課時11不等式證明-2022年高考數(shù)學一輪復習小題多維練

課時11不等式證明（基礎(chǔ)題）一、填空題1．（2019·晉中市和誠高中高三月考（文））已知命題“若為任意的正數(shù)，則”．能夠說明是假命題的一組正數(shù)的值依次為__________．【答案】（只要填出，的一組正數(shù)即可）分析：能夠說明是假命題的一組正數(shù)的值，就是不滿足不等式的正數(shù)的值，故將不等式變形為。找不滿足不等式的正數(shù)的值即可。詳解：由可得。能夠說明是假命題的一組正數(shù)的值，只需不滿足不等式的一組正數(shù)的值即可。故答案不唯一。可取1,2,3,。點睛：滿足（不滿足）不等式的正數(shù)的值，就是不等式成立（不成立）的正數(shù)的值，可用作差比較法找正數(shù)的關(guān)系，進而可找正數(shù)的值。2．（2021·黑龍江哈師大附中高三三模（理））某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸．【答案】【詳解】該公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買次，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，一年的總運費與總存儲費用之和為萬元，·4＋4x≥160，當＝4x，即x＝20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和最?。c睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.二、解答題3．（2021·江西高三二模（理））已知a，b，c都是正數(shù)，求證：（1）；（2）若，則．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）直接利用作差法，然后配方可得，從而使得問題得證.

（2）由條件將不等式左邊變形為，然后展開，利用均值不等式可證明.【詳解】（1）∵a，b，c都是正數(shù)，∴，當且僅當“”時等號成立∴（2）當且僅當“”時等號成立．∴4．（2018·江蘇南京師大附中高三一模）A選修4—1：幾何證明選講在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓交BC邊于點N，求證：BN=2AM．【解析】分析：因為CM是∠ACB的平分線，由內(nèi)角平分線定理，可得＝，再由圓的切割線定理，可得BM?BA=BN?BC，整理，即可得證.證明：如圖，在△ABC中，因為CM是∠ACM的平分線，所以＝．又AC＝AB，所以＝①因為BA與BC是圓O過同一點B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即＝②由①、②可知＝，所以BN=2AM．點睛：本題考查內(nèi)角平分線定理和圓的切割線定理及運用，考查推理能力，屬于中檔題．（能力題）一、單選題1．（2020·上海高三專題練習）若關(guān)于x的不等式的解集是M，則對任意實常數(shù)k，總有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求解集M，再確定0,2與集合M關(guān)系，即得結(jié)果.【詳解】由解得，即，又，，所以，.選A.【點睛】本題考查利用基本不等式求范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2．（2019·吉林高考模擬（理））是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】直接利用充要條件的判定判斷方法判斷即可．【詳解】因為“”，則“”；但是“”不一定有“”.

所以“”，是“”成立的充分不必要條件．故選A.【點睛】充分條件、必要條件的判定主要有以下幾種方法：①定義法：若，則是的充分條件，是的必要條件；②構(gòu)造命題法：“若，則”為真命題，則是的充分條件，是的必要條件；③數(shù)集轉(zhuǎn)化法：：，：，若，則是的充分條件，是的必要條件.3．（2020·舒蘭市實驗中學校高三學業(yè)考試）若，且，則有A．最大值64 B．最小值 C．最小值64 D．最小值【答案】C【詳解】因為，所以，當且僅當，時取等號，故選C.二、解答題4．（2020·全國高三專題練習（理））已知函數(shù).（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式；（Ⅱ）若a，b，，函數(shù)的最小值為m，若，求證：.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）根據(jù)絕對值不等式，分類討論解不等式，即可求得不等式的解集.（Ⅱ）根據(jù)絕對值三角不等式，求得的最小值，結(jié)合基本不等式即可證明不等式成立.【詳解】（Ⅰ）即，可得或或，解得或或，則原不等式的解集為；（Ⅱ）證明：，當且僅當，即時上式取得等號，可得函數(shù)的最小值為1，則，且a，b，，由，可得，當且僅當取得等號，即.,【點睛】本題考查了分類討論解絕對值不等式，絕對值三角不等式求最值，利用基本不等式證明不等式成立，屬于中檔題.5．