案】【8【答案】【9【答案】【10【答案】【11【答案】【12【答案】二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分【13【答案】2【14【15【16【答案】[22270分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.8頁/10（一）必考題：共60分【17（2）4【18【19（2（i）（ii）【20【答（1）fx在0,π上單調(diào)遞 2 （2）a【21（1）p2（2）1282（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.所做的第一題計分[4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分【224（2）cossin39頁/10[4-5：不等式選講]（10分【23（1）a3a 10頁/102023年高考理科數(shù)學(xué)(全國甲卷1.設(shè)集合A{x∣x3k1kZB{x∣x3k2kZU為整數(shù)集，eUAB A.{x|x3k,k{∣x

{∣xD.2若復(fù)數(shù)ai1ai2,aR，則a A.- B. C. D.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的B A. B. C. D.

|b|

，且b0，則cosc,bc

|a

1,|c

22已知正項等比數(shù)列an中，a11,Sn為an前n項和，S55S34，則S4（ A. B. C. D.有60人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部， A. B. C. D.7.“sin2sin21”是“sincos0”的 A.充分條件但不是必要條 B.必要條件但不是充分條C.充要條 D.既不是充分條件也不是必要條5x2y2 5已知雙曲線 0)的離心率 ，其中一條漸近線與(x2)2(y3)21交于A，B兩點，則|AB|

25

45務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（ A. B. C. D.已知

fx為函數(shù)ycos2xπ向左平移π個單位所得函數(shù)，則

yfx 6 y1x1的交點個數(shù)為 A. B. C. D.2在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，AB4,PCPD3,PCA45，則PBC的面積為（ 2222

x2y2

2F,2

2cosFPF2

1， 2為兩個焦點O為原點P為橢圓上一點 5則|PO| 5

若y(x1)2axsinxπ為偶函數(shù)，則a 2 2x3yx，y滿足約束條件3x2yxy

，設(shè)z3x2y，則z的最大值 6在ABC中，AB2，BAC60,BC ，D為BC上一點，AD為BAC的6分線，則AD 已知數(shù)列an中a21，設(shè)Sn為ann項和2Snnan求an的通項公式求數(shù)列an1n項和T2n ACA1CXX40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好對照組：實驗組： 40m2×2PPk2k0設(shè)拋物線C:y22px(p0)直線x2y10與C交于AB兩點且|AB| （1）p（2）CF，M，NCMFNF0，求MNFf(x)ax

sinx,x0,πcos3

2（1）若a

8f(x（2）f(xsin2xa

x2tP(2,1，直線ly1tsin（t為參數(shù)），lx軸，yA，B|PA||PB|4（1）求的值（2）以原點為極點，xl的23.f(x2|xa|a,a0f(xyf(x22023年高考理科數(shù)學(xué)(全國甲卷)1.A

Zx|x3k,kZx|x3k1,kZx|x3k2,kZUZ，所以eUABx|x3kkZ．故選2. 因為ai1aiaa2iia2a1a2i2，所以2a

1a23. n1A123B325n112n2時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A358B8513n213n3A81321B211334n314c當n4B34．cacacac4. b0rbr2b2acacac

b2，即11

rb2ab0.如圖，設(shè)OAa

b,OCOAOB1OC

2,OAB是等腰直角三角形AB邊上的高OD

2,AD 2 2所以CDCOOD 2

232 tanACD

AD1,cosACD 3 3 c, cos cosACBcos2ACD2cos2 c, 3 223 2 故選

1455. 由題知1qq2q3q451qq24即q3q44q4q2,即q3q24q40,即(q2)(q1)(q20由題知q0,所以q2S4124815故選6. 報名兩個俱樂部的人數(shù)為50607040記“某人報足球俱樂部為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”BPA505PAB404 4P(∣AP(故選A

.7.577. 當sin2sin21時，例如π,0但sincos02即sin2sin21推不出sincos0當sincos0sin2sin2(cos)2sin21，即sincos0能推出sin2sin21.sin2sin21是sincos0成立的必要不充分條件.55 由e ，則a2b2a

a2

5y2x|22322則圓|223225所以弦長|AB|

45r2r2d15 記五名志愿者為abcde4假設(shè)a42人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A212種方法，4同理b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有51260種. 因為ycos2xπ 66 y

π

πcos2x66cos2x2sin2xfxsin2x y1x1顯然過01與10 2 fxy1x1 考慮2x3π2x3π2x7πx3πx3πx7πfxy1x1

x3πf3πsin3π1y13π13π4 4 2

4 x3πf3πsin3π1y13π13π41 4

x7πf7πsin7π1y17π17π4 4

fxy1x1的交點個數(shù)為3 CACBD交于OPO，則OACBD2ABCDAB4ACBD2

，則DOCO 2PCPD3POOP，所以PDOPCO，則PDOPCO22又PCPD3，ACBD ，所以PDBPCA，則PAPB2在△PACPC3AC42PCA45PA2AC2PC22ACPCcosPCA329242

2172故PA ，則PB 故在PBCPC3PB17BC4PC2BC2 916 所以cosPCB 2PC 23 1cos223又0PCBπ，所1cos2232所以PBC的面積為S1PCBCsinPCB13422 2 ACBD交于OPO，則OACBD2因為底面ABCD為正方形，AB4，所以ACBD4 在△PAC中，PC3,PCA45，2PA2AC2PC22ACPCcosPCA329242

