專題0162平面向量的運(yùn)算向量求模求夾角

專題01：6.2平面向量的運(yùn)算重點(diǎn)題型解題思路培養(yǎng)題型一：向量求模核心技巧：①平方開根號：，.②坐標(biāo)法：，；當(dāng)題目涉及的圖形特殊，適合建系，考生可自主建系.③不等式法：（左邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，反向等號成立；右邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，同向等號成立）.（左邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，同向等號成立；右邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，反向等號成立）.④數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)題意畫圖，從圖中尋找解題突破口.例題1．（2021·福建龍巖·高三期中）已知且與的夾角為，則___________解題思路：且且與的夾角為題意涉及模，夾角；聯(lián)想：平方開根號法【答案】【詳解】由題意可知，且與的夾角為，所以，所以.故答案為：例題2．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.解題思路：題意涉及模，向量的坐標(biāo)，聯(lián)想：坐標(biāo)法題意涉及模，向量的坐標(biāo)，聯(lián)想：坐標(biāo)法，，若求出利用已知條件，代入坐標(biāo)解不等式將坐標(biāo)代入求?！敬鸢浮縖6，2]【詳解】由題,,,,即故答案為：題意涉及向量的坐標(biāo)，聯(lián)想：坐標(biāo)法，求出再利用三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)求最大值將坐標(biāo)代入求模例題3．（2017·四川省南充高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知，，則題意涉及向量的坐標(biāo)，聯(lián)想：坐標(biāo)法，求出再利用三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)求最大值將坐標(biāo)代入求模解題思路1：【詳解】由題意可知，得，所以：利用輔助角公式得：解題思路2：題意涉及向量的坐標(biāo)，即可以考慮坐標(biāo)法，也可以利用坐標(biāo)求模題意涉及向量的坐標(biāo)，即可以考慮坐標(biāo)法，也可以利用坐標(biāo)求模聯(lián)想：向量三角不等式目標(biāo)求的最大值利用向量三角不等式求解由題意求出【答案】3【詳解】，所以的最大值是3.例題4．（2021·上海·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形中，，．設(shè)，，，則______．解題思路：聯(lián)想：由于圖形特殊，適合建立坐標(biāo)系，所以考慮，建系法聯(lián)想：由于圖形特殊，適合建立坐標(biāo)系，所以考慮，建系法題意給出矩形，并且告訴，在坐標(biāo)系中，表示出利用坐標(biāo)運(yùn)算，求出的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)法求模將坐標(biāo)代入求?！敬鸢浮俊驹斀狻恳詾樵c(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由，，所以，，,由題意知，，，所以：所以，例題5．（2017·河南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知平面向量滿足，則________.解題思路：由由，結(jié)合向量減法，聯(lián)想：可構(gòu)造等邊三角形，利用數(shù)形結(jié)合法已知利用向量減法構(gòu)造三角形，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)：構(gòu)成正三角形利用向量減法表示出，利用余弦定理求圖形中，畫出，結(jié)合圖形求解【答案】根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義，知圍成邊長為2的等邊三角形OAB.如下圖所示，的幾何意義就是而三角形為直角三角形，故.題型二：向量的夾角核心技巧：①定義法（模）②坐標(biāo)法：，，③自主建系法：當(dāng)題目涉及的圖形特殊，適合建系，考生可自主建系，再利用坐標(biāo)法求解.④數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)題意畫圖，從圖中尋找解題突破口（找角+求角（余弦定理））.例題1．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測（理））已知向量，其中，且，則向量與的夾角等于____；解題思路：由由，且，題意涉及都是模，未出現(xiàn)任何坐標(biāo)聯(lián)想：定義法利用模直接求解已知，且根據(jù)公式，從題意中尋找根據(jù)求出的代入公式求解由【答案】##120°【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所?而，所以，因?yàn)?，所?故答案為：例題2．（四川省瀘州市2022屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試文科數(shù)學(xué)試題）己知向量，，若，則的值為___________.解題思路：由由，，題意涉及都是坐標(biāo)聯(lián)想：坐標(biāo)法已知，由題意可解出根據(jù)公式求解由【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知求出和即得解.【詳解】解：由題得,所以，所以.所以.故答案為：例題3．（2021·江蘇·無錫市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn).則的余弦值為__________.由題意由題意，如何簡化求解過程呢？聯(lián)想：自主建系，利用向量夾角求結(jié)合已知圖形：要求，在三角形中求角?？紤]余弦、正弦定理等，也可以考慮利用向量夾角求解建立坐標(biāo)系，表示出坐標(biāo)，從而求出向量,根據(jù)公式求解由【答案】.如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，∵D為線段BC的中點(diǎn)，∴D（3,2），又∵，易得：E（4,0）,∴直線BE：，直線AD：，聯(lián)立解得：,∴，，∴.故答案為：.例題4．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，且，則與所在直線的夾角為（