（2019·陜西漢中市·高三二模（理））（1）求不等式的解集；（2）已知兩個正數(shù)、滿足，證明：.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）方法一：首先判斷的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)軸上找到所求不等式的解集。方法二：根據(jù)零點分區(qū)間進行分類討論進行求解。(2)根據(jù)要證明式子分母的特點，把，變形為，利用基本不等式，證明不等式?！驹斀狻浚?）方法一：根據(jù)幾何意義“”表示數(shù)軸上到2和1的距離之和，所以不等式的解集為.方法二：零點分區(qū)間討論如下：①當時，，即，∴.②當時，即，不符合題意；③當時，即，∴.綜上所述，不等式的解集為.（2）因為，所以，當且僅當即時取“”.【點睛】本題考查了求絕對值不等式的解集，一般的方法就是根據(jù)絕對值的幾何意義和零點分區(qū)分進行討論的方法來求解?？疾榱擞没静坏仁阶C明不等式，運用基本不等式，要考慮是定和問題還是定積問題，更要注意的是運用基本不等式要同時滿足一正二定三相等這三個條件。6．（2019·四川高三二模（文））[選修45：不等式選講]已知函數(shù).（I）求函數(shù)的定義域；（II）證明：當時，.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【分析】（Ⅰ）利用真數(shù)大于0，列出不等式，討論x的范圍，去掉絕對值符號解不等式；（Ⅱ）法一：將要證的不等式兩邊同時平方作差，根據(jù)條件判斷差的正負即可.法二：由題意知，，則，化簡可得，開方即證.【詳解】（Ⅰ）由或或或或所以函數(shù)的定義域為．（Ⅱ）法一：因為，所以，．故，即所以．法二：當時，∴，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查絕對值的意義及絕對值不等式的解法，考查了綜合法證明不等式的方法，屬于中檔題．7．（2019·云南師大附中高三月考（理））已知函數(shù)f(x)=（1）若f(x)≥|m+2|恒成立，求實數(shù)m的最大值；（2）記（1）中m的最大值為M，正數(shù)a,b滿足a2+b2【答案】（1）實數(shù)m的最大值為2；（2）見解析.【分析】（1）將函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式可得最小值，令f(x)min（2）結(jié)合（1）知a2+b2【詳解】（1）解：由f(x)=?2x+4，x≤0，得f(x)min=4，要使只要|m+2|≤4，即?6≤m≤2，故實數(shù)m的最大值為2．（2）證明：由（1）知a2+b2=2，又(a+b)2?4∵0<ab≤1，∴(a+b)2?4∴a+b≥2ab．【點睛】本題主要考查了含絕對值函數(shù)的去絕對值找最值及不等式的證明，具有一定的技巧性，屬于中檔題.8．（2019·廣西南寧三中高三月考（理））已知，且，證明：（1）；（2）.【分析】（1）由展開利用基本不等式即可證得；（2）由條件易知，從而可證，即可證得.【詳解】（1）∵,∴,當且僅當時，取得等號.（2）因為，且所以，所以，所以.【點睛】本題主要考查了不等式的證明，需要一定的技巧性，屬于中檔題.9．（2018·武邑宏達學校高三期中（理））已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，設(shè)為函數(shù)圖象上不同的兩點，且滿足，設(shè)線段中點的橫坐標為，證明：.分析：（1）先求導，再對a分類討論，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分析法證明.詳解：(1),①時，定義域為當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，，故在上單調(diào)遞增；②時，定義域為當時，，故在上單調(diào)遞增；當時，，故在上單調(diào)遞減.（2），故在定義域上單調(diào)遞增，只需證，即證,（*）因為，，不妨設(shè)則，從而在上單調(diào)遞減，故，即（*）式.點睛：本題的難點在第（2）問，由于綜合法證明比較困難，所以本題利用了分析法解答.對于比較復雜的導數(shù)問題，大家在今后的學習中可以借鑒這種方法.（真題/新題）一、單選題1．（2021·浙江高三月考）已知數(shù)列滿足，，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項的正誤；利用放縮法得出，，利用放縮法可判斷BCD選項的正誤.【詳解】由，可得出，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，即，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故，A錯；在等式的兩邊同時除以可得，其中且，所以，，，，，累加得，所以，，則，故.