2172故PA PA2PC2AC 179217所以cosAPC 2172PA

17PAPCPAPCcosAPC173173 PBmBPD

1 1

PO

PAPC

PBPD，所以PAPC

PBPD即即

2PAPC

2PBPD則17923m2923mcos，整理得m26mcos110又在△PBDBD2PB2PD22PBPDcosBPD，即32m296mcosm26mcos230兩式相加得2m2340，故PBm 故在PBCPC3PB17BC4PC2BC2 916 所以cosPCB 2PC 23 1cos223又0PCBπ，所1cos2232所以PBC的面積為S1PCBCsinPCB13422 2 B方法一：設(shè)F

b2tanF1PF2b2 cos2sin2 1tan2 由cosF1PF2cos

，解得： cos2+sin2 1tan2 a29b26c2a2b23

1FF 123 61y23 1 x29139OP

x2yx2y 32 6

2a6①，PF2

22PF

F

FF2

165即PF2PF2 PF65

12②，聯(lián)立 PFPF15,PF2

221 PO1212 2PFPF2

1 2PF1PF2

12 12

212315

30

PFPF2a6PF2

22PFPFFPFFF2

165即PF2PF2 PFPF12②，聯(lián)立①②，解得：PF265

221 2OP2F

22PF2

242FF

3，解得：3OP

302

1 1【答案】y

fxx12axsinxπx12axcosx為偶函數(shù)，定義 2為R

π π

π

所以f2f2，即 a

s

a

2

則πa212

2π，故a2 fxx122xcosxx21cosx，所以fxx21cosxx21cosxf又定義域為Rfx為偶函數(shù)，所以a2【答案】

xy3xz過點Az 由2x3y3可得x3A(333x2y yzmax332315【答案】2EF中點為OABBB1中點GMBB1C1C的中NFGEGOMONMN，如圖，F(xiàn)G2EGFG2EG

2222即2222ON2MN則球心OON2MN

2所以球OBB1BB21個交點，EF12.【答案】ABcACbBCa3方法一：由余弦定理可得，22b222bcos606，因為b0，解得：b1 3由SABCSABDSACD可得12bsin6012ADsin301ADbsin30 AD

3b1

2313333

22故答案為23方法二：由余弦定理可得，22b222bcos606，因為b0，解得：b1 3由正弦定理可得 sin

sin

sin

sinB

6 2，sinC 2 362因為1 ，所以C45，B180604575，又BAD30o，所以ADB75，即ADAB2．362故答案為2【答案】（1）ann（2）n（2）n n （1）因為2Snnan當n12a1a1，即a10當n321a33a3，即a32當n22Sn1n1an1，所以2SnSn1nann1an12an化簡得n2

n1

，當n3時，

a31，即

n1，

n

n n當n123時都滿足上式，所以an1nN*na1

1

1

1

1因為 ，所以T 2 n

1

1

1

1n2Tn1222(n1)2n2 1n

n

212

2 2 1T1

1

1

1

n1

1 211

n1n

，即

1

，nN*【答案】（1）（2）A1CBCBCACA1CACACC1A1A1CACCBCACC1A1BCBCC1B1ACC1A1BCC1B1A1到平面BCC1B1的距離為1，A1O1，在Rt△A1CC1A1CA1C1,CC1AA12，設(shè)COx，則C1O2x，CO2AO2AC2，AO2OC2CA2，AC2AC2CC2 1 1 1x212x)24x12ACA1CA1C1 2ACACA1C1,BCA1C,BCACBABA1BBDAA1AA1D，則DAA1中點，AA1BB12BD25A1D1，BD2，A1BAB 5AB2AC3在Rt△ABC，AB2AC3ACACCM，連接C1M由CM∥A1C1

C1M∥A1C，C1MABCAMABCC1M(2AC)2AC1則在Rt△AC1M中，AM2AC,C1MA1C(2AC)2AC1(2AC)2AC1在Rt(2AC)2AC1

，

BC 3(22)2(2)2(22)2(2)2(又ABCC1B1ABBCCB

131 1 1【答案】（1）EX)（2）（i）m23.4；列聯(lián)表見解析，（ii）（1）X的可能取值為0,12C0

C1

C2 則P(X0)2020 ，P(X1)2020 ，P(X2)2020 CCC CCC X012PXEX0191202191. 202120位為23.221位數(shù)據(jù)為23.6所以m23.223.623.426640(6614（ii）由（i）可得，K 6.4003.841，20202020所以能有95的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用【答案】（1）p2（2）122AxAyABxByB由x2y10y24py2p0y

4p,y

2py22 2y2

5 yA5

A 4y2A

即2p2p60p0p2設(shè)直線MNxmynMx1y1Nx2y2，y2由xmy

y24my4n0y1y24my1y24n16m216n0m2n0因為MFNF0，所以x11x21y1y20，即my1n1my2n1y1y20，亦即m21yymn1yyn1201 y1y24my1y24n24m2n26n14m2nn120，所以n1，且n26n10，解得n32

2或n3 21n設(shè)點F到直線MN的距離為d1nx y22x y22 11m216m21 41 4n26n1

11111n所以MNF的面積S1MNd1n

n1n12 2而n32

或n3

22當n322

時，MNF的面積 222212 2【答案】（1）答案見解析2（2）(,

cosxcos3x3sinxcos2xsin（1）f(x)a

cos6cos2x3sin2a acos4

3