）A． B． C． D．由由聯(lián)想：數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)造可知為正三角形由可以，向量為鄰邊構(gòu)造三角形目標(biāo)：求與，由于出現(xiàn)通過觀察平行四邊形為菱形，所以可在圖中直接讀出與的夾角.進(jìn)一步，將構(gòu)造成平行四邊形，進(jìn)一步觀察圖形【答案】A【詳解】設(shè),以為鄰邊作平行四邊形,如圖所示,則,,∵，∴，∴是等邊三角形，∴,在菱形中,對角線平分，∴與所在直線的夾角為.故選：A.實(shí)戰(zhàn)演練1．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若向量，不共線，且，，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)椋?，所以，又向量，不共線，所以，所以，即.故答案為：.2．（2021·上海·高一課時(shí)練習(xí)）已知||=3，||=4，求||的取值范圍___________.【答案】[1，7]【詳解】由向量加、減法的三角形法則和三角形的三邊關(guān)系可得：||||||≤||≤||+||，∴1≤||≤7（當(dāng)、同向取最小值1，、反向時(shí)取最大值7），即||的取值范圍是[1，7].故答案為：[1，7].3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知向量，的夾角為60°，且，則___________.【答案】【詳解】由題意，故答案為：4．（2019·全國·高三階段練習(xí)（理））已知邊長為2的正方形，分別是邊上的兩個(gè)點(diǎn)，，若，則的最小值為_____________.【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，由可得，故.，進(jìn)一步化簡可得，當(dāng)時(shí)，有最小值且為，故填.5．（2022·河南安陽·二模（文））已知的外心為，若，且，則___________.【答案】60°##【詳解】設(shè)的邊BC的中點(diǎn)為D,則,又，即O,D兩點(diǎn)重合，O為BC的中點(diǎn)，即BC為外接圓直徑，則,又，故為等邊三角形，故,即，故答案為：60°6．（2021·浙江·高一期中）非零平面向量，滿足，且，則的最小值為___________．【答案】【詳解】因?yàn)?，，設(shè)的夾角為，所以，當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，所以的夾角為，如下圖，的終點(diǎn)在射線上，所以綜上可知：，故答案為：.7．（2021·四川成都·一模（理））已知向量滿足，，則向量與的夾角為___________.【答案】##【詳解】設(shè)，，則，解得，故，則、的夾角為.故答案為：.8．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，.若，則與的夾角的大小為______.【答案】##【詳解】解：由題意得：，設(shè)，則，即

故答案為：9．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，作向量，，則.，，，.，故與的夾角為故選：C10．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為______．【答案】90°##π2【詳解】由，故三點(diǎn)共線，且是線段中點(diǎn)，故是圓的直徑，從而，因此與的夾角為90°故答案為：90°11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若向量，，，則與夾角的余弦值為______.【答案】【詳解】依題意得：，由得：，即，而，解得，.故答案為：12．（2021·福建·泉州五中高一期中）已知向量，滿足，則的最小值是___________.【答案】【詳解】由得，所以由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．故答案為：13．（2021·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)單位向量夾角為，若，則與夾角為______．【答案】【詳解】因單位向量的夾角為，則有，，，，于是得，而，從而得，所以與夾角為.故答案為：14．（2021·江蘇·淮陰中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，等邊△ABC中，已知，點(diǎn)M在線段BC上