故D錯誤；對于，所以，，，，，累加得，可得，則，所以，，故，.故選：B.【點睛】結(jié)論點睛：幾種常見的數(shù)列放縮公式：（1）；（2）；（3）.2．（2020·武漢大學高三）設(shè)函數(shù)，則下列錯誤的是（）A．方程有解B．方程在內(nèi)解的個數(shù)為偶數(shù)C．的圖像有對稱軸D．的圖像有對稱中心【答案】A【分析】利用三元均值不等式判斷A，首先判斷函數(shù)的周期性，再畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷B，根據(jù)周期性公式及對稱性公式判斷C、D；【詳解】解：對于A：考慮時的最大值，故，當時僅當時取到，故A錯誤；對于B：因為，所以是以為周期的周期函數(shù)，函數(shù)圖象如下所示：所以方程在內(nèi)解的個數(shù)為偶數(shù)，故B正確；對于C：因為，所以，，所以，所以為的一條對稱軸，故C正確；對于D：因為，所以，，所以，所以為函數(shù)的對稱中心，故D正確；故選：A二、雙空題3．（2021·江蘇）已知函數(shù)，則當時，函數(shù)有最小值，則____________．此時___________．【答案】1011；0【分析】利用絕對值不等式的幾何意義知當時，取最小值；將代入即可得解.【詳解】，，當且僅當時等號成立.，當且僅當時等號成立.?，當且僅當時等號成立.，當且僅當時等號成立.將上面的式子相加得，當且僅當時等號成立.當時，有最小值所以．故答案為：1011；0．【點睛】本題的關(guān)鍵點是對含兩個絕對值的不等式的幾何意義的理解.三、解答題4．（2021·陜西漢中市·高三月考（理））已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為m，且對任意正數(shù)a，b滿足，求的最小值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分，和三種情況解不等式即可，（2）由（1）可得的最小值為3，所以，則，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】解：（1）當時，不等式變?yōu)?，解得；當時，不等式變?yōu)?，無解；當時，不等式變?yōu)?，解?故不等式的解集為或.（2）由（1）知的最小值為3，所以，則，，當且僅當即，時，等號成立，所以的最小值為.5．（2021·全國高三開學考試（理））已知函數(shù)，．（1）當時，求不等式的解集；（2）設(shè)，且當時，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）當時，不等式即，設(shè)，零點分域，分，，三種情況去絕對值解不等式即可；（2）當時，分別對和去絕對值，轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.【詳解】（1）函數(shù)，，當時，不等式，即，設(shè)，當時，，可得：當時，，可得：，當時，，可得，綜上所述，的解集為．（2）設(shè)，且當時，，，若，即，可得：對恒成立，所以，即，解得，所以，所以的取值范圍為．6．（2022·云南師大附中高三月考（理））設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號得分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象后可得求得方程的解，再由圖象得不等式的解集．（2）由圖象得函數(shù)的最小值，解相應不等式可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖所示，當時，，；，，由圖可知不等式的解集為（2）由圖可知當時，，∴，∴，∴，∴7．（2022·貴州貴陽市·高三開學考試（文））已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若，使得，求的取值范圍．【答案】（1）或}；（2）答案見解析.【分析】（1）分，，三種情況討論求解即可；（2）先求，使得時，的取值范圍，再求補集即可.【詳解】解：（1）當時，．當時，，所以；當時，，不成立；當時，，所以，所以，綜上可知，所求解集為或}．（2）要求，使得時，的取值范圍，可先求，使得時，的取值范圍，，，當時，恒成立；當時，，綜上，，使得時，的取值范圍為，故，使得時，的取值范圍為．8．（2021·浙江省寧海中學高三其他模擬）已知（1）求的取值范圍；（2）若，證明：；（3）求所有整數(shù)，使得恒成立.注：為自然對數(shù)的底數(shù).【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3）的值可以是．【分析】（1）分類討論，，，即可得出結(jié)果（2）將原不等式證明轉(zhuǎn)為證明與，構(gòu)造函數(shù)，求導分析單調(diào)性，只需證與即可．（3）由原不等式化為，主要求得取值范圍即可，由于，構(gòu)造函數(shù)即